高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校天成大聯(lián)考2026屆高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以．故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于，故，所以，解得.故選：C.3.已知向量，，若與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意得：，由與垂直知：，所以，．故選：D．4.“”是“不等式在上恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對于，可化為恒成立，即，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，解得，所以“”是“不等式在上恒成立”的必要不充分條件.故選：B.5.已知圓錐的體積為，其母線與底面所成的角是，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由母線與底面所成角是知，，所以體積，故，化簡可得，所以，，，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：C．6.將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】B【解析】由條件得，又時，，是整數(shù)，且最小，則.故選：B.7.已知平面過正方體的頂點D，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，平面，平面，平面，則m，n所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線與直線，分別交于點M，N，連接，，如圖．因為平面，平面，平面平面，所以，同理，所以是m，n所成角或其補(bǔ)角，在中，作，垂足為G，設(shè)正方體的棱長為a，則，，，，，所以．故選：B．8.已知函數(shù)存在不小于0的極小值，其中a，b都是實數(shù)，則（）A.b的最小值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】D【解析】因為存在不小于0的極小值，所以有解，所以，且解為，時；時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極小值，所以，，，．令，則，時，，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，y取得最小值，所以b的最小值為，A錯誤；令，則，時，；時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)的最大值為，故的最大值為，B錯誤；令，則，時，，時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取得最大值，最大值為，C錯誤；令，則，時，，時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，的最小值為，的最小值為，D正確．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因為，且，所以，所以，即，故A正確；因為，，所以，故B正確；因為，所以，，由可得，所以，故C正確；因為取，滿足條件，但此時，故D錯誤．故選：ABC．10.已知等差數(shù)列滿足，，則（）A.數(shù)列的前n項和B.正整數(shù)p，q，r成等差數(shù)列的充要條件是，，成等差數(shù)列C.數(shù)列的前100項和為50D.，，成等比數(shù)列【答案】AB【解析】A選項，設(shè)數(shù)列的公差為d，則，解得，代入，得，解得，所以，，故A正確；B選項，，故B正確；C選項，數(shù)列的前100項和為，故C錯誤；D選項，，，，由于，故，，不成等比數(shù)列，故D錯誤．故選：AB．11.在三棱錐中，平面，，．若三棱錐的體積為，則（）A.B.二面角的平面角小于C.點A到平面的距離為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，，，由平面，知，，可得，，又，所以，得，在中，，則，的面積為，三棱錐的體積為，，所以，故A正確；對于B，由平面知是二面角的平面角，由A，，所以，故B錯誤；對于C，的面積為，由三棱錐等體積法可得點A到平面的距離，故C錯誤；對于D，如圖，設(shè)三棱錐外接球的球心為，的外接圓的圓心為，半徑為r，所以平面，且，則，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，則，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點與點關(guān)于原點對稱，則______．【答案】【解析】因為點與點關(guān)于原點對稱，所以，，，解得，，，故．故答案為：.13.已知，，則________.【答案】【解析】由，得，，則.故答案為：.14.已知函數(shù)，若直線與曲線有交點且，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】定義域為，易知是奇函數(shù)，，所以，，，且，所以且，因為，所以，時，，或時，，所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且，當(dāng)時，，需滿足：，即，又且，所以.因為，所以時，，時，，當(dāng)時，，，，成立．當(dāng)時，，，且，由得，不等式不成立．綜上，a的取值范圍是．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）由余弦定理，得，又，所以，則，所以，由正弦定理，得．（2）法一：由（1）可知，，又，所以，，由，得，解得，則，故的面積．法二：由正弦定理及，得，所以，由（1）知，又，即，，所以，．因為，，所以，，為直角三角形，則，所以，，，所以的面積．16.如圖，在直三棱柱中，，，M為側(cè)面的對角線的交點，D，E分別為棱，的中點．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．（1）證明：因為M為側(cè)面的對角線的交點，直棱柱中，四邊形是矩形，所以M是的中點，M是的中點，因為D，E分別為棱，的中點，所以，，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因為，，平面，所以平面平面．（2）解：由，得，所以，又因為直棱柱中，平面，所以可以為原點，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，由解得，或，所以的長為2或4．17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，求和，并證明．解：（1）設(shè)的公差為d，由，得，，兩式聯(lián)立解得，，所以，設(shè)的公比為q，由知，且，又，所以，，因為，所以．（2）因為，所以因為，所以，因為，所以，因為，令，則，所以，因數(shù)列為遞增數(shù)列，則，則，所以為遞減數(shù)列，又，所以時，，所以，所以，所以．18.如圖，在梯形中，E是中點，，，，連接，將沿折起使A點至P點處，得四棱錐，且，點M為棱上的一點．（1）若O是的中點，求證：平面；（2）若直線與直線所成的角為，求的值；（3）若M是的中點，求二面角的正弦值．（1）證明：因為在梯形中，E是中點，，，，所以四邊形是正方形，，，將沿折起使A點至P點處，有，，因為，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因為，O是中點，所以，又平面，平面平面，所以平面．（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為y軸，z軸，以過O與平行的直線為x軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．由（1）可得，則，，，，，．，，，設(shè)，有，因為直線與直線所成的角為，所以，所以，所以，又，所以，所以．（3）解：由（2）知，，的中點，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則．同理可求得平面的一個法向量，，又二面角的范圍是，故二面角的正弦值．19.已知函數(shù)，．（1）若是的極值點，求a的值并說明是極大值點還是極小值點；（2）若時，，求a的取值范圍；（3）對的定義域內(nèi)的任意，，證明：．（1）解：的定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，當(dāng)時，，因為，；時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點.（2）解：，當(dāng)時，，，時，；時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)