高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2025-2026學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2.數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位數(shù)為（）A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【答案】B【解析】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位數(shù)為.故選：B3.已知直線與圓交于A，B兩點，且為等邊三角形，則m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑，若直線與圓交于A，B兩點，且為等邊三角形，則圓心到直線的距離，又由點到直線的距離公式可得，解得，故選：D.4.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取兩點，從兩點測得樹尖的仰角分別為和，且兩點之間的距離為，則樹的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：在中，，又，，由正弦定理得：，所以，所以樹的高度為，方法二：設樹高為，則，則，故選：A.5.設A為直線上一點，P，Q分別在圓與圓上運動，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，，即，由對稱性可知，對于圓，圓心，半徑，，當且僅當A，C，三點共線時等號成立，由于，，則.故選A．6.在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當最短時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，∴，，即:，；平面，直線，所以當、最短時，平面，，為的中心，為線段的中點，如圖：又正四面體的棱長為1，，平面，，．故選：A．7.如果，那么復數(shù)的三角形式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為，，所以.故選：A.8.如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】取BD中點O，連接AO，CO，，則，且，于是是二面角的平面角，顯然平面，在平面內過點作，則，直線兩兩垂直，以O為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，，設二面角的大小為，，因此，，，于是，顯然，則當時，，所以的最大值為.故選：B.二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在棱長均為1的三棱柱中，，點滿足，其中，則下列說法一定正確的有（）A.當點為三角形的重心時，B.當時，的最小值為C.當點在平面內時，的最大值為2D.當時，點到的距離的最小值為【答案】BCD【解析】對于A，當點為三角形的重心時，，所以，又因為，所以，所以，故A錯誤；對于B，，因為，所以，則，當且僅當時取等號，所以，所以，所以的最小值為，故B正確；對于C，當點在平面內時，則存在唯一實數(shù)對使得，則，又因為，所以，所以，因為，所以，所以的最大值為2，故C正確；對于D，當時，由A選項知，，在方向上的投影為，所以點到的距離，因為，所以，當且僅當時，取等號，所以點到的距離的最小值為，故D正確.故選：BCD.10.如圖，正方體的棱長為2，E是棱的中點，F(xiàn)是側面上的動點，且滿足平面，則下列結論中正確的是（）A.平面截正方體所得截面面積B.點F的軌跡長度為C.存在點F，使得D.平面與平面所成二面角的正弦值為【答案】AC【解析】取CD中點G，連接BG、EG，則等腰梯形為截面，而，，故梯形面積為，A正確；取中點M，中點N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴點F的運動軌跡為線段MN，其長度為，B錯誤；取MN的中點F，則，∴，∵，∴，C正確；因為平面平面且，，∴即為平面與平面所成二面角，，D錯誤．故選：AC.11.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若滿足，頂點，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結論正確的是（）A.圓上的點到原點的最大距離為B.圓上存在三個點到直線的距離為C.若點在圓上，則的最小值是D.若圓與圓有公共點，則【答案】BD【解析】由題意，的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點坐標為，則的垂直平分線方程為，即“歐拉線”為.由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，則圓的方程為：，圓心到原點的距離為，則圓上的點到原點的最大距離為，故A錯誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個點到直線的距離為，故B正確；的幾何意義為圓上的點與定點連線的斜率，設過與圓相切的直線方程為，即，由，解得的最小值是，故C錯誤；的圓心坐標，半徑為，圓的的圓心坐標為，半徑為，要使圓與圓有公共點，則圓心距的范圍為，解得，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點，向量，過點作以向量為方向向量的直線，則點到直線的距離為__________．【答案】【解析】以向量為方向向量的直線的斜率為，則過點的直線的方程為，即，則點到直線的距離.故答案為：.13.若對任意實數(shù)，直線與圓至少有一個交點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可知直線經過的定點為則定點在圓內或者圓上的時候滿足題意，所以，又表示圓，所以，解得或；綜上，.故答案為：.14.已知A為圓上的動點，B為圓上的動點，P為直線上的動點，則的最小值為_______．【答案】【解析】設關于直線的對稱點為，則圓關于對稱的圓的方程為，要使值最小，則（其中為關于直線的對稱圓上的點）三點共線，且該直線過兩點，其最小值為．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了調查疫情期間數(shù)學網課學習情況，某校組織了高一年級學生進行了數(shù)學測試.根據(jù)測試成績（總分100分），將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值；為了更全面地了解疫情對網課的影響，求該樣本的60百分位數(shù)；（2）試估計本次數(shù)學測試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.解：（1）由，解得；設該樣本的60百分位數(shù)為，因為，，，，對應的頻率分別為，所以60百分位數(shù)在這組數(shù)據(jù)內，由題意可得，解得，所以該樣本的60百分位數(shù)為.（2）數(shù)學測試成績的平均值為：分.16.在平面直角坐標系中，已知點，圓：.（1）過點M作圓C的切線，求切線的方程；（2）判斷直線：與圓C是否相交；如果相交，求直線m被圓C截得的弦長.解：（1）很明顯，直線斜率不存在時，直線滿足題意，當直線斜率存在時，設直線方程為：，即，圓心到直線的距離，滿足題意時有：，解得：，則此時的直線方程為：，即，綜上可得，直線方程為：或.（2）圓心到直線的距離：，則直線與圓相交，此時直線被圓截得的弦長為：.17.如圖，在直三棱柱中，，，為中點，為中點，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，，，，.，平面的一個法向量為，，所以，又因為平面，所以平面.（2）解：，，設平面的法向量為，則令，則，故，因為，設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：，，設平面的法向量為，則令，，，故，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知圓，點，點為圓上的動點，線段的中點的軌跡為曲線C．（1）求曲線的方程；（2）設點，過點作與軸不重合的直線交曲線于，兩點．（i）若直線的斜率為1，且過點作與直線垂直的直線交曲線于，兩點，求四邊形的面積；（ii）設曲線與軸交于，兩點，直線與直線相交于點，試討論點是否在定直線上，若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由．解：（1）設，，因為點在圓上，所以①，因為為中點，所以，整理得，代入①式中，得，整理得，所以曲線的方程為；（2）（i）當直線的斜率為1時，直線的方程為，即，則直線方程為，設曲線的圓心到直線和直線的距離分別為，，則，所以，，所以，所以四邊形的面積為；（ii）設直線的方程為，即，設，，聯(lián)立，得，則，，，因為曲線與軸交于，兩點，所以，，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程得，故直線與直線的交點在定直線上.19.球面幾何學是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學.對于半徑為的球，過球面上一點作兩條大圓的弧，，它們構成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點稱為球面角的頂點，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點，可以得到經過這三點中任意兩點的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點稱為球面的頂點；三個球面角稱為球面的三個內角.已知球心為的單位球面上有不同在一個大圓上的三點.（1）球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請直接寫出球面的內角和（無需證明）；（2）與二面角類比，我們稱從點出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點稱為三面角的頂點，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個面角的余弦值分別為.①求球面的三個內角的余弦值；②求球面的面積.解：（1）由可知在兩個互相垂直（即交點處切線垂直）的大圓上，從而，故，設，則，從而，注意到到直線的距離均為，故，所以由知，所以，即，這得到，從而，又在兩個互相垂直的大圓上，故，從而兩兩垂直，從而由在平面內交于點，可知垂直于平面，而在平面和平面內，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，平面垂直于平面，所以三個平面兩兩垂直，故由球面角的定義知，所以球面的內角和是.（2）①由已知條件，可設，如圖，以為原點，構建空間直角坐標系，則，不妨設，設，則由.可知；；，故，不妨設，則，所以有，設平面法向量分別為，