第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年廣東省中山市某校高三（上）第四次模擬數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足i?1=zi(i為虛數(shù)單位)，則z+z?=A.?2 B.?1 C.1 D.22.已知全集U=R，集合A={x|x2?5x?6≤0}，B={x|?3<x<3}，則如圖所示的Venn圖中陰影部分表示的集合為(

)A.(?3,?1] B.(?1,3] C.(1,3] D.[3,6]3.若l，m為直線，α，β為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若l//α，m?α，則l//m B.若l⊥α，l⊥β，則α⊥β

C.若l//α，l⊥β，則α⊥β D.若l?α，α⊥β，則l⊥β4.已知a,b,c均為單位向量，且滿足a+A.π6 B.π3 C.π25.已知數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且n，an，Sn成等差數(shù)列A.1 B.4 C.7 D.156.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)(0,?32)，(π3,0)，(7π3,0)在圖象上，若xA.3 B.32 C.0 D.7.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，x2，使得f(x1A.1e B.1 C.2 D.8.已知橢圓C：x22+y2b2=1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若|AFA.13 B.33 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m?1)，其中n，m∈R，則下列說法正確的是(

)A.若2a+b=(2,6)，則a//b

B.若a=?2b，則與b同向的單位向量為(22,?22)

C.若n=110.斗笠是遮陽擋雨的帽子，有很寬的邊沿，用竹篾、箭竹葉為原料編織而成，以竹青細(xì)篾加藤片扎頂滾邊，竹葉夾一層油紙或者荷葉，笠面再涂上桐油.某旅游景點(diǎn)的老手藝人手工編制竹篾尖頂斗笠(斗笠近似看作圓錐)，并在笠面涂上桐油(只涂外表面).已知1m2的笠面需涂桐油約為π40kg，且斗笠所在圓錐的底面周長為160cm，斗笠所在圓錐的高為60πA.斗笠所在圓錐的底面面積為6400πB.斗笠所在圓錐的體積為128000π2cm3D.1kg的桐油，大約可涂刷50個(gè)斗笠11.已知函數(shù)f(x)=x?2cos(πx)，則(

)A.函數(shù)f(x)有最大值 B.f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(12,12)是曲線y=f(x)的對稱中心 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線5x+12y+a=0與圓x2+y2?2x=013.在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E滿足A1E=1214.已知函數(shù)f(x)=ex?e1?x?ax有兩個(gè)極值點(diǎn)x1與x2，若f(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5=4a4，S3=42．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD上⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD=CD=l，BC=PC，DB=22

(Ⅰ)證明PA//平面BDE；

(Ⅱ)證明AC⊥平面PBD：

(Ⅲ)求四棱錐P?ABCD的體積．17.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosAtanB=1+sinA．

(1)若A=B，求C；

(2)求asinB+bsinA18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ae2x+x+1(a<0)．

(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若不等式f(x)+(a+2)ex19.(本小題17分)

已知拋物線C：y2=x，A，B，P是拋物線C上的三點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，過P作PD⊥AB于點(diǎn)D．

(1)若P(1,1)，求證直線AB過定點(diǎn)；

(2)設(shè)P(t2,t)(t>0)，記點(diǎn)D軌跡圍成的圖形的面積為S1，記△OAB的面積為S2，當(dāng)直線參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.BCD

11.BC

12.?18或8

13.3414.(215.16.(Ⅰ)證明：設(shè)AC∩BD=H，連接EH，

在△ADC中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分∠ADC，

所以H為AC的中點(diǎn)，

又E為PC的中點(diǎn)，從而EH//PA，

因?yàn)镠E?平面BDE，PA?平面BDE，

所以PA//平面BDE；

(Ⅱ)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，

由(I)知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD?平面PBD，BD?平面PBD，

從而AC⊥平面PBD：

(Ⅲ)解：在△BCD中，DC=1，DB=22，∠BDC=45°

得BC2=12+(22)2?2×1×22cos45°=5，

∴BC=5．17.解：(1)由A=B，cosAtanB=1+sinA，

可得cosAtanA=1+sinA，則cos2A=(1+sinA)sinA，

整理得2sin2A+sinA?1=0，解之得sinA=12或sinA=?1，

又0<A<π2，則A=π6，則B=π6，則C=2π3；

(2)A，B為△ABC的內(nèi)角，則1+sinA>0，

則由cosAtanB=1+sinA，可得cosAtanB>0，

則A、B均為銳角tanB=cosA1+sinA=cos2A2?sin2A2(sinA2+cosA2)2=1?tanA218.19.解：(1)證明：不妨設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

此時(shí)kAB=y2?y1x2?x1=y2?y1y22?y12=1y1+y2，

所以直線AB的方程為y?y1=1y1+y2(x?x1)，

整理得x?(y1+y2)y+y1y2=0，①

因?yàn)镻A⊥PB，

所以kPA?kPB=?1