浙江省樂清市樂成公立寄宿學校2026屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.若，則的最小值為（）A. B.C.4 D.52．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．圓心在x軸上且過點的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.4．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.5．積分（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列7．若存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．過拋物線的焦點引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點，則（）A.4 B.6C.8 D.109．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（）A. B.C. D.110．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.1211．對任意實數(shù)，在以下命題中，正確的個數(shù)有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.12．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班學號的學生鉛球測試成績?nèi)缦卤恚簩W號12345678成績9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估計這8名學生鉛球測試成績的第25百分位數(shù)為___________.14．已知從某班學生中任選兩人參加農(nóng)場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______15．橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點、，則的面積的最大值為___________.16．一道數(shù)學難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則問題得到解決的概率是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點個數(shù)19．（12分）（１）求焦點在x軸上,虛軸長為12，離心率為的雙曲線的標準方程；（2）求經(jīng)過點的拋物線的標準方程；20．（12分）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍；21．（12分）等比數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若，求m的值22．（10分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關(guān)于坐標原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】作出圖形，過點作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點共線時，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過點作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義得，，當且僅當、、三點共線時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.2、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B3、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A4、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B6、D【解析】由，化簡得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.7、D【解析】將給定等式變形并構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個公共點推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，，，而，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個公共點，不符合要求，當時，由得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個公共點，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點睛】思路點睛：涉及雙變量的等式或不等式問題，把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).8、C【解析】由題意可得，的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計算即可求解.【詳解】由上可得：焦點，直線的方程為，設(shè)，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.9、A【解析】先表示出漸近線方程，設(shè)出點坐標，利用，解出點坐標，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為，不妨設(shè)在上，設(shè)，由得，解得，的面積為.故選：A.10、A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，即可求得輸出數(shù)據(jù).【詳解】當時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.11、B【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】①因為，則，根據(jù)不等式性質(zhì)得，故正確；②當時，，而，故錯誤；③因為，所以，即，故正確；④當時，，故錯誤；故選：B12、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，設(shè)焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用百分位數(shù)的計算方法即可求解.【詳解】將以上數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，；%，則第25百分位數(shù)第項和第項的平均數(shù)，即為.故答案為：.14、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對立事件，又，所以.故答案為：.15、【解析】分析可知點、關(guān)于原點對稱，可知當、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值.【詳解】橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點對稱，當、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.16、【解析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨立事件的概率求解.【詳解】因為甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，所以問題得到解決的概率是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案。【小問1詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問2詳解】兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點.【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點即可.【小問1詳解】當時，，易知定義域為R，，當時，；當或時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當時，x正0負0正單增極大值單減極小值單增當時，恒成立，∴；當時，①當時，，∴無零點；②當時，，∴有1個零點；③當時，，又當時，單調(diào)遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點【點睛】結(jié)論點睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標準方程；（2）設(shè)出拋物線方程，利用經(jīng)過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程【詳解】焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為（2）由于點P在第三象限，所以拋物線方程可設(shè)為：或（p>0）當方程為，將點代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；當方程為，將點代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：；20、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說明假設(shè)錯誤。從而證明原結(jié)論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結(jié)合時，，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數(shù)列等比數(shù)列，且；【小問2詳解】假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，即，而是奇數(shù)，故上式左側(cè)是奇數(shù)，右側(cè)是一個偶數(shù)，不可能相等，故數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；【小問3詳解】關(guān)于正整數(shù)n的不等式，即，當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，，并且當時，，因關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.21、（1）或；（2）5.【解析】（1）設(shè)的公比為q，解方程即得解；（2）分兩種情況解方程即得解.【小問1詳解】解：設(shè)的公比為q，由題設(shè)得由已知得，解得（舍去），或故或【小問2詳解】解：若，則由，得，解得若，則由，得，因為，所以此方程沒有正整數(shù)解綜上，22、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)