2009——2010學(xué)年第二學(xué)期

數(shù)學(xué)專此常微分方程便程試卷(A)

教研組長系主任考試需答題

命題教師考試班級考試日期

審批簽字人數(shù)紙頁數(shù)

俱鵬岳04本科班1

題號―?二三四五六七總分

得分

總分教師復(fù)核教師

得分評卷教師一、填空題(每空2分,共16分)。

1.方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是xoy平

面

2.方程組的任何一個解的圖象.n+.....維空間中的一條積分

曲線.

3.連續(xù)是保證方程初值唯一的充分條件.

4.方程組的奇點(diǎn)的類型是中心

5.方程的通解是

6.變量可分離方程的積分因子是

7.二階線性齊次微分方程的兩個解，成為其基本解組的充耍條件是線性無關(guān)

8.方二、選擇題(每小題3分，共15分)。

程的9.一階線性微分方程的積分因子是(A).

基本-Jp(x)dv

評卷教師J；J3

解組(A)//=e(B//=e(C)//=e

是-Jq(x)&

得分(D)4=e」

10.微分方程是(B)

(A)可分離變量方程(B)線性方程

(C)全微分方程(D)貝努利方程

11.方程x(y2—l)dx+y(x2—l)dy=0的所有常數(shù)解是(C).

(A)x=±l(B)y=±1

(C)>'=±1,x=±\(D)y=1,x=\

12.階線性非齊次微分方程的所有解（D）.

（A）構(gòu)成一個線性空間（B）構(gòu)成一個〃一1維線性空間

（C）構(gòu)成一個〃+1維線性空間（D）天能構(gòu)成一個線性空間

13.方程（D）奇解.

（A）有一個（B）有無數(shù)個（C）只有兩個（D）無

得分評卷教師三、計(jì)算題（每小題8分，共48分）。

14.求方程的通解

解：令，則，于是，

所以原方程的通解為），=」一X?

1+Cr

15.求方程的通解

解:取=f,N（x,y）=y3+]nx

x

則，于是原方程為全微分方程

所以原方程的通解為「2公+『），3力=。

即y]nx+^y4=C

16.求方程的通解

解:令，得到（*）,兩端同時關(guān)于求導(dǎo)，

整理得，則

*>

Xr*

取2〃一尤=0,得〃=土，代入（*）得解y=—

24

取生一1=0,得〃=x+c,代入（*）得原方程得通解為

dx

v.2

y=—+Cr+Cr2

2

17.求方程的通解

解對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，

特征根為，

3r

故齊次方程的通解為y=G+C2e

因?yàn)椴皇翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為

y（x）=Ae5'

代入原方程，得

25Ae5x-15Ae5A=e5x

即，

3v5v

故原方程的通解為y=G+C2e+-^e

18.求方程的通解

解：先求解對應(yīng)的其次方程：，則有，

2x

九2+4—2=0，4=1，4=—2;y=G。'+C2e~

因?yàn)閿?shù)不是特征根，故原方程具有形如

=e'（Acosx+Bsinx）的特解。

將上式代入原方程，由于

y[=e[（4+B）cosx+（8—A）sinx]

）；=ex[2Bcosx-2Asinx]

故y"+丁'-2y=ex[2Bcosx-2Asinx]+ex[（A+B）cosx4-（B-A）sinx

-2e'（Acosx+Bsinx）=e'（cosx-7sinx）

或（38-A）cosx-（B+3A）sinx=cosx-7sinx

比較上述等式兩端的為系數(shù)，可得

因此，故

x

所求通解為y=e'（2cosx+Isinx）+。[求+C2e

19.求方程組的實(shí)基本解組

解：方程組的特征多項(xiàng)式為，其特征根是，那么

屬于的特化向量，

屬于％的特征向量。2=[.。

則方程的基本解組為，

其實(shí)基本解組為①

/?1、T./1、

而①廣（。）=\.=~1.

1-1-I211i

因此所求實(shí)基本解組為

,

(D(x)=0>I(x)01-(0)

1(小+辦0(3-5小、(_j_A<*cos5xey,sin5x、

3/

丸修加_詁(內(nèi)以1i廠［一/1力工ecos5x>

得分評卷教師四、應(yīng)用題(每小題11分，共u分)。

20.(1)求函數(shù)的拉普拉斯變換

,...?xn—3x'+2.x-2/',,/力

(2)求初值問題《的解

x(0)=0,/(0)=0

解：(1)

(2)設(shè)，是已知初值問題的解。對已知方程兩端同時使用拉普

拉斯變換，可分別得到

心”—3f+2x]=4犬]—3m+2dx]=X($)p_3s+2]=X(.s)(.y2-3s+2)

=X(s)(s-l)(s-2);

[2川=2曲]=三

2

故有X(s)=H_2)(s—3)

使用部分分式法，可得

由(1)可知，

,2t3f

故所求的初值解為x(t)=e-2e+eo

得分評卷教師五、證明題(每小題10分，共10分)。

21.證明：對任意及滿足條件的，方程的滿足條件

的解在上存在。

證：由于

(2y-1)(1+/