《勻變速直線運動的位移與時間的關系（第一課時）》教案教學目標教學目標：進一步體會利用物理圖像分析物體運動規(guī)律的研究方法；了解v-t圖像圍成的面積即相應時間內(nèi)的位移，通過v-t圖像求位移，體會“極限”和“微元求和”的思想；能利用v-t圖像得出勻變速直線運動的位移與時間關系式。教學重點：利用v-t圖像得出勻變速直線運動的位移與時間關系式教學難點：在了解v-t圖像圍成的面積即相應時間內(nèi)的位移的過程中，體會“微元求和”的思想教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動同學們好，前面兩節(jié)課我們通過實驗研究了勻變速直線運動速度隨時間變化的關系，今天我們一起繼續(xù)來研究勻變速直線運動的位移與時間的關系。環(huán)節(jié)一：回顧實驗，引入課題[師]這是在研究小車速度和時間的關系時做的實驗。釋放小車后，小車在槽碼的牽引下做勻加速直線運動。通過研究紙帶上的信息，我們發(fā)現(xiàn)，小車的速度隨時間均勻增加，那么,它的位移隨時間會是均勻增加嗎?我們想要研究像小車這樣做勻變速直線運動的物體，位移和時間的關系，應該從哪里入手呢？[生]思考環(huán)節(jié)二：勻速直線運動：如何利用速度時間圖像表示位移[師]在研究比較復雜的問題時，我們往往會借鑒在研究簡單問題時得到的規(guī)律和所用的方法。也就是從基本的過程出發(fā)去研究更復雜的問題。所以，我們先來看看我們最熟悉的、也是最簡單的勻速直線運動。勻速直線運動的特點：速度保持不變。這個特點，我們可以用公式表達為：速度等于某個常數(shù)，[師]（距離說明）例如：v=5m/s，另外，圖像也是我們描述物理規(guī)律的重要數(shù)學工具，我們也可以用速度時間圖像來展現(xiàn)，例如速度始終為5m/s，不隨時間發(fā)生變化。那么，抓住速度不變這個特點，我們就能得到做勻速直線運動的物體，位移和時間成正比這個關系了。我們可以用公式表達為x=vt。然后我們就能計算出物體在t秒內(nèi)的位移了，比如，t=4s時，我們就能知道，物體在前4秒的位移為20m。同樣，我們也可以利用圖像來得到這個結(jié)果：不難看出，若物體以5m/s的速度做勻速運動,那么t=4s時，物體的速度-時間圖像中這個著色部分的矩形的面積:長4秒乘以高5m/s，等于20m，就可以表示這個做勻速直線運動的物體在這段時間內(nèi)位移的大小。可以看出，任何一個勻速直線運動的速度時間圖像，都可以用圖中著色部分的矩形面積vt來表示對應過程的位移的數(shù)值。環(huán)節(jié)三：類比勻速直線運動：猜想可以利用速度時間圖像著色部分梯形的面積表示勻變速直線運動的位移[師]（提出問題）現(xiàn)在，我們一起來看看，怎么分析勻變速直線運動的物體的位移呢？勻變速直線運動的特點是加速度不變，速度隨時間均勻增加。我們可以用斜率不變的，這樣的一次函數(shù)的圖像來描述，也可以通過公式v=v0+at來描述他的速度隨時間變化的規(guī)律。那么，這樣一個勻變速的直線運動，我們通過什么方法能知道他在某個過程中的位移呢？比如，這個物體在t秒內(nèi)的位移應該是多大呢？同學們能試著分析一下或猜測一下嗎？[生]思考、類比、猜想[師]（提出任務—說明理由）好的，有同學做出了這樣的猜想：有沒有可能，也像勻速運動那樣，可以用速度時間圖像中著色部分的梯形面積來表示位移呢？你是不是也有同樣的猜想？這個猜想正確嗎？這個梯形的面積能表示這個勻變速運動直線運動在這段時間內(nèi)的位移嗎？咱們一起來看看同學們的想法吧環(huán)節(jié)四：分析為什么可以利用速度時間圖像著色部分梯形的面積表示勻變速直線運動的位移（鞏固極限的思想，了解微元求和的方法）[生]交流一位同學是這樣想的：準確求解位移有些困難，所以他想先對位移的大小進行估算。他估算的想法是這樣的：在學習瞬時速度的時候，我們曾經(jīng)先測量出紙帶上一段過程的位移，然后用這段位移除以對應的時間，通過求平均速度來測量這段過程中某個時刻的瞬時速度。比如用Δx除以對應的時間Δt來測量D點對應的瞬時速度。那反過來，如果我們不知道某段過程的位移，只知道某個時刻的瞬時速度，那是不是可以用這個瞬時速度乘以時間Δt，反過來求這個過程的位移呢？所以他借鑒了利用紙帶求瞬時速度的方法，選取了這個過程的計時時刻的初速度乘v0乘以這個過程的時間，估算出這段位移x=v0t.但是，另一位同學覺得如果這樣估算，誤差太大了。這相當于是按照速度v0勻速直線運動估算的，但是速度明顯在增大呀，這樣估算出的位移明顯比真實位移小了。她認為按照瞬時速度的定義：要是我們想用某個過程的平均速度代替瞬時速度，那這個過程的時間Δt應該短一些，這樣用這個過程的位移Δx和時間Δt算出的平均速度代表這個過程中某時刻的瞬時速度，就會精確一些。如果過程取得太長，誤差就會很大了。比如，用第三幅圖中選取的過程，算出的D點對應的速度一定比前兩種選取的過程計算的更精確。當Δt很短時，才能認為這個過程中各時刻的速度是差不多的，也就是只有Δt足夠短時，才能忽略這個過程中速度的變化，將這個過程看成勻速直線運動。現(xiàn)在進行估算的同學收到了啟發(fā)：如果我們把過程取得短一些，就可以減小誤差啦。比如：可以把這個加速過程分為兩段進行估算。這時，用第一段的初速度v0乘以Δt得到的Δx1誤差相對就小些，將Δx1+Δx2得到的總位移，誤差就比剛才估算的Δx要小些。[師]總結(jié)學生想法，提煉極限思想，介紹微元求和的方法如果，我們把它分成5段，那么，每一段內(nèi)速度變化就比分成兩段更小，每一段內(nèi)的運動和勻速運動就更接近，我們選取每一段的初速度乘以每一段的時間得到的位移誤差也會更小。也就是，分成兩段比一段精確，分成5段比分成兩段精確。那當然，分成15段又比分成5段更精確?，F(xiàn)在我們把每一段都粗略地看成勻速直線運動，然后用每一段的初速度乘以時間估算每一段過程的位移，那么在v-t圖像中，各段位移就可以用一個又窄又高的小矩形的面積代表。各個小矩形的面積之和就可以近似地代表物體在整個運動過程中的位移。根據(jù)我們剛才的分析，這五個矩形面積的總和比分成兩段時兩個矩形面積的總和更接近真實的勻加速直線運動的位移，這15個矩形面積的總和又比分成5段時5個矩形面積的總和更接近真實的勻加速直線運動的位移。那為了更加精確的算出位移，我們當然要把這個過程分成更多的小過程啦，當我們把這個過程劃分成n個很短的小過程，每個過程的時間Δt非常非常小時，每個過程內(nèi)運動快慢的差異可以忽略不計。也就是n越大，每一個小過程對應的Δt就越短，把每段Δt內(nèi)，物體運動的過程看成勻速直線運動帶來的誤差就越小。那么n個矩形面積之和與真實總位移之間的誤差就越小當n無限大時，每一小段內(nèi)，物體的運動就可以看成勻速直線運動，這就是極限的思想。那么，這個時候，我們用每一個小過程勻速運動的矩形面積求和算出的位移的總和就和這個梯形的面積完全一致了，因此，我們可以推斷出，這個梯形的面積就表示物體在這個過程中實際發(fā)生的位移的大小。將一個過程，分成無限多段，每一段看成一個勻速運動，每一小段看成組成實際運動的一個微小的單元，然后再求和，我們通常將這種方法稱之為——微元求和法或積分法。[師]現(xiàn)在，我們可以確定了，圖中著色部分的梯形面積就表示這個勻變速直線運動的物體在t秒內(nèi)位移的大小。請同學們試試看,能推導出位移和時間關系的表達式么？環(huán)節(jié)五：利用速度時間圖像推導勻變速直線運動位移和時間的關系式[生]推導計算、流推導的方法根據(jù)梯形面積公式：它的面積等于（(上底+下底)*高/2，也就是x=OC+AB2×OA。這個梯形的面積就代表做勻變速直線運動的物體從開始（此時速度是v0）到t時刻（此時速度是v）這段時間內(nèi)的位移。其中，我們利用勻變速直線運動速度和時間的關系，將末速度v改寫為v0+at，這樣我們就可以得到公式為了，可見，如果我們知道了某個做勻變速直線運動的物體的初速度v其他方法，比如分別求矩形和三角形面積再求和，結(jié)果是相同的。[師]這時，有同學提出了新的問題：如果，物體做的不是勻變速直線運動，那么，物體從開始到t時刻（此時速度是v）這段時間內(nèi)的位移，還可以根據(jù)前面這種分析問題的方法來處理嗎？同學們，你可以試著解釋這個問題么？[生]討論、交流其實，不止是勻變速直線運動，任何一個運動，我們都可以將他分割成很多小過程，每個過程都可以看成是一個勻速直線運動。我們同樣將運動過程分成n段，n越大，我們用勻速直線運動“拼”出來的運動和實際運動越接近。當n無限大時，用勻速直線運動“拼”出來的運動和實際運動就是一致的了，很多很多小矩形的面積之和依然和速度時間圖像中著色部分的面積相等，可以表示物體在這個過程中的位移。因此，上面這種分析問題的方法具有一般意義，原則上對于處理任意形狀的v-t圖像都是適用的。[師]其實，我們在處理其他較復雜的變化量問題時，也常常先把整個區(qū)間化為若干個小區(qū)間，認為每一小區(qū)間內(nèi)研究的量不變，簡化問題，然后再求和解決整體問題,就是微元求和的方法。過程劃分的越細，每個過程越短，結(jié)果就越精確，誤差越小。其實，微元求和的思想在我們生活中也有廣泛的應用，我們來看幾個例子。環(huán)節(jié)六：了解物理研究方法在生活中的體現(xiàn)[師]視頻、圖片演示[生]觀察、思考這是一張圖片，我們將圖片不斷的放大最后，我們可以很清楚的看到，圖片其實是由很多小方塊組成的，這就是我們常說的像素，每個小方塊其實都是單一的顏色。像素越多，每個小方塊越小，組合后呈現(xiàn)出來的圖像就越清晰越逼真。這就是我們熟悉的的拼插類的玩具，制作它的機理，也含有我們今天學習的微元的方法，當我們想將模型拼得更加精細的時候，我們希望能用更小的顆粒。特別是對于復雜些的模型，想要展現(xiàn)得更加逼真，組合它需要用到的顆粒就應該越小。而剛才，我們將勻變速運動分割成若干個過程來研究，像不像我們用相同的方塊積木來搭斜面呢？（配圖片），那么每個方塊越小，我們也會拼得越精確再有就是我們現(xiàn)在常提到的3D打印技術。簡單的說，3D打印就是通過計算機的控制，將粉末狀的原料按照數(shù)字模型文件設計好的位置和順序一層一層粘合起來，那么粉末和拼插的顆粒比起來就是更小更小的微元。所以可以精確的制作出我們需要的各種藝術品、模型、零件等等這些物品。從大顆粒到小顆粒再到粉末，就是將組成整體的單元不斷細化，每個單元越小，最后整個成品就越精致。這些都是微元的思想在實際中的應用。環(huán)節(jié)七：小結(jié)好，同學們，這節(jié)課我們首先進行了類比，類比勻速運動，猜想勻變速直線運動，速度時間圖像的面積可以表示位移，然后我們進行了分析，在分析的過程中，我們了解了新的方法——微元求和，我們將較復雜的變速運動過程分割成了許多很小的時間間隔Δt——每個間隔內(nèi)的運動過程就是一個微元，把Δt內(nèi)視為簡單的勻速直線運動——這是將問題簡化，最后將所有Δt內(nèi)的位移求和即總位移就是微元求和。最后我們利用圖像為工具得到了勻變速直線運動的位移和時間的關系請同學用學到的內(nèi)容試著自己解決課后練習中的問題，也請同學們試著在生活中尋找，還有沒有體現(xiàn)了微元思想的例子呢？好，這節(jié)課就到這里，同學們再見課后練習1.以36km/h的速度行駛的列車開始下坡，在坡路上的加速度等于0.2m/s2，經(jīng)過30s到達坡底。求坡路的長度和列車到達坡底時的速度。2.以18m/s的速度行駛的汽車，制動后做勻減速直線運動，在3s內(nèi)前進36m。求汽車的加速度及制動后5s內(nèi)發(fā)生的位移。3.速度、加速度的測量通常比位移的測量要復雜些，而有的時候我們只需比較兩個物體運動的加速度大小，并不需要知道加速度的具體數(shù)值。例如，比較兩輛汽車的加速性能就是這樣。如果已知兩個物體在相同時間內(nèi)從靜止開始勻加速直線運動的位移之比，怎樣根據(jù)運動學的規(guī)律求出它們的加速度之比？課后練習解析和答案1.解析：初速度v0＝36km/h＝10m/s，加速度a＝0.2m/s2，時間t＝30s，根據(jù)勻變速直線運動位移和時間的關系時，有＝10m/s×30s+×0.2m/s2×（30s）2＝390m。根據(jù)勻變速直線運動速度和時間的關系時，有根據(jù)v＝v0+at＝10m/s+0.2m/s2×30s＝16m/s。坡路的長度為390m，列車到達坡底時的速度為16m/s，速度方向沿下坡方向。2.解析：沿汽車運動方向建立一位坐標系，則初速度v0＝18m/s，時間t＝3s，位移x＝36m。根據(jù)勻變速直線運動位移和時間的關系時，有—4m/s2根據(jù)勻變速直線運動速度和時間的關系時，有v＝v0+at＝18m/s+(—4m/s2)×3s=6m/s說明汽車減速3