第一章第8節(jié)函數(shù)的圖象[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.在實(shí)際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)圖象的作用.2.借助函數(shù)圖象,理解和研究函數(shù)的性質(zhì).積累·必備知識01回顧教材,夯實(shí)四基1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線.首先,確定函數(shù)的定義域,化簡函數(shù)解析式,討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等);其次,列表(尤其注意特殊點(diǎn):零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等),描點(diǎn),連線.2.圖象變換(1)平移變換(1)左右平移僅僅是相對x而言的,即發(fā)生變化的只是x本身,利用“左加右減”進(jìn)行操作.如果x的系數(shù)不是1,需要把系數(shù)提出來,再進(jìn)行變換.(2)上下平移僅僅是相對y而言的,即發(fā)生變化的只是y本身,利用“上減下加”進(jìn)行操作.但平時我們是對y=f(x)中的f(x)進(jìn)行操作,滿足“上加下減”.(2)對稱變換①y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱;②y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱;③y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;④y=ax(a>0,且a≠1)與y=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(3)翻折變換①y=f(x)y=|f(x)|;②y=f(x)y=f(|x|).(4)伸縮變換①y=f(x)y=

.②y=f(x)y=

.f(ax)af(x)1.對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個x的值,若f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱.特別地,若f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.2.對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個x的值,若f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.特別地,若f(a+x)=-f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對稱.3.兩個函數(shù)圖象的對稱性(相互對稱)(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線(a+x)-(b-x)=0(即)對稱;(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)函數(shù)y=|f(x)|為偶函數(shù).(

)(2)函數(shù)y=f(1-x)的圖象,可由y=f(-x)的圖象向左平移1個單位長度得到.(

)(3)當(dāng)x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.(

)(4)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(

)××××2.下列圖象是函數(shù)y=的圖象的是(

)解析:其圖象是由y=x2圖象中x<0的部分和y=x-1圖象中x≥0的部分組成,故C符合題意.故選C.√3.函數(shù)y=的圖象大致是(

)√解析:y=>0,排除B,C;當(dāng)x=0時,y=,當(dāng)x=2時,y=3,A不滿足,排除.故選D.4.函數(shù)y=f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于y軸對稱,再把y=f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)=

.

解析:因為f(x)=e-x,所以g(x)=e-(x-1)=e-x+1.e-x+102提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一函數(shù)圖象的作法[例1]作出下列函數(shù)的圖象:(2)y=|log2(x+1)|;解:(2)將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個單位長度,再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,如圖②.(3)y=x2-2|x|-1.解析:(3)因為y=且函數(shù)為偶函數(shù),先用描點(diǎn)法作出[0,+∞)上的圖象,再根據(jù)對稱性作出(-∞,0)上的圖象,如圖③.作函數(shù)圖象的一般方法直接法當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時,就可根據(jù)這些函數(shù)的特征找出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出圖象轉(zhuǎn)化法含有絕對值符號的函數(shù),可脫掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象圖象變換法若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱、伸縮得到,可利用圖象變換作出,但要注意變換順序,對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形,應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響[針對訓(xùn)練]作出下列函數(shù)的圖象:(2)y=|x+1|(x-3).解:(2)令f(x)=|x+1|(x-3),則f(x)=圖象如圖所示.考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識別[例2](1)(2024·天津模擬)函數(shù)f(x)=的圖象大致是(

)√(2)(2022·全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖象,則該函數(shù)是(

)√函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).(5)從函數(shù)的特殊點(diǎn),排除不合要求的圖象.[針對訓(xùn)練](1)(2024·陜西咸陽模擬)函數(shù)f(x)=的大致圖象為(

)√解析:(1)依題意可得f(x)=又e>1,則根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象即可判斷只有選項B符合.故選B.(2)(2024·廣西柳州模擬)已知函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示,則下列可能是f(x)的解析式的是(

)A.f(x)=x+cosx B.f(x)=x-cosx√解析:(2)f(0)=1>0,故A選項錯誤;因為f(0)=-1<0,且f′(x)=1+sinx≥0,則f(x)在R上單調(diào)遞增,故B選項正確;考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用角度一利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)[例3](多選題)已知函數(shù)f(x)=,則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對稱B.函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減C.函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A,B,使得直線AB∥x軸D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱√√利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其性質(zhì)常借助圖象研究:(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值、極值;(2)從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性;(3)從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.角度二確定零點(diǎn)個數(shù)、解不等式[例4](1)(2020·北京卷)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是(

)A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)√解析:(1)函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集,即2x>x+1的解集,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x,y=x+1的圖象(如圖所示),結(jié)合圖象易得2x>x+1的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).故選D.(2)已知f(x)=則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)個數(shù)是

.

解析:(2)方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解為f(x)=或1.作出y=f(x)的圖象,由圖象知零點(diǎn)的個數(shù)為5.5(1)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù):當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時,可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)利用函數(shù)的圖象研究不等式:當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時,常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而利用數(shù)形結(jié)合求解.角度三求參數(shù)的取值范圍[例5](2024·江蘇揚(yáng)州模擬)已知f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

(-2,0)∪{2}解析:g(x)=f(x)-k有兩個零點(diǎn),即f(x)=k有兩個根,即函數(shù)y=f(x)與y=k的圖象有兩個交點(diǎn),如圖所示,顯然,當(dāng)k=2或-2<k<0時,函數(shù)y=f(x)與y=k有兩個交點(diǎn),符合題意.利用函數(shù)圖象求參數(shù)問題,一般先準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖象,利用函數(shù)圖象的直觀性,結(jié)合其性質(zhì),求解參數(shù)問題.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(多選題)某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=(x∈R)時,給出下面幾個結(jié)論,其中,正確的是(

)A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對稱B.f(x)是單調(diào)函數(shù)C.f(x)的值域為(-1,1)D.函數(shù)g(x)=f(x)-x有且只有一個零點(diǎn)√√√解析:(1)作出y=f(x)的圖象,如圖所示.對于A,f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱,不關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對稱,故A錯誤;對于B,f(x)是R上的增函數(shù),故B正確;對于C,由圖象知,f(x)的值域為(-1,1),故C正確;對于D,令g(x)=f(x)-x=0,得

=0,即x·=0,解得x=0,從而函數(shù)g(x)=f(x)-x有且只有一個零點(diǎn),故D正確.故選BCD.(2)(角度二)(2024·海南?？谀M)函數(shù)f(x)=ln(x+3)的圖象與函數(shù)g(x)=|x2-2|的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.0√如圖,由圖象可知它們有4個交點(diǎn).故選C.(3)(角度三)(2024·北京統(tǒng)考模擬)設(shè)c∈R,函數(shù)f(x)=若f