專題08解三角形7種常見考法歸類知識(shí)五年考情（20212025）命題趨勢(shì)知識(shí)1正余弦定理（5年5考）考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形2025·天津2025·全國二卷2024·天津2023·上海2023·天津2023·全國乙卷2022·天津2021·全國甲卷2021·上海2021·天津1.三角形正余弦定理求基本量運(yùn)算是高考必考知識(shí)點(diǎn)，邊角轉(zhuǎn)化，最值問題與不等式相結(jié)合等都是高考高頻考點(diǎn)2.解三角形在高考解答題中，周長(zhǎng)面積問題是高考中?？碱}型，難度一般，容易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以及與三線相結(jié)合，注重常規(guī)方法以及常規(guī)技巧考點(diǎn)02正余弦定理綜合2024·全國甲卷2023·北京2022·全國乙卷考點(diǎn)03三角形的面積問題2025·全國一卷2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·全國甲卷2023·全國乙卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2022·浙江2021·全國乙卷2021·新高考全國Ⅱ卷考點(diǎn)04三角形的周長(zhǎng)問題2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·北京2022·全國乙卷2021·北京知識(shí)2解三角形的應(yīng)用（5年5考）考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用2025·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國甲卷2022·全國甲卷2021·浙江2021·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)06解三角形的最值問題2022·新高考全國Ⅰ卷考點(diǎn)07解三角形的實(shí)際應(yīng)用2024·上海2021·全國甲卷2021·全國乙卷考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形【答案】A故選：AA．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．【答案】故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.故選：C.(2)求的值；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；(1)求的值；【答案】(1)(2)(3)(1)求A的值；(2)求c的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡(jiǎn)可求；（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進(jìn)而求得；【答案】(1)1，；【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（I）求a的值；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.(1)求的值；考點(diǎn)02正余弦定理綜合【答案】C故選：C.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.故選：B.【答案】(1)；(2)證明見解析．考點(diǎn)03三角形的面積問題【答案】(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．(2).【詳解】（1）由余弦定理可得：(1)求B；(1)求；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；(1)求；注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；【答案】(1)；【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.

【答案】ABC方法一：分類討論方法二：邊角轉(zhuǎn)化方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：故選：ABC考點(diǎn)04三角形的周長(zhǎng)問題(1)求；【答案】(1)（1）求；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：(1)求A．（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）方法三：利用極值點(diǎn)求解方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）方法五：利用萬能公式求解（2）由題設(shè)條件和正弦定理【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；【詳解】故答案為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．【詳解】[方法一]：余弦定理[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得[方法四]：判別式法【詳解】由題意作出圖形，如圖，(1)求c的值；【答案】(1)6(2)答案見解析【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理[方法二]：等面積法和三角形相似[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.考點(diǎn)06解三角形的最值問題【答案】(1)；【詳解】（1）方法一：直接法方法二：二倍角公式處理+直接法方法三：導(dǎo)數(shù)同構(gòu)法方法四：