18.5分式方程數(shù)學(xué)人教版八年級上冊回顧章引言中的問題：

一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行90km

所用的時間，與以最大航速逆流航行60

km所用的時間相等．江水的流速為多少？

解：設(shè)江水的流速為vkm/h，根據(jù)題意，得＝

．問題1仔細(xì)觀察這個方程，未知數(shù)的位置有什么特點(diǎn)？未知數(shù)位于分母的位置上．＝

．新知

方程的分母中含有未知數(shù)v，像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程．

我們以前學(xué)習(xí)的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中．＝

．判斷下列式子是不是分式方程？若不是，請說明理由．（1）＝5；

（2）＝1；（3）x2－x＋

＝5；

（4）－；（5）＋

＝7.

××√×√分式方程的三個特征：特別注意，判斷一個式子是不是分式方程時，不能對式子進(jìn)行約分、通分變形，更不能利用等式的性質(zhì)對其進(jìn)行變形．①有等號，是方程；②方程中含有分式；③分式的分母中含有未知數(shù)．歸納

如何解分式方程＝呢？

分析：面對數(shù)學(xué)問題時，我們經(jīng)常把新知識轉(zhuǎn)化成熟悉的舊知識來解決．大家想一想，能否將分式方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的整式方程呢？問題2最簡公分母(30＋v)(30－v)去

分

母

解：方程兩邊同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．解得v＝6．

v＝6

是分式方程＝的解嗎？如何進(jìn)行檢驗(yàn)？

如何解分式方程＝呢？問題2

解：方程兩邊同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．解得v＝6．

如何解分式方程＝呢？由上可知，江水的流速為6km/h．

檢驗(yàn)：將v＝6

代入分式方程中，左邊＝，右邊＝，左、右兩邊的值相等，因此v＝6

是分式方程的解．問題2解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘各分母的最簡公分母．這也是解分式方程的一般方法．歸納問題3

請你運(yùn)用上述“去分母化為整式方程”的方法解下列分式方程．

＝

解：方程兩邊同乘(x＋5)(x－5)，得

x＋5＝10．解得x＝5．最簡公分母(x＋5)(x－5)

為什么有同學(xué)認(rèn)為方程無解？x＝5不是分式方程

＝

的解嗎？問題3

請你運(yùn)用上述“去分母化為整式方程”的方法解下列分式方程．

＝

解：方程兩邊同乘(x＋5)(x－5)，得

x＋5＝10．解得x＝5．最簡公分母(x＋5)(x－5)

檢驗(yàn)：將x＝5分別代入原分式方程的左右兩邊，分母x－5和x2－25的值都為0，相應(yīng)的分式無意義，這個分式方程無解．整式方程的解，不是分式方程的解問題4為什么

＝

①去分母后所得整式方程的解就是①

②＝

去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？

在去分母的過程中，對原分式方程進(jìn)行了變形，即在方程兩邊同時乘了一個整式．

（1）若這個整式不為0，那么所得的整式方程與原分式方程同解；

（2）若這個整式為0，那么所得的整式方程的解不滿足原分式方程，它是增根．問題4方程最簡公分母解回代結(jié)論＝＝(30＋v)(30－v)(x＋5)(x－5)v＝6

x＝5

(30＋v)(30－v)≠0(x＋5)(x－5)＝0所得整式方程的解不是②的解所得整式方程的解與①的解相同②①新知

一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0

，因此應(yīng)做如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．

解：方程兩邊乘x(x－3)，得

2x＝3x－9．解得x＝9．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時，x(x－3)≠0．所以，原分式方程的解為x＝9．

例1

解方程：．

解：方程兩邊同乘(x－1)(x＋2)，得

x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．解得x＝1．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程無解．

例2

解方程：．歸納分式方程整式方程x＝mx＝m

是分式方程的解x＝m不是分式方程的解去分母解整式方程檢驗(yàn)最簡公分母不為0最簡公分母為0目標(biāo)

解下列方程：（1）；

解：方程兩邊同乘x(x－2)，得

5(x－2)＝7x．解得x＝－5．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－5時，x(x－2)≠0．所以，原分式方程的解為x＝－5．

解下列方程：（2）；

解：方程兩邊同乘(x＋3)(x－1)，得

2(x－1)＝x＋3．解得x＝5．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時，(x＋3)(x－1)≠0．所以，原分式方程的解為x＝5．

解下列方程：（3）；

解：方程兩邊同乘2x(x＋3)，得

x＋3＝4x．解得x＝1．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時，2x(x＋3)≠0．所以，原分式方程的解為x＝1．

解下列方程：（4）；

解：方程兩邊同乘3(x＋1)，得

3x＝2x＋3x＋3．解得

x＝．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝

時，3(x＋1)≠0．所以，原分式方程的解為x＝

．

解下列方程：（5）；

解：方程兩邊同乘(x－1)(x＋1)，得

2(x＋1)＝4．解得x＝1．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時，(x－1)(x＋1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程無解．

解下列方程：（6）．

解：方程兩邊同乘x(x－1)(x＋1)，得

5(x－1)－(x＋1)＝0．解得

x＝．

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝

時，x(x－1)(x＋1)≠0．所以，原分式方程的解為x＝

．分式方程概念解法去分母解方程檢驗(yàn)分母中含未知數(shù)的方程

方程兩邊同乘最簡公分母

解整式方程，得到相應(yīng)的解代入解后看最簡公分母是否為0分式方程（第2課時）學(xué)習(xí)了分式方程的解法之后，我們要用分式方程解決一些實(shí)際問題．請你先回顧，用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程是什么？

（1）審：弄清題意，分清已知量和未知量，找出相等關(guān)系；

（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并用式子表示出其他相關(guān)量；

（3）列：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；

（4）解：通過解方程，求出未知數(shù)的值；

（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意；

（6）答：根據(jù)題意寫出答案．

例1

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨(dú)施工1個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．請你判斷哪個隊的施工速度快？分析：本題是一道工程問題，通常設(shè)總工程量為1．

數(shù)量關(guān)系：工作總量＝工作效率×工作時間．甲隊完成的工程量＋乙隊完成的工程量＝總工程量．比較甲、乙兩隊的工作效率求乙隊1個月完成的工程量

例1

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨(dú)施工1個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．請你判斷哪個隊的施工速度快？工程隊工作時間工作效率工作總量甲隊乙隊等量關(guān)系：甲隊工作總量＋乙隊工作總量＝“1”．

分析：可以假設(shè)乙隊單獨(dú)施工1

個月能完成總工程的

．

例1

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨(dú)施工1個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．請你判斷哪個隊的施工速度快？

解：設(shè)乙隊單獨(dú)施工1個月能完成總工程的．記總工程量為1，根據(jù)工程的實(shí)際進(jìn)度，得．

方程兩邊同乘6x，得2x＋x＋3＝6x，解得x＝1．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時，6x≠0．

所以，原分式方程的解為x＝1．由上可知，若乙隊單獨(dú)施工1

個月可以完成全部任務(wù)，乙隊的施工速度快．歸納解決工程問題“兩手都要抓”解決工程問題時，一要抓住“工作總量＝工作效率×工作時間”；二要抓住“所有隊工作量之和＝總工作量”．

通常根據(jù)這兩個關(guān)系列方程解決問題．

例2

某次列車平均提速vkm/h．在相同的時間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？思考：題目中的已知量是什么？未知量是什么？可以怎么假設(shè)？

已知量：列車平均提速vkm/h，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km．

未知量：提速前列車的平均速度．表達(dá)問題時，用字母不僅可以表示未知數(shù)（或未知量），也可以表示已知數(shù)（或已知量）．假設(shè)：提速前列車的平均速度為xkm/h．速度

時間

路程

分析：設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h．

例2

某次列車平均提速vkm/h．在相同的時間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？行駛狀態(tài)路程/km速度/(km/h)時間/h提速前提速后s＋50x＋v等量關(guān)系：提速前的行駛時間＝提速后的行駛時間．sx

方程兩邊乘

x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50)，解得x＝．

例2

某次列車平均提速vkm/h．在相同的時間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？

解：設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，則提速前它行駛skm所用時間為

h；提速后列車的平均速度為(x＋v)km/h，提速后它行駛(s＋50)km所用時間為

h．

根據(jù)行駛時間的相等關(guān)系，得．

檢驗(yàn)：因?yàn)関，s

都是正數(shù)，所以當(dāng)x＝時，x(x＋v)≠0．

所以原分式方程的解為x＝

．

答：提速前列車的平均速度為km/h．歸納行程問題中常用的等量關(guān)系行程問題屬于典型實(shí)際應(yīng)用問題，其中路程、時間和速度三個量之間的關(guān)系是路程＝速度×?xí)r間．

解決這類問題，首先要分析出問題中的已知量，確定待求量，然后根據(jù)第三個量找出等量關(guān)系，從而列出方程．

1．八年級學(xué)生去距學(xué)校30km的中國