《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第一章概率論的基本概念..........................2

§2.樣本空間、隨機(jī)事件..................................2

§4等可能概型（古典概型）...............................3

§5.條件概率...........................................3

§6.獨(dú)立性........................................3

第二章隨機(jī)變量及其分布..........................4

§1隨機(jī)變量..............................................4

§2離散性隨機(jī)變量及其分布律.............................4

§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)...................................5

§4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度...........................5

§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.................................6

第三章多維隨機(jī)變量.............................6

§1二維隨機(jī)變量.........................................6

§2邊緣分布..............................................7

§3條件分布..............................................7

§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量...................................8

§5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.............................8

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征.......................9

§1.數(shù)學(xué)期望...........................................3

§2方差..................................................9

§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù).....................................9

第五章大數(shù)定律與中心極限定理.....................11

§1.大數(shù)定律..........................................3

§2中心極限定理.........................................11

第一章概率論的基本概念

§2.樣本空間、隨機(jī)事件

1.事件間的關(guān)系則稱(chēng)事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

稱(chēng)為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),

事件發(fā)生

稱(chēng)為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生

稱(chēng)為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件

發(fā)生

,則稱(chēng)事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同

時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的

,則稱(chēng)事件A與事件B互為逆事件，又稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事

件

2.運(yùn)算規(guī)則交換律

結(jié)合律(AU3)DC=AU(3DC)(XnB)C=A(BnC)

分配律AD(8CC)=(ADB)C(ADC)

An(BuC)=(AnB)(AnC)

德摩根律BAnB=AuB

§3.頻率與概率

定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱(chēng)為事

件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率

概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),

稱(chēng)為事件的概率

1.概率滿(mǎn)足下列條件：

(I)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A

(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事件S

(3)可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，有(可以取)

2.概率的一些重要性質(zhì)：

(i)P(0)=O

(ii)若是兩兩互不相容的事件，則有(可以取)

(iii)設(shè)A,B是兩個(gè)事件若，則，

(iv)對(duì)于任意事件A,

(v)P(A)=1-P(A)(逆事件的概率)

(vi)對(duì)于任意事件A,B有

§4等可能概型(古典概型)

等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同

若事件A包含k個(gè)基本事件，即，里

(1)§5.條件概率

(2)定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且，稱(chēng)為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率

<3)條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件

Io非負(fù)性：對(duì)于某一事件B,有

(4)2o規(guī)范性：對(duì)于必然事件S,

3可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有

乘法定理設(shè)，則有稱(chēng)為乘法公式

全概率公式:

貝葉斯公式:

§6.獨(dú)立性

定義設(shè)A,B是兩事件，如果滿(mǎn)足等式，則稱(chēng)事件A,B相互獨(dú)立

定理一設(shè)A,B是兩事件，且，若A,B相互獨(dú)立，則

定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列

各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與口

第二章隨機(jī)變量及其分布

§1隨機(jī)變量

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為是定義在樣本空間s上的實(shí)值

單值函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)變量

§2離散性隨機(jī)變量及其分布律

離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨

機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量

L滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件（1）,（2）=1

2.三種重要的離散型隨機(jī)變量

（1）分布

設(shè)隨機(jī)變量X只能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是，則稱(chēng)X服從以p為參數(shù)的分布

或兩點(diǎn)分布。

（2）伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布

設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果:A與，則稱(chēng)E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)，此時(shí)?將E獨(dú)立重復(fù)

的進(jìn)行n次，則稱(chēng)這?申重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。

滿(mǎn)足條件(I),(2)=1注意到是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中出現(xiàn)的那一項(xiàng)，我們稱(chēng)

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n.p的二項(xiàng)分布。

(3)泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2…，而取各個(gè)值的概率為

其中是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布記為

§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)

稱(chēng)為X的分布函數(shù)

分布函數(shù)，具有以下性質(zhì)(1)是一個(gè)不減函數(shù)(2)(3)

§4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度

連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函數(shù)，使對(duì)于

任意函數(shù)x有則稱(chēng)x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率

密度

I概率密度具有以下性質(zhì)，滿(mǎn)足(I)；

(3)；(4)若在點(diǎn)x處連續(xù)，則有

2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

(I)均勻分布

若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度,則成X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布.記為

(2)指數(shù)分布

若連續(xù)性隨機(jī)變景X的概率密度為其中為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。

(3)正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的正態(tài)分布或高斯分布，記為

特別，當(dāng)時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度□又設(shè)

函數(shù)□處處可導(dǎo)且恒有口，則Y二□是連續(xù)型

隨機(jī)變量，其概率密度為口

第三章多維隨機(jī)變量

§1二維隨機(jī)變量

定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是和是定義在S上的隨機(jī)變量，稱(chēng)為

隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量（X,Y）叫做二維隨機(jī)變量

設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量（X,Y）

的分布函數(shù)

如果二維隨機(jī)變量（X,Y）全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱(chēng)（X,Y）

是離散型的隨機(jī)變量。

我們稱(chēng)為二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的分布律。

對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f

（x,y）,使對(duì)于任意x,y有則稱(chēng)（X,Y）是連續(xù)性的隨機(jī)變量，函

數(shù)f（x,y）稱(chēng)為隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X

和Y的聯(lián)合概率密度。

§2邊緣分布

二維隨機(jī)變量（X,Y）作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù).而X和Y都是隨機(jī)變量，各自

也有分布函數(shù)，將他們分別記為，依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣

分布函數(shù)。

分別稱(chēng)為（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。

分別稱(chēng)，為X,Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概

率密度。

§3條件分布

定義設(shè)（X,Y）是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j,若

則稱(chēng)為在條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣為在條件下

隨機(jī)變量X的條件分布律。

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為，（X,Y）關(guān)于Y的

邊緣概率密度為，若對(duì)于固定的y,〉0,則稱(chēng)為在Y=y的條件下

X的條件概率密度，記為=

§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

定義設(shè)及，分別是二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若

對(duì)于所有x,y有，即，則稱(chēng)隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X,Y）,X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)

§5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1,Z=X+Y的分布

設(shè)（X,Y）是一維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度.貝JZ=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量、其

概率密度為或

又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X,Y）關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為則和這兩個(gè)公

式稱(chēng)為的卷積公式

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布

2,

設(shè)（X,Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度，則

仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為乂若X和Y用互獨(dú)立，設(shè)（X,Y）關(guān)于X,Y的邊

緣密度分別為則可化為

3M=max{X,Y}&N=min{X/}的分布

設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為由于不大于z等價(jià)于X和Y

都不大于z故有又由于X和Y相互獨(dú)立，得到的分布函數(shù)為

N=min{X,丫}的分布函數(shù)為4出⑶=14一心⑵口-4⑶]

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

§1.數(shù)學(xué)期望

定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，k=12…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)的和為

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，若積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)積分的值為隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即

定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))

(i)如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，k=l,2,…若絕對(duì)收斂則有

(ii)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為，若絕對(duì)收斂則有

數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)

1設(shè)C是常數(shù)，則有

2設(shè)X是隨機(jī)變也C是常數(shù)，則有

3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有；

4設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

§2方差

定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱(chēng)為X的方差，記為D(x)即D(x)=，在

應(yīng)用上還引入量，記為，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。

D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)-(EX)2

方差的幾個(gè)重要性質(zhì)

1設(shè)C是常數(shù)，則有

2設(shè)X是隨機(jī)變量,C是常數(shù)，則有，

3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有

4的充要條件是X以概率1取常數(shù)，即

切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，則對(duì)于任意正數(shù)，

不等式成立

§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

定義量稱(chēng)為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為，即

而PXY=冊(cè)-X，Y）稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

7D（X\/D（Y）

對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y,

協(xié)方差具有下述性質(zhì)

1Cov（X,Y）=Cbv（y,X）,Cov{aX,bY）=abCov（X,Y）

()CMX],)

2Ce>vx1+x2,y=y+CMX29Y)

定理1\pxY\K1

2的充要條件是，存在常數(shù)a,b使

當(dāng)0時(shí)，稱(chēng)X和Y不相關(guān)

附：幾種常用

的概率分布數(shù)學(xué)

參數(shù)分布律或概率密度方差

表期望

分布

兩點(diǎn)分布0<p<1PP(I-P)

二項(xiàng)式分布/?>10</?<1np叩（"p）

泊松分布2>0尸（X=幻=^^,攵=0,1,2「一AX

k!

J_i-〃

幾何分布0<p<1P(X=Q=(l—〃)JpM=l,2,…2

Pp~

a+bS-a)2

均勻分布a<b

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