《對(duì)數(shù)運(yùn)算（第二課時(shí)）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷換底公式的探究，證明過(guò)程，初步理解換底公式，并能利用公式實(shí)現(xiàn)其他底數(shù)的對(duì)數(shù)的運(yùn)算；在換底公式的證明中，體會(huì)指數(shù)與對(duì)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，提升轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用；利用換底公式完成對(duì)數(shù)計(jì)算中，感受對(duì)數(shù)運(yùn)算的意義，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：換底公式的認(rèn)識(shí)和初步應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：換底公式的推導(dǎo)教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1分鐘5分鐘一.確復(fù)習(xí)回顧二．探索新知三．應(yīng)用舉例四、課堂總結(jié)問(wèn)題1：請(qǐng)回憶對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果且，,那么（1）；（2）;（3）R).【教師講解】數(shù)學(xué)史上,人們經(jīng)過(guò)大量的努力,制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表,只要通過(guò)表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),現(xiàn)在,利用計(jì)算工具,也可以直接求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),這樣,如果能將其他底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或e為底的對(duì)數(shù)，就能方便地求出這些對(duì)數(shù)。探究：（１）利用計(jì)算工具求，的近似值；（２）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，你能利用，的值求的值嗎？【師生互動(dòng)】需要將此式進(jìn)行變形，請(qǐng)問(wèn)變形的方向是什么呢？根據(jù)要求，我們要構(gòu)造和，需要把2或3分離出來(lái)。設(shè)，則，我們就可以把3分離出來(lái)了于是，即，這樣就出現(xiàn)已知中的ln3和ln2了。則.3．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，你能用和來(lái)表示(且且)嗎？類比上述變形過(guò)程，由特殊到一般進(jìn)行推導(dǎo)設(shè)，則，于是，即，則，且；；且對(duì)數(shù)的換底公式問(wèn)題：你可以用自然語(yǔ)言描述嗎？一個(gè)對(duì)數(shù)的值等于兩個(gè)同底的對(duì)數(shù)的商，其中分子是真數(shù)的對(duì)數(shù)，分母是以原對(duì)數(shù)的底數(shù)為真數(shù)的對(duì)數(shù)。（真數(shù)在上去分子，底數(shù)在下去分母）。逆應(yīng)用時(shí)，可以將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的商轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)數(shù)值。思考：能利用，表示嗎？可以利用換底公式.思考：也可以換為以任意大于零且不等于１的實(shí)數(shù)為底的對(duì)數(shù)。比如，可以換位以３為底的對(duì)數(shù)，看看能得到什么結(jié)果？應(yīng)用1求值:：追問(wèn)：猜想=？并證明你還能得到哪些結(jié)論？應(yīng)用2：在4.2.1的問(wèn)題1中，通過(guò)指數(shù)冪運(yùn)算，我們得到的關(guān)系，如果求經(jīng)過(guò)多少年B地景區(qū)的游客人次是2001年的2倍，該如何計(jì)算呢？解：在此問(wèn)題中，其實(shí)就是計(jì)算的值。由換底公式，可得利用計(jì)算工具，可得由此可得，大約經(jīng)過(guò)7年，B地景區(qū)的游客人次就達(dá)到2001年的2倍。類似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年份應(yīng)用2：盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為.2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍（精確到1）？[教師講解]思考：本題的研究求解對(duì)象是什么?如何將此對(duì)象與已知條件建立關(guān)系?答;這是關(guān)于地震的能量與里氏震級(jí)之間關(guān)系的問(wèn)題。本題的求解對(duì)象是地震釋放能量的倍數(shù),即E的比值,條件中的E存在于常用對(duì)數(shù)的真數(shù)位置,若對(duì)此比值取常用對(duì)數(shù),可借助對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為各自對(duì)數(shù)之差的形式.解：法1：設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別和.由,可得，于是利用計(jì)算工具可得，。法2：設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別和.由,可得，，利用計(jì)算工具可得，。雖然里氏9.0級(jí)地震與里氏8.0級(jí)地震僅相差1級(jí),但前者釋放出來(lái)的能量卻是后者的約32倍.想一想：為什么兩次地震的里氏震級(jí)僅差1級(jí),為何釋放出來(lái)的能量卻相差那么多呢？地震中能量是很大的數(shù)值，進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算后其數(shù)值就變得非常小。這其實(shí)相當(dāng)于把指數(shù)冪運(yùn)算中冪的結(jié)果反映在指數(shù)上，也就是說(shuō)，在以10為底的指數(shù)冪運(yùn)算中，指數(shù)每增加1，其冪的值就是原來(lái)的10倍；每增加2，其冪的值就是原來(lái)的100倍；，反之，在以10為底的對(duì)數(shù)運(yùn)算中，真數(shù)是原來(lái)的10倍，對(duì)數(shù)值就增加1；真數(shù)是原來(lái)的100倍，對(duì)數(shù)值就增加2.，所以在指數(shù)冪運(yùn)算中，“指數(shù)增長(zhǎng)”的變化非?？?；在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的變化就比較慢,地震的里氏震級(jí)雖然相差很小，但是地震釋放的能量波差別巨大，進(jìn)一步感受對(duì)數(shù)運(yùn)算的意義。對(duì)數(shù)的換底公式，注意分子與分母是同底的目前學(xué)過(guò)的運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方、開方、指數(shù)冪、對(duì)數(shù)。這三個(gè)運(yùn)算其實(shí)是一個(gè)整體.布置作業(yè)：書126頁(yè)練習(xí)1,2,3.課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.2log510+log50.25=()A.0 B.1 C.2 D.4答案C解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.(2021河南鄭州高一期末)已知alog32=1,則2a=()A.13 B.1 C.2 D.答案D解析alog32=1=log32a,故2a=3.故選D.3.(2021吉林公主嶺高一期末)log28+lg25+lg4+6log612+9.8A.1 B.4 C.5 D.7答案C解析原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=5.故選4.(多選題)(2021江蘇連云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,則下列各式中,恒等的是()A.lgx+lgy=lg(x+y)B.lgxy=lgx-lgC.logxnym=mnD.lgx答案BCD解析因?yàn)閤>0,y>0,n≠0,m∈R,則lgx+lgy=lg(xy),故A錯(cuò)誤;lgxy=lgx-lgy,故B正確;logxnym=mnlogxy,lgx1n=lgxn,故5.若2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),則yx的值為()A.4 B.1或14 C.1或4 D.答案D解析∵2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),∴l(xiāng)g(x-2y)2=lgxy,∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴x≠y,∴yx6.計(jì)算:2713+lg4+2lg5-eln3=答案2解析由題意得2713+lg4+2lg5-eln3=(33)13+(lg4+lg25)-eln3=3+2-7.log35log46log57log68log79=.

答案3解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg68.計(jì)算:(1)lg2+lg5-(2)lg12-lg58+lg54-log92·log解(1)原式=lg2×5(2)(方法一)原式=lg1258=lg45×54?lg22lg3×lg3(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)等級(jí)考提升練9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log289=y,則2x+y=(A.3 B.4 C.8 D.9答案A解析由2x=3可知x=log23,且y=log2892x+y=2log23+log289=log232×89=log28=3.10.(2021浙江嘉興高一期末)設(shè)lg3=a,lg5=b,則log212的值為()A.2b-a+2C.a-2b+2答案C解析根據(jù)換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得log212=lg12lg2=lg3+2lg2lg211.(多選題)設(shè)a,b,c都是正數(shù),且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2a答案AD解析由題意,設(shè)4a=6b=9c=k(k>0),則a=log4k,b=log6k,c=log9k,對(duì)于選項(xiàng)A,由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,因?yàn)閎c+ba=log6klog9k對(duì)于選項(xiàng)C,2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk6=logk96,2c對(duì)于選項(xiàng)D,2b?1a=2log6k?1log4k=2logk6-logk4=log12.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,則a=,b=.答案42解析∵logab+logba=logab+1lo∴l(xiāng)ogab=2或logab=12∵a>b>1,∴l(xiāng)ogab<logaa=1.∴l(xiāng)ogab=12,∴a=b2∵ab=ba,∴(b2)b=bb2,∴b2b=∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.13.解下列對(duì)數(shù)方程.(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,得2即2解得x=2或x=-9(舍).(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得2t+t-3=0,即t2-3t+2=解得t=1或t=2.當(dāng)t=1時(shí),可得log2x=1,即x=2;當(dāng)t=2時(shí),可得log2x=2,即x=4.經(jīng)檢驗(yàn)x=2,x=4均符合題意.故原方程的解為x=2或x=4.14.(2021湖南長(zhǎng)沙高一期末)某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備,使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,以降低對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位:mg/L)與過(guò)濾時(shí)間t(單位:h)間的關(guān)系為P(t)=P0e-kt(P0,k均為非零常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中P0為t=0時(shí)的污染物數(shù)量.若經(jīng)過(guò)5h過(guò)濾后還剩余90%的污染物.(1)求常數(shù)k的值;(2)試計(jì)算污染物減少到30%至少需要多長(zhǎng)時(shí)間.(精確到1h)(參考數(shù)據(jù):ln0.2≈-1.61,ln0.3≈-1.20,ln0.4≈-0.92,ln0.5≈-0.69,ln0.9≈-0.11)解(1)由已知得當(dāng)t=0時(shí),P=P0;當(dāng)t=5時(shí),P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-15ln0.9(或k≈0.022)(2)由(1)知P=P0e(15ln0.9)t,有0.3P0=P0e(解得t=ln0.31故污染物減少到30%至少需要55h.新情境創(chuàng)新練15.已知2y·lo