高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省楚天協(xié)作體2026屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一.單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故選：D.2.在中，已知，，則的面積為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由，，則，，，，因，故，則，所以的面積為.故選：A.3.已知實(shí)數(shù)a，b，c，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，當(dāng)時(shí)，無(wú)論，為何值，成立，此時(shí)無(wú)法判斷，的大小，則充分條件不成立，若，兩邊同乘以大于等于零的數(shù)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，則必要性成立，故選：.4.任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式，即.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗創(chuàng)立的棣莫弗定理是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)則，已知復(fù)數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，故，所以，故選：C.5.已知向量，滿足，，，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，，，所以，解得，則在方向上的投影向量為.故選：D.6.與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）A.2條 B.3條 C.4條 D.6條【答案】B【解析】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以，①當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)截距為，.則直線過(guò)點(diǎn)，，那么直線斜率為.所以直線方程為.因?yàn)樵撝本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑.即，化簡(jiǎn)得，求解得或（舍去）.此情況下有一條直線符合題意，直線方程為.②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑.即，化簡(jiǎn)得，求解得.此情況下有兩條直線符合題意，直線方程為，.綜上，共有3條直線符合題目要求.故選：B.7.有四個(gè)半徑為的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四個(gè)小球放在這三個(gè)小球的上方，且四個(gè)小球兩兩外切.在四個(gè)小球之間有一個(gè)小球，與這四個(gè)小球均外切.則球的半徑為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接四個(gè)球的球心可以得到一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，根據(jù)正四面體的外接球的半徑公式得到半徑，因?yàn)樾∏蚺c這四個(gè)小球均外切，則所求的小球的半徑為，故選：C.8.已知函數(shù)，，則在下列哪個(gè)區(qū)間上一定存在極值點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，，要使存在極值點(diǎn)，則一定有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，可設(shè)，因?yàn)?，函?shù)開(kāi)口向上，且，對(duì)于A，要使在上存在極值點(diǎn)，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點(diǎn)；對(duì)于B，要使在上存在極值點(diǎn)，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點(diǎn)；對(duì)于C，要使在上存在極值點(diǎn)，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點(diǎn)；對(duì)于D，要使在上存在極值點(diǎn)，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點(diǎn).綜上所述，函數(shù)在一定存在極值點(diǎn).故選：C.二.多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，，3，7，8，9，11，15的下四分位數(shù)是1B.若用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則決定系數(shù)越大的模型，擬合效果越好C.已知隨機(jī)變量，若，，則D.依據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)聯(lián)【答案】ABC【解析】A：8個(gè)數(shù)從小到大排列，因?yàn)椋?，可得下四分位?shù)是1，故A正確；B：由決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，B對(duì)；C：因?yàn)?，，，則，解得：，，故C正確；D：由，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)的可信度越高，錯(cuò).故選：ABC.10.中，角，，所對(duì)的邊分別為，，且，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若且有唯一解，則C.若，則D.若，則面積最大值為【答案】ACD【解析】由，則，則，由于，所以，，，故A正確；由正弦定理得，即，又有唯一解，所以或，故B錯(cuò)誤；由，則，，則，即，,所以，則，所以，故C正確；若，則由余弦定理得，所以有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的面積為，故D正確.故選：ACD.11.數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，從的前項(xiàng)中任取兩項(xiàng)，它們的和為奇數(shù)的概率為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又，，又，，，的奇數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，又，，故D正確.故選：ACD.三.填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.5名同學(xué)站成一排，甲身高最高，排在中間，其他4名同學(xué)身高均不相等，甲的左邊和右邊均由高到低排列，共有________種排法.【答案】6【解析】將除甲外的4名同學(xué)全排列，甲左邊2名同學(xué)與右邊2名同學(xué)順序一定，所以排法共有種.故答案為：6.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且，，則雙曲線的離心率________.【答案】【解析】設(shè)，，由雙曲線定義可得，即，所以，，又，，在中，由余弦定理得，即，解得，故離心率，故答案為：.14.已知數(shù)列共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為，項(xiàng)為.若數(shù)列滿足對(duì)任意中的的個(gè)數(shù)不少于的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列為“規(guī)范數(shù)列”.當(dāng)，時(shí)，“規(guī)范數(shù)列”的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________，記表示數(shù)列是“規(guī)范數(shù)列”的概率，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】①.5②.【解析】①當(dāng)時(shí)，滿足要求的“規(guī)范數(shù)列”有；；；；；所以當(dāng)，時(shí)，“規(guī)范數(shù)列”的個(gè)數(shù)為.②，，時(shí)，具有“規(guī)范數(shù)列”數(shù)列特征的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，當(dāng)，，時(shí)，由已知數(shù)列共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為，項(xiàng)為，所以滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，若數(shù)列為“規(guī)范數(shù)列”，則第一項(xiàng)為，若第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)為時(shí)，“規(guī)范數(shù)列”個(gè)數(shù)為，當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)為，第二項(xiàng)為，第三項(xiàng)必然為，此時(shí)“規(guī)范數(shù)列”個(gè)數(shù)為，所以.故，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，，故答案為：；.四.解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可知，即，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，則，，所以四邊形為平行四邊形，，.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，與相交，，平面，所以平面；（2）解：由（1）可知平面，，所以，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，；，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，，設(shè)平面與平面夾角為，則.故平面與平面夾角的余弦值為.17.欲從甲、乙兩個(gè)無(wú)線通信設(shè)備中選出一個(gè)穩(wěn)定設(shè)備作為應(yīng)急通信設(shè)備，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)設(shè)備輪流發(fā)送信號(hào)進(jìn)行測(cè)試，每次發(fā)送一組信號(hào).已知甲設(shè)備每次發(fā)送信號(hào)成功的概率為，乙設(shè)備每次發(fā)送信號(hào)成功的概率為，且每次信號(hào)發(fā)送結(jié)果互不影響.約定1：任選一個(gè)設(shè)備發(fā)送一組信號(hào)，若信號(hào)發(fā)送成功，便成為穩(wěn)定設(shè)備；約定2：從甲設(shè)備開(kāi)始發(fā)送信號(hào)，輪流發(fā)送進(jìn)行測(cè)試，先發(fā)送信號(hào)成功的設(shè)備為穩(wěn)定設(shè)備，當(dāng)決定出穩(wěn)定設(shè)備或兩設(shè)備都發(fā)送信號(hào)3次均失敗，結(jié)束測(cè)試.（1）按照約定1，求在發(fā)送一次信號(hào)就成功的條件下，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率；（2）按照約定2，（i）兩個(gè)設(shè)備共發(fā)送信號(hào)不超過(guò)4次時(shí)，求甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率；（ii）測(cè)試結(jié)束時(shí)，求乙設(shè)備發(fā)送信號(hào)次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)“任選一個(gè)設(shè)備發(fā)送信號(hào)，該設(shè)備是甲設(shè)備”為事件，“任選一設(shè)備發(fā)送信號(hào)，該設(shè)備是乙設(shè)備”為事件，“任選一個(gè)設(shè)備發(fā)送信號(hào)，該設(shè)備發(fā)送信號(hào)成功”為事件，所以，，，在發(fā)送一次信號(hào)就成功的條件下，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為.（2）（i）發(fā)送信號(hào)1次，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為，發(fā)送信號(hào)3次，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為，兩個(gè)設(shè)備共發(fā)送不超過(guò)4次時(shí)，甲設(shè)備成為穩(wěn)定設(shè)備的概率為（ii）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望為.18.已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)直線，的斜率分別為，.證明：為定值.（1）解：由題意可得，，，故，，所以橢圓的方程為.（2）證明：由已知直線過(guò)點(diǎn)，且交橢圓于，兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，：，此時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，則當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，由已知設(shè)直線：，點(diǎn)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理得，則，即，解得或，且，，所以．綜上，為定值，且．19.已知函數(shù).（1）若對(duì)任意的，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，（i）對(duì)任意正整數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；（ii）證明：.（1）解：由可得，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取到最大值，且最大值為，故，實(shí)數(shù)的取值集合為；（2）證明：（i