章末復(fù)習(xí)課網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1.關(guān)于抽樣方法(1)用隨機(jī)數(shù)表法抽樣時(shí)，對(duì)個(gè)體所編號(hào)碼位數(shù)要相同，當(dāng)問題所給位數(shù)不同時(shí)，以位數(shù)較多的為準(zhǔn)，在位數(shù)較少的數(shù)前面添“0”，湊齊位數(shù).(2)用系統(tǒng)抽樣法時(shí)，如果總體容量N能被樣本容量n整除，抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)；如果總體容量N不能被樣本容量n整除，先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除多余個(gè)體，抽樣間隔為k＝eq\f(K,n)(其中K＝N－多余個(gè)體數(shù)).(3)三種抽樣方法的異同點(diǎn)類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2.關(guān)于用樣本估計(jì)總體(1)用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理，作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意其方法步驟.(2)莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，便于記錄和表示.(3)平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度.3.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系外，還大量存在因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系——相關(guān)關(guān)系，對(duì)于一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸方程就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解，主要是作出散點(diǎn)圖，寫出回歸方程.(2)求回歸方程的步驟：①先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出eq\o(x,\s\up1(－))，eq\o(y,\s\up1(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；②計(jì)算回歸系數(shù)a，b.公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up1(－))\o(y,\s\up1(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up1(－))2)，,a＝\o(y,\s\up1(－))－b\o(x,\s\up1(－))；))③寫出回歸方程y＝bx＋a.要點(diǎn)一抽樣方法的運(yùn)用1.抽樣方法有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.2.三種抽樣方法比較【例1】(1)某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為()A.6 B.8C.10 D.12(2)問題：①某小區(qū)有800戶家庭，其中高收入家庭200戶，中等收入家庭480戶，低收入家庭120戶，為了了解有關(guān)家用轎車購(gòu)買力的某個(gè)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本；②從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會(huì).方法：(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；(2)系統(tǒng)抽樣；(3)分層抽樣.則問題與方法配對(duì)正確的是()A.①(1)，②(2) B.①(3)，②(2)C.①(2)，②(3) D.①(3)，②(1)解析(1)分層抽樣的原理是按照各部分所占的比例抽取樣本.設(shè)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為n，則eq\f(30,40)＝eq\f(6,n)，得n＝8.(2)問題①中的總體是由差異明顯的幾部分組成的，故可采用分層抽樣方法；問題②中總體的個(gè)數(shù)較少，故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.故匹配正確的是D.答案(1)B(2)D【訓(xùn)練1】某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A.11 B.12C.13 D.14解析抽樣間隔為eq\f(840,42)＝20.設(shè)在1,2，…，20中抽取號(hào)碼x0(x0∈[1,20]).在[481,720]之間抽取的號(hào)碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N＋.所以24eq\f(1,20)≤k＋eq\f(x0,20)≤36.因?yàn)閑q\f(x0,20)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，1))，所以k＝24,25,26，…，35，所以k的值共有35－24＋1＝12(個(gè))，即所求人數(shù)為12.答案B要點(diǎn)二用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布此類問題通常要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理.這類問題采取的圖表主要有：條形圖、直方圖、莖葉圖、頻率折線圖、扇形圖等.它們的主要優(yōu)點(diǎn)是直觀，能夠清楚表示總體的分布走勢(shì).除莖葉圖外，其他幾種圖表法的缺點(diǎn)是原始數(shù)據(jù)信息有丟失.【例2】如圖所示的是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為10，則抽取的學(xué)生人數(shù)為()A.20 B.30C.40 D.50解析前3組的頻率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小組的頻率是0.75×eq\f(2,1＋2＋3)＝0.25，設(shè)樣本容量為n，則eq\f(10,n)＝0.25，則n＝40.故選C.答案C【訓(xùn)練2】有1個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5]，8.(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比.解(1)樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率累積頻率[12.5,15.5)60.060.06[15.5,18.5)160.160.22[18.5,21.5)180.180.40[21.5,24.5)220.220.62[24.5,27.5)200.200.82[27.5,30.5)100.100.92[30.5,33.5]80.081.00合計(jì)1001.00(2)頻率分布直方圖如圖.(3)小于30的數(shù)據(jù)約占90%.要點(diǎn)三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對(duì)總體相應(yīng)的數(shù)字特征作出估計(jì).眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，處于中間位置的數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，中間兩個(gè)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq\o(x,\s\up1(－))表示；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)離散程度大小的最常用統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up1(－))2＋x2－\o(x,\s\up1(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up1(－))2]).有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方(s2－方差)來代表標(biāo)準(zhǔn)差.【例3】(1)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(單位：分)()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92(2)從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為()分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010B.eq B.eq\f(2\r(10),5)C.D.eqD.q\f(8,5)解析(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96(單位：分).故平均數(shù)eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(1,8)×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5(分)，中位數(shù)為eq\f(91＋92,2)＝91.5(分).故選A.(2)∵eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2]＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)?s＝eq\f(2\r(10),5).答案(1)A(2)B【訓(xùn)練3】為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.(1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為eq\o(x,\s\up1(－))1，eq\o(x,\s\up1(－))2，估計(jì)eq\o(x,\s\up1(－))1－eq\o(x,\s\up1(－))2的值.解(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意，知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)為5，據(jù)此估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率為1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為eq\o(x′1,\s\up5(－))，eq\o(x′2,\s\up5(－)).根據(jù)樣本莖葉圖知，30(eq\o(x′1,\s\up5(－))－eq\o(x′2,\s\up5(－)))＝30eq\o(x′1,\s\up5(－))－30eq\o(x′2,\s\up5(－))＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\o(x′1,\s\up5(－))－eq\o(x′2,\s\up5(－))＝0.5，所以eq\o(x1,\s\up1(－))－eq\o(x2,\s\up1(－))的估計(jì)值為0.5分.要點(diǎn)四數(shù)學(xué)思想方法1.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在解決有關(guān)統(tǒng)計(jì)問題時(shí)，其作用尤為突出.在解題過程中，常結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖提取與題目有關(guān)的有用信息，例如，由頻率分布直方圖得出相應(yīng)頻數(shù)、頻率等；通過莖葉圖可直接得出抽樣數(shù)據(jù)，從而求出中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)字特征，并分析樣本數(shù)據(jù)的大致分布情況；利用散點(diǎn)圖能判斷兩個(gè)變量有無相關(guān)關(guān)系.【例4】從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖.觀察圖形，回答下列問題：(1)[69.5,79.5)這一組的頻率、頻數(shù)分別是多少？(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率(60分以上為及格).解(1)頻率為0.025×10＝0.25，頻數(shù)為60×0.25＝15.(2)由頻率分布直方圖得(0.015＋0.025＋0.03＋0.005)×10＝0.75，所以及格率為75%.【例5】下面一組數(shù)據(jù)是某生產(chǎn)車間30名工人某日加工零件的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那o葉圖表示這組數(shù)據(jù)，并由圖說明這個(gè)車間該日的生產(chǎn)情況.134112117126128124122116113107116132127128126121120118108110133130124116117123122120112112解莖葉圖如圖該生產(chǎn)車間的工人加工零件數(shù)大多都在110到130之間，且分布較對(duì)稱、集中，說明該日生產(chǎn)情況穩(wěn)定.【例6】已知10只狗的血細(xì)胞體積及紅細(xì)胞數(shù)的測(cè)量值如下表：血細(xì)胞體積x/mm345424648423558403950紅細(xì)胞數(shù)y/百萬(wàn)6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72(1)根據(jù)上表畫出散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷血細(xì)胞體積x與紅細(xì)胞數(shù)y之間是否具有相關(guān)關(guān)系.解(1)散點(diǎn)圖如圖.(2)由散點(diǎn)圖可以看出，兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都集中在一條直線周圍，且隨x的增大，y也在增大.因此血細(xì)胞體積x與紅細(xì)胞數(shù)y之間具有相關(guān)關(guān)系.2.函數(shù)與方程思想研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，通常先作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷這兩個(gè)變量最接近于哪種確定性關(guān)系(函數(shù)關(guān)系).本章學(xué)習(xí)了線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程(一次函數(shù))，可以根據(jù)其部分觀測(cè)值來預(yù)測(cè)兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系，其中體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.【例7】某企業(yè)上半年的某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量與單位成本數(shù)據(jù)如下：月份123456產(chǎn)量/萬(wàn)件234345單位成本/(元/件)737271736968(1)產(chǎn)量與單位成本是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有，試確定回歸直線方程.(2)指出產(chǎn)量每增加10000件時(shí)，單位成本下降多少？(3)假定產(chǎn)量為60000件時(shí)，單位成本是多少？單位成本為70元/件時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)為多少件？解(1)設(shè)x表示每月產(chǎn)量(單位：萬(wàn)件)，y表示單位成本(單位：元/件)，作散點(diǎn)圖如下圖.由圖知y與x之間呈線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)線性回歸直線方程為y＝bx＋a.經(jīng)計(jì)算得，eq\o(x,\s\up1(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up1(－))＝71，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)