1.5角平分線

1.5角平分線第1課時

角平分線的性質(zhì)及判定情境導(dǎo)入知識講解隨堂小測課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標1.證明角平分線的性質(zhì)定理，探索并證明角平分線的判定定理，進一步發(fā)展推理能力；（重點）（難點）2.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，進一步體會證明的必要性，增強證明意識和能力.情境導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧1.什么是點到直線的距離？OPl從直線外一點，作直線的垂線，垂線段的長度為點到直線的距離.2.什么是角平分線？3.角平分線上的點有什么性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧你能嘗試證明這一性質(zhì)嗎？從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.情境導(dǎo)入知識講解知識點

角平分線的性質(zhì)與判定

已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E.求證：PD=PE.21EDCPOBA證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.想一想你能寫出這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.如果一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點在這個角的角平分線上.角平分線是一條射線，在角的外部也有到角兩邊距離相等的點，但不在這個角的角平分線上.所以是假命題.這個命題應(yīng)怎樣改，才是真命題呢？請你修改一下，并證明.在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.21EDPOBA已知：如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°．∴PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）．∴∠1=∠2（全等三角形對應(yīng)角相等）．∴OP平分∠AOB．例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.1212知識拓展

角平分線的性質(zhì)定理和線段垂直平分線的性質(zhì)定理中都提到了“距離相等”，你認為這兩個“距離”含義相同嗎？不相同.線段垂直平分線的性質(zhì)定理中“距離”是兩點之間的距離；而角平分線的性質(zhì)定理中的“距離”指的是點到線的距離.知識拓展

角平分線的畫法（尺規(guī)作圖）：已知：∠AOB.求作：射線OC，使OC平分∠AOB.OAB作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧分別交OA，OB于點D，E；ADE（2）分別以D，E為圓心，大于

DE的長為半徑作弧，交于點C；12C（3）作射線OC.OC就是∠AOB的角平分線.總結(jié)歸納角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.隨堂小測1.如下圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長是

（

）A．3

B．4

C．6

D．5A2.如圖，AD，AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線和外角平分線，它們有什么關(guān)系？解：互相垂直.理由如下：∵AD，AE分別平分∠BAC和∠CAF，∴∠CAD=∠BAC，∠CAE=∠CAF.∴∠CAD+∠CAE=∠BAC+∠CAF=（∠BAC+∠CAF）=×180°=90°.即∠DAE=90°.∴AD⊥AE.1212121212123.如圖，一目標在A區(qū)，到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，在圖上標出它的位置(比例尺1∶20000).解：把公路、鐵路看成兩條相交直線，相交點為O，作其夾角（A區(qū)所在角）的角平分線OB，再OB上截取OC=2.5cm，C點即為所求目標.1.如圖所示，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，AQ=PQ，PR=PS.下面三個結(jié)論:①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.正確的是

（

）A.①和② B.②和③C.①和③ D.全對當(dāng)堂檢測A2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，連接AD，E為AD上一點，EM⊥AB于點M，EN⊥AC于點N，則下面四個結(jié)論：①若AD⊥BC，則EM＝EN；②若EM＝EN，則∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，則AM＝AN；④若EM＝EN，則∠AEM＝∠AEN.其中正確的有

（

）A．1個

B．2個C．3個

D．4個D3.已知：如圖，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點F，E，G分別是OA，OB上的點，且PF=PG，DF=EG.求證:OC是∠AOB的平分線.證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG，DF=EG，∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，∴PD=PE.∵P是OC上點，PD⊥OA，PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分線.課堂小結(jié)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.情境導(dǎo)入知識講解隨堂小測當(dāng)堂檢測

1.5角平分線第2課時

三角形三個內(nèi)角的平分線課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標1.利用角平分線的性質(zhì)和判定探索證明三角形三條角平分線的特殊位置關(guān)系及性質(zhì)；（難點）2.能運用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決問題.（重點）情境導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧之前我們學(xué)習(xí)了三角形三邊上的垂直平分線的性質(zhì)，你還記得它的內(nèi)容嗎？三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角平分線，這節(jié)課我們將一塊兒學(xué)習(xí)三角形角平分線的綜合應(yīng)用以及三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì).知識講解知識點1角平分線的綜合應(yīng)用

例2

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點E.（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CD.DABEC例2如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點E.（1）已知CD=4cm，求AC的長；DABEC（1）解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等邊對等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°.∴BE=DE（等角對等邊）.在等腰直角三角形BDE中，BD=

=4cm（勾股定理）.∴AC=BC=CD+BD=

（4+4）cm.12（2）求證：AB=AC+CD.（2）證明：由（1）的求解過程可知Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.DABEC知識點2三角形三條邊角平分線的性質(zhì)

畫出下面三角形三個內(nèi)角的平分線.畫一畫剪下一個三角形，通過折疊找出各角平分線.做一做發(fā)現(xiàn)：三角形三條角平分線交于一點．并且這一點到三條邊的距離相等．通過這兩次動手操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能證明這個結(jié)論嗎？總結(jié)歸納三角形三角平分線的性質(zhì)定理三角形的三條角平分線交于一點．并且這一點到三條邊的距離相等．例3

已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P。求證：∠A的平分線經(jīng)過點P。解：如圖，過點P分別作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，∴PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）。同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點P在LA的平分線上（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上），即ZA的平分線經(jīng)過點P。隨堂小測1.三條公路圍成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在

（

）A.三角形的三條角平分線的交點處B.三角形的三條中線的交點處C.三角形的三條高的交點處D.以上位置都不對A2.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝

.4∶5∶6（易錯題）3.如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？（

）A.1處B.2處C.3處D.4處l1l2l3P1P2P3P4D1.如圖，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于點P，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N，且AC=4，PM=2，則△APC的面積是

（

）A.4 B.2 C.8 D.6當(dāng)堂檢測A2.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=40°，

D，E分別在邊BC，AB上，且

DE⊥AB于E，CD