5.1.2等式的性質(zhì)教學設計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級下冊第五章一元一次方程5.1方程，

內(nèi)容包括：等式的性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課的學習是在學生學習了等式和方程基礎上進行的，之前的學習為本節(jié)課的學習奠定了

知識和方法基礎.本課內(nèi)容是今后學習解多步方程的基礎，它是系統(tǒng)學習方程的開始，其核

心思想是構(gòu)建等量關系的數(shù)學模型.通過本節(jié)課的學習，引導學生探索，思考比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，在實驗的基礎上，掌握等式的兩個基本性質(zhì)，并能利用等式的性質(zhì)解簡單的方程，為今

后運用等式的基本性質(zhì)解較復雜的方程打下基礎，它在本章中占主要地位.本節(jié)課將引導學

生從實際例子出發(fā)，讓學生從具體情境中探索.通過觀察、比較、歸納等方法，引導學生學

會從具體到抽象的數(shù)學思維，發(fā)展學生的邏輯思維和抽象思維能力，從中獲得成功的體驗，

激發(fā)學習激情.通過學習，孩子們將學會如何運用邏輯推理進行正確的運算，同時培養(yǎng)直觀

想象能力和解題的運算效率.

基于以上分析，本節(jié)課的教學重點是：理解等式的性質(zhì)，并能利用等式的性質(zhì)解決問題.

二、目標和目標解析

1.目標

（1）理解等式的性質(zhì)，并能利用等式的性質(zhì)解決問題；

（2）通過探究等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學生由特殊到?般的探索能力，歸納總結(jié)能力；

（3）學生經(jīng)歷猜想，探究和歸納的過程掌握數(shù)學一般的探究方法，體會成功的喜悅，增強

學習數(shù)學的興趣.

2.目標解析

（1）教材由具體例子問題引入，并引導學生通過觀察、比較、歸納等方法，發(fā)展學生的邏

輯思維和抽象思維能力.從具體到抽象，通過小組討論，培養(yǎng)合作精神，讓學生在探索問題

的過程中，體驗解決問題的方法和樂趣，增強學習興趣.

（2）培養(yǎng)學生對等式性質(zhì)的理解和運用能力，對等式形成正確的認識.

（3）鼓勵學生在實踐中挨索，培養(yǎng)實驗探究能力和解決問題的能力，激發(fā)學生對數(shù)學學習

的興趣，培養(yǎng)學生認真、四i革的學習態(tài)度和責任感，為后續(xù)數(shù)學學習打下堅實基礎.

三、教學問題診斷分析

本節(jié)課學習之前學生已掌握的數(shù)學知識學生已學習了簡單的方程(如一步方程)，能通

過直觀的逆運算求解未知數(shù)，但尚未接觸復雜的方程求解步驟.對“等式”的概念有一定理

解?，但僅停留在“="表示兩邊數(shù)值相等的層面，尚未深入理解等式的數(shù)學性質(zhì).可能存在的

知識漏洞對”等式兩邊同時操作”的必要性缺乏認識.在代數(shù)表達式中，可能混淆”等式變形”

與“算術運算”的區(qū)別(如誤用交換律、結(jié)合律改變等式結(jié)構(gòu)〉.學生的認知特點抽象思維能

力不足等式的性質(zhì)是抽象的數(shù)學規(guī)則，學生需要從具體實例中歸納總結(jié)，但可能難以自主提

煉規(guī)律.

基于以上分析，本節(jié)課的教學難點為：通過探究等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學生由特殊到一般的

探索能力，歸納總結(jié)能力.

四、教學過程設計

(一)情景引入

猜謎語：

古怪老漢，肩上挑擔,

為人正直,偏心不-干.

(打一物品)

你知道數(shù)學中的天平是什么嗎？等式

【設計意圖】通過情景引入，感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

(二)新知探究

小學的知識中，你已經(jīng)學到了等式的哪些知識呢？

等式的兩個基本事實：

①如果Q=b,那么匕=a

②如果a=b,b=c那么a=c

等式的兩個性質(zhì)：

①等式的兩邊同時加上(或減去)同一個正數(shù)，結(jié)果相等

②等式的兩邊同時乘以(或除以)同?個正數(shù)，結(jié)果相等

當引入負數(shù)后等式的性質(zhì)還成立嗎？

(1)在等式-4=-4中，兩邊同時加-2,等式還成立嗎?即-4+(-2)=-4+(-2)

(2)在等式-4=-4中，兩邊同時減-3,等式還成立嗎？即-4-(-3)三_-4-(-3)

(3)在等式a=b中，兩邊同時加-7,等式還成立嗎？

即a+(-7)-b+(—7)

(4)在等式a=b中，兩邊同時減c,等式還成立嗎？即b-c

等式的性質(zhì)1:

如果等式的兩邊同時力口上(減去)同?個數(shù)(式子)，結(jié)果仍相等.

如果Q=/),那么Q±C=b±C.

(5)在等式一4=-4中，兩邊同時乘以一2,等式還成立嗎？即一4x(-2)_=—-4x(-2)

(6)在等式一4=-4中，兩邊同時除以一2,等式還成立嗎？即一4+(-2)_=—-4+(-2)

(7)在等式一4二一4中，兩邊同時乘以0,等式還成立嗎？即一4x0_=_-4x0

(8)在等式Q=力中，兩邊同時乘以0,等式還成立嗎？即QX0_=_J)X0

等式的性質(zhì)2：

如果等式的兩邊同時乘以同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果相等.

如果Q=b,那么ac=8c；

如果a=b(cw0),那么/=g

注意：

1.等式兩邊同時都要參加司一種運算：

2.等式兩邊加，減或乘的一定是同一個數(shù)或同一個式子；3.等式兩邊不能都除以0,因為0

不能作除數(shù)或分母.

【設計意圖】學生從實際問題出發(fā)，讓學生從現(xiàn)實清境中探索箏式性質(zhì).通過觀察、比

較、歸納等方法，引導學生學會從具體到抽象的數(shù)學思維，發(fā)展學生的邏輯思維和抽象思維

能力，從中獲得成功的體驗，激發(fā)學習激情.

(三)新知應用

1.判斷對錯，對的說明根據(jù)等式的哪一條性質(zhì)；錯的說出為什么.

(1)如果％=y,那么無一|=y+|

(2)如果x=y，那么x+5=y+5

(3)如果工=y，那么-5x=5y

(4)如果-3%=-3y,那么工=y

(5)如果x=y,那么白二y

S+a

(6)如果x=y,那么小y

5+a2

(7)如果x=y,那么5x-3=5y-3

(8)如果》=y，那么手=等

(9)如果7%+3=7y+3,那么％=y

答案:

(1)錯，等式兩邊必須做的是同一種運算

(2)對，等式性質(zhì)1,等式兩邊同時加5

(3)錯，等式兩邊必須乘以同一個數(shù)

(4)對，等式性質(zhì)2,等式兩邊同時除以-3

(5)錯，當。二一5時，5+。=0,等式兩邊不能除以0

(6)對，等式性質(zhì)2,等式兩邊同時除以5+a2,(因為不論Q取何值都有Q>0,所以

5+a2>5)

(7)對，等式性質(zhì)1,2,等式兩邊同時乘以5,再減3

(8)對.等式性質(zhì)1,2,等式兩邊同時乘以-7,等式兩邊再同時加9,最后等式兩邊同時除

以2

(9)對，等式性質(zhì)1,2,等式兩邊同時減3,然后等式兩邊再同時除以7

易錯提醒：

此類判斷等式變形是否正確的題型中，尤其注意利用等式的性質(zhì)2時，等式兩邊同除以一個

數(shù)或式子時需注意不能為()，如果題目中沒有規(guī)定除數(shù)或除式范圍，則不能直接兩邊同時除

去.

2.根據(jù)等式的性質(zhì)填空，并說明依據(jù)：

(1)如果2%=5—％那么2x+x=5

根據(jù)等式的性質(zhì)1,等式兩邊加工,結(jié)果仍相等

(2)如果m+2n=54-2幾,那么m_5

根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊減2九，結(jié)果仍相等

(3)如果％=-4.那么-7-x=28

根據(jù)等式的性質(zhì)2,等式兩邊乘-7,結(jié)果仍相等

(4)如果3m=4n,那么_2—,n

根據(jù)等式的性質(zhì)2,等式兩邊除以2,結(jié)果仍相等

解答此類題的一般規(guī)律是：首先觀察等式的一邊是如何由上一步變形得到的，以便確定變形

的依據(jù)，再對等式的另一邊以同樣的方式進行變形.

3.(1)將等式％—3=5的兩邊都同時加上3得到x=8,這是根據(jù)等式性質(zhì)1；

(2)將等式g無=一1的兩邊都乘以或除以—得到％=-2,這是根據(jù)等式性

質(zhì)2:

【設計意圖】熟練地掌握等式的性質(zhì)，并會利用等式的性質(zhì)解決問題.

(四)典例講解

例1.利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(1)x+2=3(2)5%=30

(3)4x=-2x+7(4)4(%+1)=16

解：(1)等式兩邊同時減去2x+2-2=3-2

x=1

解：(2)等式兩邊同時除以55x+5=30+5

x=6

解：(3)等式兩邊同時加2不4x+2x=-2無+7+2%

6x=7

等式兩邊同時除以￡6%+6=7+6

7

^=6

解：(4)等式兩邊同時除以44(%+1)+4=16+4

x+1=4

等式兩邊同時減1%4-1-1=4-1

x=3

利用等式的性質(zhì)解一元一次方程的一般步驟：

①首先運用等式的性質(zhì)1.將方程逐步轉(zhuǎn)化為左邊只有含未知數(shù)的項.右邊只有常數(shù)項,。丫=

b(aH0)的形式：

②運用等式性質(zhì)2,將未知數(shù)的系數(shù)華為1,即x=?(aH0)

例2.已知m=2%+l,n=8—x.

(1)若m=〃，求x的值.

(2)若m=-n,求工的值.

(3)直接寫出入為何值時，m=|n|?

解：(1)若771=71,則2%+1=8-

方程兩邊同時加上(3-1)，

得2%+1+%-1=8-%-1,即3%=7,

方程兩邊同時除以3,得3%+3=7+3,即％

(2)若^=一/，則2%+1=%-8,

方程兩邊同時加上(-x-1),

得2%+1—x—1=x-8—x—1,

即％=-9,

(3)因為x=g時，m=n,

%=-9時，血=一?1(此時mVO,不符合題意，舍去),

所以x=g時，m=\n\.

【設計意圖】通過例題的講解讓教學熟練地掌握利用等式的性質(zhì)解方程.培養(yǎng)學生勇于

探索、敢于創(chuàng)新的精神，體臉數(shù)學活動中的探索性.

（五）針對練習

1.利用等式的性質(zhì)解下列方程：

（l）x+7=26(2)-5x20

（3）2%-1=-3(4)-2x-10=3x+15

解：（1）等式兩邊同時減7x+7-7=26-7

%=19

解：（2）等式兩邊同時除以-5—5x?(—5)=20-r-(—5)

x=—4

解：（3）等式兩邊同時加12x-1+1=-3+1

2x=-2

等式兩邊同時除以22x+2=-2+2

x=—1

解：（4）等式兩邊同時加（10-3x）

-2x-10+10—3x=3x4-15+10—3x

-5x=25

等式兩邊同時除以一5-5%+（-5）=25+（-5）

x=-5

2.“小馬虎”同學解方程7%-3=6%-3的過程如下：

解：兩邊加3,得7%-3+3=6%-3+3

7x=6x

兩邊除以露得7=6

此過程是否正確？若錯誤，錯在哪里？

錯誤，刀為（），等式兩邊同時除以同一個數(shù)（不為（））

3.已知關于％的方程3a-x=^+3的解為％=2,求式子（一一2a+1的值.

解：將x=2代入方程，得3a-2=1+3,

兩邊同時加2,得3a=6,

兩邊同時除以3,得Q=2,

則原式=（-2）2—2x2+1=1.

【設計意圖】鞏固學生理解等式的性質(zhì)并利用等式的性質(zhì)解決問題.

（六）拓展探究

1.已知關于％的方程;m%+：=6和方程3X-10=5的解互為相反數(shù)，求m的值.

4L

解：V3x-10=5

Ax=5

???方程:mx+|=6和方程3x-10=5的解互為相反數(shù)

將X=—5+Z=6中得：一三巾+2=6

4242

.1

..771=——

2

2.如果方程2%+1=3的解與方程3+3a=7的解相同，求關于y的方程一;ay+4=3的

解

解：V2x+1=3

/.X=1,

「方程2x+1=3的解與方程x+3a=7的解相同

/.a=2

1x2y+4=3

Ay=1

【設計意圖】通過此題練習培養(yǎng)學生分析問題，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，進一步培

養(yǎng)學生數(shù)學建模的思想.

(七)當堂鞏固

1根據(jù)等式的性質(zhì)判斷，下列變形正確的是(D)

A、如果2%—3=7,那么2%=7-3

B、如果3x—2=1.那么3%=1-2

C、如果一2%=5,那么x=5+2

D、如果一gx=1,那么％=-3

2若6無=my,下列等式變形正確的有①③④⑤

①、mx-1=my-1；②、x—y\

③、一-my;④、？=?;

JJ

⑤、2—mx=2—my

3由等式(a+2)x=a+2能得到％=1,則a必須滿足的條件是aH-2.

4當代數(shù)式1一(3m-5)2取得最大值時，關于x的方5m-4=3x+2的解為x

5若3/-4%-5=7,

則d-四的值為4,8x-6*的值為一24

6利用等式的性質(zhì)解下列方程.

(1)x-5=18(2)-3x=15

（3）-5x=2x+28(4)-1x-5=4x-7

解：（1）等式兩邊同時加5%—5+5=18+5

%=23

（2）等式兩邊同時除以-3-3%+(-3)=15+(-3)

x=-5

⑶等式兩邊同時減2%—5%—2%=2%4-28-2x

-7x=28

等式兩邊同時除以-7-7%+(-7)=2