高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市啟東市2026屆高三上學(xué)期11月期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：C.3.滿足的集合的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.16 C.7 D.8【答案】D【解析】當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，；當(dāng)中只有兩個(gè)元素時(shí)，或或；當(dāng)中只有三個(gè)元素時(shí)，或或；當(dāng)中只有四個(gè)元素時(shí)，，所以滿足要求的的個(gè)數(shù)為8個(gè).故選：D.4.用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超過原來的二百分之一，則至少需要漂洗的次數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】經(jīng)過第一次漂洗，污垢存留量為污垢總量的；經(jīng)過第二次漂洗，污垢存留量為第一次漂洗后的，也就是原來的；經(jīng)過第三次漂洗，存留量為原來的，…，經(jīng)過第x次漂洗，存留量為原來的.則，注意到，則至少需要漂洗的次數(shù)是4.故選：C.5.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得關(guān)于對(duì)稱，所以，整理得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)取得最小值，為.故選：B.6.若曲線有兩條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以斜率，則切線方程為，又在切線上，所以因?yàn)榍€有兩條過的切線，所以方程有兩個(gè)解，整理得，所以，解得或.故選：D.7.在中，已知，點(diǎn)在邊上且．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，且為銳角，則，又，則，..由正弦定理，，，則，則.故選：B8.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得到，，由雙曲線的定義得，所以，在中，由余弦定理得，整理得，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)；可整理為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；當(dāng)，時(shí)，，故C錯(cuò)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BD.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（）A.B.的面積是C.直線與的外接圓相切D.是鈍角三角形【答案】ABD【解析】由直線方程，令，得，由題意，所以，即，A正確，拋物線方程為，準(zhǔn)線為，由，消去并化簡(jiǎn)得，，不妨設(shè)，，，解得或，所以，又坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，所以的面積是，B選項(xiàng)正確.，設(shè)的外接圓方程為，則，解得：，即圓的方程為，聯(lián)立，得，，即直線與的外接圓相離，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，由余弦定理知：為鈍角，所以三角形是鈍角三角形，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于，，則的值可以?。ǎ〢. B. C.e D.2e【答案】BC【解析】時(shí)，，不滿足區(qū)間的要求，故A錯(cuò)；設(shè)，，當(dāng)為的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，將代入中，恰好，此時(shí)，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，，滿足乘積小于零；當(dāng)時(shí)，，，滿足乘積小于零，所以可以取內(nèi)的數(shù)，故BC正確；當(dāng)時(shí)，，所以，解得，由上述可知，當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò).故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知定義在上的函數(shù)滿足①；②．寫出一個(gè)滿足條件的的解析式___________．【答案】【解析】因，可設(shè)，由，可得，則可取.故答案為：（答案不唯一，滿足題意即可）.13.某人打算用A型材料制作一個(gè)近似于球形的熱氣球，半徑為，則大約需要_________的材料．若A型材料的價(jià)格為200元，根據(jù)需求氣球半徑要增加，則所需費(fèi)用需增加___________元．（的近似值取3.14）【答案】①.；②.【解析】第一空，因半徑為，則需要的材料；第二空，由題新氣球需要的材料有：，則增加材料有：，則所需費(fèi)用增加元.故答案為：；.14.在銳角中，分別是角的對(duì)邊，且，則的最小值是___________．【答案】【解析】對(duì)兩邊同乘得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，解得，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）求的面積的最大值．解：（1）因?yàn)閳A，所以，所以圓的圓心為，半徑為.設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則，所以，所以，所以，即，綜上可知：直線的方程為或.（2）的面積，由的性質(zhì)可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最大值是.16.在中，已知．（1）求角；（2）求的值．解：（1）由誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，，則，從而；（2）設(shè)，則，由余弦定理，.，，又，，則；，，又，，則.由（1）結(jié)合正弦定理，.則.即的值為.17.如圖，在幾何體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，，平面平面，中邊上的高為，且．（1）證明：平面；（2）求幾何體的體積；（3）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以平?（2）解：連接和，則幾何體的體積等于,因?yàn)槠矫妫允侨忮F的高，所以，因?yàn)橹羞吷系母邽?，且，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以是四棱錐的高，所以，所以幾何體的體積等于.（3）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，所以．因?yàn)?，，，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率是，其上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn)，記的面積分別為．①若，，求；②若，求．解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的離心率是，所以，所以，又因?yàn)?，所?因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為，所以，所以，所以橢圓的方程是.（2）①因?yàn)?，且，所以由?duì)稱性不妨設(shè)，則直線，令，得．所以.②.由得，由得，因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?19.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）求的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，若是曲線在點(diǎn)處的切線方程．①證明：對(duì)于定義域內(nèi)任意成立；②設(shè)過點(diǎn)的直線與直線垂直，，與軸的交點(diǎn)分別為，，表示的面積．是否存在實(shí)數(shù)，滿足？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）解：令，得，令，得，得；當(dāng)時(shí)，，所以

在單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，，所以

在單調(diào)遞減。因此，是極大值點(diǎn)，所以，所以的最大值為；（2）①證明：由題意可得令，