第3節(jié)等比數(shù)列[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于

,那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

,公比通常用字母q表示(顯然q≠0),定義的表達(dá)式為=q(n∈N*,q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么

叫做a與b的等比中項(xiàng).即G是a與b的等比中項(xiàng)?a,G,b成等比數(shù)列?

.

2同一個(gè)常數(shù)公比GG2=ab只有兩個(gè)同號(hào)的數(shù),才有等比中項(xiàng),并且等比中項(xiàng)有兩個(gè).2.等比數(shù)列的有關(guān)公式等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.(1)通項(xiàng)公式:an=

.a1qn-1(2)前n項(xiàng)和公式:3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am·

(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am·an=

.qn-map·aq(4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.(5)在等比數(shù)列{an}中,若Sn為其前n項(xiàng)和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q=-1除外).(1)an=·qn,當(dāng)q>0,且q≠1時(shí),可以看成函數(shù)y=cqn,是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積,因此數(shù)列{an}各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)y=cqx的圖象上;當(dāng)q=1時(shí),{an}為非零常數(shù)列.(2)則Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)y=-aqx+a圖象上一系列孤立的點(diǎn).對(duì)于常數(shù)列的等比數(shù)列,即q=1時(shí),因?yàn)閍1≠0,所以Sn=na1,由此可知,數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)y=a1x圖象上一系列孤立的點(diǎn).1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(

)(2)G為a,b的等比中項(xiàng)?G2=ab.(

)(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(

)(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.(

)(5)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn=.(

)×××××2.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q等于(

)A.- B.-2 C.2 D.√3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6等于(

)A.31 B.32 C.63 D.64√解析:根據(jù)題意知,等比數(shù)列{an}的公比不是-1.由等比數(shù)列的性質(zhì),得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故選C.4.將公比為q的等比數(shù)列a1,a2,a3,a4,…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2,a2a3,a3a4,….此數(shù)列是(

)A.公比為q的等比數(shù)列B.公比為q2的等比數(shù)列C.公比為q3的等比數(shù)列D.不一定是等比數(shù)列√5.在等比數(shù)列{an}中,a3=9,a7=729,則a3與a7的等比中項(xiàng)為

.

解析:設(shè)a3與a7的等比中項(xiàng)為G.因?yàn)閍3=9,a7=729,所以G2=9×729=6561,所以G=±81.±816.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則=

.

-11解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)?a2+a5=0,所以8a1q+a1q4=0,所以q3+8=0,所以q=-2,所以

02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算[例1](1)(2023·全國(guó)甲卷)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為{an}前n項(xiàng)和,S5=5S3-4,則S4等于(

)A.7 B.9 C.15 D.30解析:(1)由題意知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4,即q3+q4=4q+4q2,即q3+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由題意知q>0,所以q=2,所以S4=1+2+4+8=15.故選C.√2n-1解析:(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題,等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論,當(dāng)q=1時(shí),{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),{an}的前n項(xiàng)和

(1)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a6-a2=40,a4+a2=10,則a1等于(

)√[針對(duì)訓(xùn)練](2)(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若8S6=7S3,則{an}的公比為

.

解析:(2)若q=1,則由8S6=7S3得8×6a1=7×3a1,則a1=0,不符合題意,所以q≠1.當(dāng)q≠1時(shí),因?yàn)?S6=7S3,所以

即8·(1-q6)=7·(1-q3),即8·(1+q3)(1-q3)=7·(1-q3),即8·(1+q3)=7,解得q=.[例2]已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等比數(shù)列;②數(shù)列{Sn+a1}是等比數(shù)列;③a2=2a1.解:選①②作為條件證明③.設(shè)等比數(shù)列{Sn+a1}的公比為q,Sn+a1=Aqn-1(A≠0),則Sn=Aqn-1-a1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=A-a1,所以A=2a1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=Aqn-2(q-1),考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以

解得q=2,所以a2=A=2a1.選①③作為條件證明②.因?yàn)閍2=2a1,{an}是等比數(shù)列,所以公比q=2,所以Sn==a1(2n-1),即Sn+a1=a12n,因?yàn)?2,所以{Sn+a1}是等比數(shù)列.選②③作為條件證明①.設(shè)等比數(shù)列{Sn+a1}的公比為q,Sn+a1=Aqn-1(A≠0),則Sn=Aqn-1-a1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=A-a1,所以A=2a1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=Aqn-2(q-1),因?yàn)閍2=2a1,所以A(q-1)=A,解得q=2,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=Aqn-2(q-1)=A·2n-2=a1·2n-1,又因?yàn)?2(n≥2),且a2=2a1,所以{an}為等比數(shù)列.等比數(shù)列的判定方法(1)定義法:若=q(q為非零常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.(2)等比中項(xiàng)法:若數(shù)列{an}中,an≠0,且=an·an+2(n∈N*),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn,c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*,則{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=kqn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數(shù)列.說(shuō)明:前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法,后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.[針對(duì)訓(xùn)練](2019·全國(guó)Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;(1)證明:由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),則an+1+bn+1=(an+bn).又因?yàn)閍1+b1=1,所以{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因?yàn)閍1-b1=1,所以{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用角度一等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)[例3]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若a2=1,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值為(

)A. B.1 C.2 D.3√在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是“若m+n=p+q,則am·an=ap·aq”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.角度二等比數(shù)列和的性質(zhì)[例4]已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍,則公比q=

.

解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇,由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇,因?yàn)閍n>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.2(1)等比數(shù)列{an}中,所有奇數(shù)項(xiàng)之和S奇與所有偶數(shù)項(xiàng)之和S偶