山東省濟(jì)南市金柱2026屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若圓與直線(xiàn)相切，則（）A.3 B.或3C. D.或2．若函數(shù)f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.3．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直4．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線(xiàn)的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x5．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線(xiàn)為l，若l與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)所圍成的三角形面積為，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A.3 B.C. D.6．過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)的斜率為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.8．已知圓O的半徑為5，，過(guò)點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B.C. D.9．如果雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列，，則公差d等于（）A. B.C.3 D.-311．已知空間向量，則（）A. B.C. D.12．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.14．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在、中間），且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____.15．某n重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則______16．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為_(kāi)__________時(shí)用料最省.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)，垂足恰為左焦點(diǎn)，A是橢圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)AP的斜率為，若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，求面積的最大值18．（12分）小張?jiān)?020年初向建行貸款50萬(wàn)元先購(gòu)房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開(kāi)始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢(qián)呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)19．（12分）已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，是上一點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（1）證明：是中點(diǎn)；（2）求點(diǎn)到平面的距離20．（12分）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)的距離的比是，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C.（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)，，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)P能否為線(xiàn)段的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物錢(qián)C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線(xiàn)OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.22．（10分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)圓與與直線(xiàn)相切，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與與直線(xiàn)相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得或，故選：B2、C【解析】若f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn),則f'(x)=x2-ax+1在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),且零點(diǎn)不是f'(x)的圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).由x2-ax+1=0,得a=x+.因?yàn)閤∈,y=x+的值域是,當(dāng)a=2時(shí),f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合題意.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故選C.3、B【解析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，垂?故選：B.4、C【解析】過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線(xiàn)的定義和平行線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線(xiàn)定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線(xiàn)的方程為y2＝3x，故選：C.5、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線(xiàn)的定義求出，從而可得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，則可求出準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線(xiàn)的離心率詳解】依題意，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物線(xiàn)定義知，解得，則準(zhǔn)線(xiàn)，雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)為，于是得準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線(xiàn)C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C6、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo)，直線(xiàn)的斜率為.故選：D7、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以,因此，故選：C8、B【解析】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.9、D【解析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，然后將點(diǎn)代入，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，所以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，將代入得：，即雙曲線(xiàn)方程為.故選：D.10、B【解析】根據(jù)題意，利用公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列，，可得等差數(shù)列的公差.故選：B.11、C【解析】A利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可.【詳解】因?yàn)?，所以A不正確：因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使，所以B不正確；因?yàn)?，故，所以C正確；因?yàn)?，所以，所以D不正確故選：C12、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因?yàn)榈淖畲笾禐?，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.14、【解析】分別過(guò)點(diǎn)、作、垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于、，則，求出直線(xiàn)的方程，可求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)的定義可求得線(xiàn)段的長(zhǎng).【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作、垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于、，則，由得，所以，，又，所以，直線(xiàn)的方程為，所以，，則，則拋物線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由，得或，因?yàn)辄c(diǎn)在、之間，則，所以，.故答案為：.15、##0.2【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式可求解【詳解】依題意得X服從二項(xiàng)分布，則，解得，故答案為：16、【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進(jìn)而求得表面積，結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)最小，即用料最省，此時(shí)，可得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）18【解析】（1）易得，，進(jìn)而有，再結(jié)合已知即可求解；（2）由（1）易得直線(xiàn)AP的方程為，，設(shè)與直線(xiàn)AP平行的直線(xiàn)方程為，由題意，當(dāng)該直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，記與AP距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)為Q，此時(shí)的面積取得最大值，將代入橢圓方程，聯(lián)立即可得與AP距離比較遠(yuǎn)的切線(xiàn)方程，從而即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，將代入橢圓方程，得，又∵，∴，化簡(jiǎn)得，解得，又，，所以，∴，∴橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，直線(xiàn)AP的方程為，即，設(shè)與直線(xiàn)AP平行的直線(xiàn)方程為，由題意，當(dāng)該直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，記與AP距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)為Q，此時(shí)的面積取得最大值，將代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，由，即，解得，所以與AP距離比較遠(yuǎn)的切線(xiàn)方程，因?yàn)榕c之間的距離，又，所以的面積的最大值為18、每年至少要還6.17萬(wàn)元.【解析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬(wàn)元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬(wàn)元的本息和相等，故有購(gòu)房款50萬(wàn)元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬(wàn)元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬(wàn)元.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明出平面，可得出，再利用等腰三角形的幾何性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】證明：在正三棱柱，平面，平面，則，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則，，則平面，平面，所以，，因?yàn)闉榈冗吶切?，故點(diǎn)為的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，平面，平面，則，即，所以，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，解得.因此，點(diǎn)到平面距離為.20、（1）（2）不能，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程即可求解；（2）先假設(shè)點(diǎn)P能為線(xiàn)段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)的斜率，最后聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【小問(wèn)1詳解】解：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)的距離的比是則等式兩邊平方可得：化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)C的方程為：【小問(wèn)2詳解】解：點(diǎn)不能為線(xiàn)段的中點(diǎn)，理由如下：由（1）知，曲線(xiàn)C的方程為：過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)，所以，兩式作差并化簡(jiǎn)得：①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，②將②代入①可得：此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：將直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)C方程聯(lián)立得：，，無(wú)解與過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)矛盾所以點(diǎn)不能為線(xiàn)段的中點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)圓錐曲線(xiàn)中涉及中點(diǎn)和斜率的問(wèn)題時(shí)，常用點(diǎn)差法進(jìn)行求解.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程即可求解；（2）當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求出的值;當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，由過(guò)