25概率

I|||a■MO必然事件、不可能事件和隨機事件

?I

II

I

（1）必然事件I

!I

在一定條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件，叫做必然事件.

I,I

（2）不可能事件

i

在每次試驗中都不會發(fā)生的事件叫做不可能事件.

I?I

（3）隨機事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.

I

J更看'：

,I

i1.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機事件又稱為“不確定事件”；

；2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，

II

;不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的!

!大小有可能不同.i

:題型1：必然事件、不可能事件和隨機事件1

（I

II

I

|砥1"對于二次函數(shù)y=。-1）2+1,當1時，y隨x的增大而增大”，這一事件為（）

i

A.必然事件B.隨機事件C.不確定事件D.不可能事件

I

【變式11】下列事件中為必然事件的是（）

I

A.任意拋擲一枚圖釘，結果釘尖著地B.在一個只裝著白球和黑球的袋中，摸出紅球

I?II

C.太陽從東邊升起D.明天會下雨

,I

I----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4

【變式12]"明天是陰天〃這個事件是（）

I?II

A.確定事件B.不可能事件

I?II

C.必然事件D.不確定事件

卜?---------------------------------------------------------------------------------------------------[I

i【變式13]下列事件是隨機事件的是（）

?IfI

A.任意畫一個三角形，該三角形的內(nèi)角和為180。

?I

B.從分別寫有2,4,6的三張卡片中隨機抽出一張，卡片上的數(shù)字能被2整除

?I

C.購買一張福利彩票就中獎

I

|D.從裝有4個紅球和2個黃球的袋中，隨機抽取一個是白球!

r---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------!---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\

|概率的意義I注意：

概率是從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的（1）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

可能性的大小.一般地，在大量重復試驗中，如果（2）概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小；

事件A發(fā)生的頻率里會穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近，（3）事件A的概率是一個大于等于0,且小于等于

n

1的數(shù)，，即00尸（4）01,其中P（必然事件）=1,

那么這個常數(shù)P就叫做事件A的概率，記為

PP（不可能事件）=0,（KP（隨機事件）＜1.

題型2:概率公式及計算

幽L不透明袋中裝有3個紅球和5個綠球，這些球除顏色外無其他差別.從袋中隨機摸出1個球是紅球

的概率為（）

【變式2?，F(xiàn)有四張完全相同的不透明卡片，其正面分別標有數(shù)字-2,0,右3,把這四張卡片背面朝上

洗勻后放在桌面上，從中隨機抽取一張卡片，則抽取的卡片上的數(shù)字是負數(shù)的概率為（）

【變式22】某班共有學生36人，在迎新年慶祝會上，隨機抽取1名一等獎，3名二等獎，5名三等獎，以

上統(tǒng)稱為等第獎，該班每一名學生獲得等第獎的概率是.

用列舉法求概率

列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能

的結果，通常采用列表法；列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某

?事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

樹狀圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹

形圖；樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可

能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

注意：

（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.

（3）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

（4）在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現(xiàn)的可能性務必相同.

題型3:列舉法求概率放回型或獨立型

B（轉盤）如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤A.B,這兩個轉盤除了表面顏色不同外，其它

構造完全相同.游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出紅色，另?個轉盤轉出藍色，那么紅色和

藍色在一起能配成紫色.請你用列表法或樹狀圖法，求游戲者不能配成紫色的概率.

【變式31］如圖，一轉盤被等分成三個扇形，上面分別標有數(shù)-1,1,2,指針位置固定，轉動轉盤后任其

自由停止，這時，某個扇形會恰好停在指針所指的位置，并相應得到這個扇形上的數(shù)（若指針恰好指在等

分線上，則當作指向右邊的扇形）.

（1）若小靜轉動轉盤一次，求得到負數(shù)的概率.

（2）小宇和小靜分別轉動轉盤一次，若兩人得到的數(shù)相同，則稱兩人“英雄所見略同”，用列表法（或樹狀

圖法）求兩人“英雄所見略同”的概率.

h（數(shù)字）.一個紙箱內(nèi)裝有三張正面分別標有數(shù)字-4,6：4的卡片，卡片除正面數(shù)字外其他均相

同.將三張卡片攪勻后，從中隨機摸出一張卡片記下數(shù)字，放回后攪勻，再從中隨機摸出一張卡片并

記下數(shù)字.請用列表法或畫樹狀圖法求兩次取得數(shù)字的絕對值相等的概率.

【變式41】有四張正面標有數(shù)字-1,2,8,9,背面顏色、形狀、大小都一樣的卡片，正面朝下放在桌面

上，小紅從中隨機抽取一張卡片記下數(shù)字后不放回，再從余下的卡片中隨機抽取一張卡片記下數(shù)字.

（1）第一次抽到標有數(shù)字2的卡片的概率是.

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取出的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率.

【變式42】一個不透明的袋子中裝有三個完全相同的小球，分別標有數(shù)字3,4,5.從袋子中隨機取出一

個小球，用小球上的數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后放回，再取出一個小球，用小球上的數(shù)字作為個位上的

數(shù)字，這樣組成一個兩位數(shù).這個兩位數(shù)能被3整除的概率是多少？請你用列表法或面樹狀圖法加以說明.

皿（摸球）.不透明的口袋里裝有2個紅球和2個黃球（除顏色不同外，其它都相同）.現(xiàn)進行兩次

摸球活動，第一次隨機摸出一個小球后不放回，第二次再隨機摸出一個小球，請用樹狀圖或列表法，

求兩次摸出的都是紅球的概率.

【變式51］已知一個不透明的袋子中裝有4個只有顏色不同的球，其中1個白球，3個紅球.

!（1）求從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率.

!（2）從袋中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，搖勻，再隨機摸出一個球，請用樹狀圖或列表法求兩次摸

出的球恰好顏色不同的概率.

i（3）若在原袋子中再放入〃?個白球和機個紅球，攪拌均勻后，使得隨機從袋中摸出I個球，顏色是白色

\的概率為:，求m的值.

【變式52】一個袋子里裝有3個只有顏色不同的球，其中2個白球，1個紅球.從口袋里摸出1個球，記

卜.顏色后放回，攪勻，再摸出一個球.

（1）按順序先后摸得的兩個球有幾種不同的可能？（畫樹狀圖或列表分析問題）

（2）求兩次摸出都是白球的概率.

6（硬幣）.連續(xù)兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都是正面朝上的概率是（

1111

Aa

--C--

?6B.423

【變式61】將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲兩次，拋擲兩次結果如三圖所示，則兩次都是正面朝上的概率等于

（）

正反

正（正，正）（正，反）

反（反，正）（反，反）

國7（選購方案）.某公司有甲、乙兩種品牌的打印機，其中甲品牌有A、B兩種型號，乙品牌有C、D、

E三種型號.某中學計劃從甲、乙兩種品牌中各選購一種型號的打印機.

（1）利用樹狀圖或列表法寫出所有的選購方案；

（2）如果各種型號的打印機被選購的可能性相同，那么C型號打印機被選購的概率是多少？

【變式71】甲、乙兩人去超市選購奶制品，有兩個品牌的奶制品可供選購，其中蒙牛品牌有兩個種類的奶

制品：A.純牛奶，B.核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶制品：C.純牛奶.酸奶，E.核桃奶.若甲

喜愛蒙牛品牌的奶制品，乙喜愛伊利品牌的奶制品，甲、乙兩人從各自喜愛的品牌中隨機選購一種奶制品,

請利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人選購到同一種類奶制品的概率.

題型4:列舉法求概率不放回型

西8（摸球不放回）.一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球.1個紅球，它們除顏色外均相同.從

箱子中隨機摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球.請你用列表或畫樹狀

圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率.

【變式81】將分別標有"最〃、"美濟"、"外〃四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字不

同外其他完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩次摸出的球上漢字

可以組成“濟外〃的概率是（）

1111

--C-a-

A.6B.432

圓曲（選人問題）.某市準備舉行初中生“黨史知識競賽“，學校通過初賽選出了2位男生A、B和2位

女生C、D共4位選手，準備從4人中任選2人代表學校參加比賽.求所選代表都是女生的概率.

!【變式91】醫(yī)院準備從甲、乙、丙二位醫(yī)生和力、A兩名護十中選取一位醫(yī)生和一名護+支援某地的防汛

I

5救災工作.

1（1）若隨機選一位醫(yī)生和護士，用樹狀圖（或列表法）表示所有可能出現(xiàn)的結果.

（2）求恰好選中醫(yī)生甲和護士力的概率.

利用頻率估計概率注意：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應盡可

能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時，結果

當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可

將較為精確.

能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.I

-------------------------------------------------.L__________________________________________

題型5:游戲的公平性

題10.現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球.其中，A袋裝有2個白球,

1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球.小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A,B兩袋中

隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小華獲勝；若顏色不同，則小林獲勝.請用

列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平，如果不公平，誰獲勝的機會大.

【變式IOI】“天宮課堂”第三課開講，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲相互配合進行授課，激發(fā)r同學們學習航

天知識的熱情.在學校組織的航天知識競賽中，小明和小雪均獲得了一等獎，學校決定通過兩人做游戲的

方式，從中選取一名游戲獲勝的同學作為代表分享獲獎心得.游戲規(guī)則如下：甲口袋（不透明）裝有編號

為1,2,3的三個小球，乙口袋［不透明）裝有編號為1,2,3,4的四個小球，每個口袋中的小球除編號

外其他都相同.小明先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和

為偶數(shù)，則小明獲勝；若兩球編號之和為奇數(shù)，則小雪獲勝.

（1）小明摸到小球的編號為2的概率為；

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平.

【變式102】在一個不透明的盒子中只裝2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它們除顏色外其余均相同，從這個

盒子中隨機地摸出2枚棋子.

（1）請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次摸出的棋子是不同顏色的概率.

（2）若小明、小亮做游戲，游戲規(guī)則是：兩次摸出的棋子顏色不同則小明得1分，顏色相同小亮得2分.你

認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

題型6:利用頻率估計概率

1

II

砥11.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個，這些球除顏色外都相同，隨機從袋中摸出?個球，，

?記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，冉從中摸出一個球，經(jīng)過如此大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸出的黑球的

!頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中黑球的個數(shù)約為（）

II

I

A.20個B.30個C.40個D.50個

【變式111】利用六張編號為1,2,3,4,5,6的撲克牌進行頻率估計概率的試驗，小張統(tǒng)計了某一結果i

II

I

:出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結果的試驗可能是（）

頻率

0-'200'400*600；^^.

A.抽中的撲克牌編號是3的倍數(shù)的概率B.抽中的撲克牌編號是奇數(shù)的概率

C.抽中的撲克牌的編號是6的概率D.抽中的撲克牌的編號大于3的概率

?-OB--?■>>

【變式112］如圖，一張紙片上有一個不規(guī)則的圖案（圖中的小兔子），小雅想知道該圖案的面積是多少，

她采取了以下的辦法：用一個長為10cm,寬為6cm的長方形將該圖案圍起來，然后在適當位置隨機地向

長方形區(qū)域內(nèi)擲點，通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落在圖案部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，由此她估計此不規(guī)則

圖案的面積大約為cm2.

題型7:統(tǒng)計概率綜合

的12.為提升學生的藝術素養(yǎng)，學校計劃開設四門藝術選性課：A.書法：B.繪畫：C.樂器：D.舞蹈.為

了解學生對四門功課的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取若二名學生進行問卷調(diào)查（每個被調(diào)查的學

生必須選擇而且只能選擇其中一門）.將數(shù)據(jù)進行整理，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖

中所給信息解答下列問題：

學生選修課程扇形統(tǒng)計圖學生選修課程條形統(tǒng)計圖

（1）本次調(diào)查的學生共有人；扇形統(tǒng)計圖中Na=度；

（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）學校為舉辦2021年度校園文化藝術節(jié)，決定從A.書法；B.繪畫；C.樂器；D.舞蹈四項藝術形

式中選擇其中兩項組成一個新的節(jié)目形式，請用列表法或樹狀圖求出選中書法與樂器組合在一起的概

率.

【變式121】林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹在移植過程中的一組數(shù)I

據(jù):

移植的棵數(shù)100015C0250040008000150002000030000

成活的棵數(shù)8651356222035007056131701758026430

成活的頻率

0.8650.9040.8880.8750.8820.878ab

（精確到0.001）

（1）a=,b=；

（2）估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率的估計值是多少？（精確到0.01）

（3）若要成活26400棵樹苗，需要移植多少棵樹苗？

【變式122】電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.2m0.250.20.1

說明：好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(1)已知第三類電影獲得好評的有45部，則瓶=；

(2)如果電影公司從收集的電影中隨機選取1部，求抽到的這部電影是第四類電影中的好評電影的概率；

(3)根據(jù)前期調(diào)查反饋：第一類電影上座率與好評率的關系約為：上座率=好評率xl.5+0.1,第二類電影

上座率與好評率的關系約為：上座率=好評率xl.5+0.1.現(xiàn)有一部第一類的力電影和一部第二類的B電影將

同時在某影院上映.A電影的票價為45元，B電影的票價為40元，該影院的最大放映廳的滿座人數(shù)為1000

人，公司要求排片經(jīng)理將這兩部電影安排在最大放映廳放映，且兩部電影每天都要有排片.現(xiàn)有3個場次

可供排片，僅從該放映廳的票房收入最高考慮，排片經(jīng)理應如何分配4、8兩部電影的場次，以使得當天的

票房收入最高？

一、單選題

1.同時拋擲兩枚均勻硬幣，正面都同時向上的概率是（）

1113

--C-a-

A.3B.424

2.卜.列事件中：①兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)；②拋擲一枚均勻的骰子，朝上點數(shù)為2；③每天太陽從東邊

升起：④明天要下雨：⑤長分別為2,3,4的二條線段能圍成一個二角形.是必然事件的是（）

A.①②③④⑤B.①③⑤C.②④D.①③

3.連續(xù)擲一枚硬幣，結果1連8次正面朝上，那么第9次出現(xiàn)正面朝上的概率為（）

1

O-

A.2D.不確定

4.在50包型號為L的襯衫的包裹中混進了型號為M的襯衫，每包20件襯衫，每包中混入的M號襯衫數(shù)

如表：

M號襯衫數(shù)0145791011

包數(shù)73101554