第五章二元一次方程組

1認(rèn)識(shí)二元一次方程組

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)最關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，其本質(zhì)是聯(lián)系已知晟和未知量之間的關(guān)

系，借助己知量，求出未知量。二元一次方程是方程的一個(gè)重要類(lèi)型，獲得其概念要經(jīng)歷從

特殊到一般的抽象概括的過(guò)程，進(jìn)而建立二元一次方程（組）的模型?！罢J(rèn)識(shí)二元一次方程

組”是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第五章“二元一次方程組”的第一節(jié)，由于本節(jié)課

是章節(jié)起始課，所以要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)新的方程模型，在概念引入時(shí),

可以采用實(shí)例引入和類(lèi)比教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方法，幫助學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性。同

時(shí)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求學(xué)生能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能

根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)曷關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)曷關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型。

因此，本節(jié)課選擇了貼近學(xué)生生活的實(shí)例，幫助學(xué)生建立二元一次方程和二元一次方程組的

概念，引導(dǎo)學(xué)生在具體問(wèn)題中探索數(shù)量關(guān)系，體會(huì)模型思想。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)初步建立了方程的概念，學(xué)習(xí)了什么是一元一

次方程，可以類(lèi)比一元一次方程的“元”和“次”去發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)二元一次方程的概念。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)具有在實(shí)際情境中尋找等量

關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)設(shè)一個(gè)未知數(shù)并列出方程，初步感受模型思想，枳累了利用方程解決實(shí)際問(wèn)

題的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了大晟的數(shù)學(xué)概念，對(duì)數(shù)學(xué)概念的建立并不陌生，尤其是在

學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，學(xué)生己經(jīng)經(jīng)歷過(guò)從具體情境中抽象出一元一次方程概念的過(guò)程，具備

初步的建模思想。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，能列出二元一次方程及二元一次方程組。感受學(xué)習(xí)二元一次

方程的必要性和優(yōu)越性，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型。

2.經(jīng)歷估計(jì)方程和方程組解的過(guò)程，理解二元一次方程和二元一次方程組的解的意

義，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程或二元一次方程組的解。

3.培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解

決問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

教學(xué)重點(diǎn)：了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念，會(huì)判斷一組數(shù)是不是

某個(gè)二元一次方程組的解，

教學(xué)難點(diǎn)：從實(shí)際問(wèn)題中建立二元?次方程(組)，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)

系的有效數(shù)學(xué)模型。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【笫一環(huán)節(jié)】問(wèn)題情境，引入方程

1.活動(dòng)內(nèi)容

(1)情境感知

小明和小穎參加課外種植實(shí)踐活動(dòng)，他們分別栽種了若干株綠植。已知小明栽種攸綠植

比小穎多2株，如果將小穎栽種的綠植減少1株，將小明栽種的綠植增加1株，那么小明栽

種的綠植數(shù)量是小穎的2倍。

①這個(gè)情境涉及哪些量？

②這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)用文字語(yǔ)言列出等量關(guān)系。

③設(shè)小明栽種了x株綠植，小穎栽種了y株綠植，由此你能得到怎樣的方程？

(2)嘗試?思考

周末，小亮一家和朋友們到公園徒步鍛煉，他們一共8人，買(mǎi)門(mén)票花了34元。已知每

張成人票5元，每張學(xué)生票3元。

①這個(gè)情境涉及哪些量？這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

②設(shè)他們中有成人x人、學(xué)生)，人，由此你能得到怎樣的方程？

2.活動(dòng)目的

在“情境感知”中，根據(jù)實(shí)際情境創(chuàng)設(shè)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)情境中的“量”，感知量

與量之間的等量關(guān)系，并嘗試引入未知數(shù)，建立方程，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).

在“嘗試?思考”中，通過(guò)生活情境問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生提取信息獲得等量關(guān)系，具體的過(guò)

程是先用文字語(yǔ)言表示等量關(guān)系，再引入未知數(shù)，將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為用方程表示。

3.注意事項(xiàng)

在“情境感知”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)種植問(wèn)題進(jìn)行自主探索，并嘗試解決。解題

過(guò)程中學(xué)生可能會(huì)使用一元一次方程的方法。教師要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用多種方法解決問(wèn)胭，使

學(xué)生充分體會(huì)不同方法的特點(diǎn)。

在“嘗試?思考”教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的生活實(shí)際和認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)更豐富、更

貼近學(xué)生生活的現(xiàn)實(shí)情境，還可以請(qǐng)學(xué)生自行列舉生活口與兩個(gè)未知量相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，充

分體會(huì)方程的模型思想。

【第二環(huán)節(jié)】歸納共性，生成概念

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）觀察?思考

在上面兩個(gè)情境中，我們分別得到方程：工一），=2和”+1=2（），一1）,以及x+y=8

和5x+3y=34。

①觀察這些方程，它們有什么共同特征？（提示：可以從等號(hào)左右兩邊代數(shù)式的特征、

未知數(shù)的個(gè)數(shù)、未知數(shù)的次數(shù)等方面思考）

②你能類(lèi)比一元一次方程的定義來(lái)歸納這類(lèi)方程的定義嗎？

（2）歸納概念

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程。

強(qiáng)化理解：①含有兩個(gè)未知數(shù)：②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1:③是整式方程；④整

理后兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不為Oo

（3）辨析概念

問(wèn)題I下列方程中，是二元一次方程的有o（填序號(hào)）

①xy+2x-y=7；②4x+l=x-y；@—+y=5；?x=y；⑤/-），二1；

x

@6x-2y；Q）x+y+z=1；?y（y-l）=2y2-y2+x；?—+y=5o

問(wèn)題2已知（。-2）/收+3y=1是關(guān)于x,），的二元一次方程，求。的值。

2.活動(dòng)目的

通過(guò)對(duì)比所列的4個(gè)方程，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)問(wèn)題口所得方程的共性，進(jìn)而嘗試歸納出

二元一次方程的概念。學(xué)生大膽表達(dá)觀察到的方程的共性特征，經(jīng)歷小組合作交流，提煉出

類(lèi)似“一個(gè)等式，兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,整式方程”等共性，提高觀察、

歸納和表達(dá)的能力。

通過(guò)辨析概念進(jìn)一步明晰二元一次方程的概念，掌握判斷一個(gè)方程是否為二元一次方程

的關(guān)鍵點(diǎn)。

3.注意事項(xiàng)

新的概念生成后一定要及時(shí)進(jìn)行辨析，辨析的方式可以與之前學(xué)習(xí)的一元一次方程進(jìn)行

類(lèi)比辨析，也可以采用正例與反例的對(duì)比辨析，還可以在解決實(shí)際問(wèn)題中明確二元一次方程

的概念。

【第三環(huán)節(jié)】思考交流，理解方程組

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）思考?交流

在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中，丫所表示的對(duì)象相同嗎？），呢？與同伴進(jìn)行

交流。

方程x+y=8和5x+3y=34中，x,），所表示的對(duì)象分別相同。因此，x,y必須同時(shí)

滿足方程x+y=8和5x+3y=34。把它們聯(lián)立起來(lái)，得

x+y=8,

5x+3y=34。

（2）觀察歸納：像這樣，共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫作

二元一次方程組。

強(qiáng)化理解：①方程組各方程中同一字母必須代表同一個(gè)量；

②二元一次方程組中的方程可以只含有一個(gè)未知數(shù)，但兩個(gè)方程合起來(lái)有兩個(gè)未知數(shù)：

③表示時(shí)需要加上大括號(hào)。

（3）辨析概念

11?

x=2,工+y=0,x=l,_—二b—I—=1,

在方程組：①《②，?-%y

py-x=l；3x-y=5；y=l；x+2y=3；

x+y=1；

⑥,'+,，=0,中，是二元一次方程組的有______________。（填序號(hào)）

3x+z=l

2.活動(dòng)目的

通過(guò)呼應(yīng)情境問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)方程中的實(shí)際意義，其代表的對(duì)象分別相同，

從而將兩個(gè)方程組聯(lián)立，形成一個(gè)方程組，進(jìn)而自然地引出二元一次方程組的概念。本環(huán)節(jié)

學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷“自主歸納一對(duì)比認(rèn)知一體會(huì)差異一深入理解”的探究過(guò)程，加深對(duì)二元一次

方程組的定義的理解。

3.注意事項(xiàng)

這個(gè)環(huán)節(jié)要著重關(guān)注學(xué)生是否能區(qū)別二元一次方程和二元一次方程組的概念，并能用自

己的話或者列舉具體的實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。情境中所列舉的兩個(gè)方程組只是我們最常見(jiàn)的一類(lèi),

事實(shí)上，共含有兩個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一次方程組成的一組方程，都是二元一次方程組。

【第四環(huán)節(jié)】對(duì)比理解，方程（組）的解

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）嘗試?思考

?x=6,），=2滿足方程=8嗎？

@x=5,y=3滿足方程x+y=8嗎？

③x=4,），=4滿足方程x+y=8嗎？你還能找到其他x,J，的值滿足方程x+y=8

嗎？

④通過(guò)上面問(wèn)題總結(jié)：什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解有什么特點(diǎn)？

歸納小結(jié)：便一個(gè)二亓一次方程左、右兩妨的俏相等的一組未知數(shù)的俏，叫作議個(gè)二元

一次方程的一個(gè)解。

強(qiáng)化理解：a.二元一次方程的每個(gè)解都是一對(duì)數(shù)值；

b.一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解。（換言之，一個(gè)二元一次方程確定不了

兩個(gè)未知數(shù)。）

（2）類(lèi)比遷移

①x=5,），=3滿足方程5*十3），=34嗎？x=2,），=8呢？

②你能找到一組x,的值，同時(shí)滿足方程x+），=8和5x+3），=34嗎？

③通過(guò)上面問(wèn)題總結(jié):什么是二元一次方程組的解？二元一次方程組的解有什么特點(diǎn)？

歸納小結(jié)：二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫作這個(gè)二元一次方程組的解。

（3）典型例題

①下列五組值中，1孟二元一次方程x-2y=\的解是_________o

x=l,fx=(),[x=1,[x=-1,(x=2,

A.B.

y=1：[y=-0.5；[y=0；[y=-l；[y=L

卜+2y=10,

②二元一次方程組，/的解是_________0

[v=2x

x=4,x—3,x—2,x—4,

A.B.C.D.

y=3；y=6；[y=4；[y=2o

（4）能力提升

x+4y=+6,

①若關(guān)于-y的方程組2一"的解滿足中=9,則加的值為

②a.找到幾組滿足方程x+），=0的x,），的值。

b.找到幾組滿足方程?）=2的達(dá)），的值。

c.找出一組乂y的值，使它們同時(shí)滿足方程4+），=。和五-），=2。

x+V=0

d.根據(jù)上面的結(jié)論，你能直接寫(xiě)出二元一次方程組-,的解嗎？

x-y=2

2.活動(dòng)目的

基于原有的二元一次方程（組）建立方程（組）解的概念，從特殊的幾組解出發(fā)，讓學(xué)

牛理解二元一次方程解的不唯一性,掌握二亓一次方程的解是有序數(shù)對(duì)。在此某礎(chǔ)匕讓學(xué)

生進(jìn)一步理解二元一次方程組的解需要同時(shí)滿足方程組中的每個(gè)方程。這兩者既有聯(lián)系，也

有區(qū)別。

3.注意事項(xiàng)

如果課堂教學(xué)中學(xué)生沒(méi)有追問(wèn)或者提出疑惑,這里建議不展開(kāi)討論二元一次方程組解的

情況（唯一解，無(wú)解，無(wú)數(shù)組解）。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

（2）我們是如何認(rèn)識(shí)二元一次方程和二元一次方程組的？

（3）類(lèi)比一元一次方程，后續(xù)我們會(huì)繼續(xù)研究二元一次方程組的哪些知識(shí)？

構(gòu)建框架：

2.活動(dòng)目的

先引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想、方法，教師再進(jìn)行補(bǔ)充完善，使學(xué)

生的知識(shí)系統(tǒng)化。

3.注意事項(xiàng)

在本環(huán)節(jié)中，教師要給予學(xué)生足夠的空間讓學(xué)生暢所欲言，用自己的話進(jìn)行歸納息結(jié),

通過(guò)同伴間相互補(bǔ)充，完善總結(jié)。

【第六環(huán)節(jié)】作業(yè)布置

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）基礎(chǔ)性作業(yè)：教科書(shū)習(xí)題5.1第1,2,3,4,5題。

（2）拓展性作業(yè)：

按一定規(guī)律排列方程組及其解如下：

x+y=\Ax+y=\,x+y=L

x-y=1；=4：[x-3y=9：

x-1,x-2,x-3,x-

<<<

y=0；[y=-1；[y=-2；[y=

①依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將第4個(gè)方程組和它的解直接填入橫線處。

②猜想第〃個(gè)方程組和它的解并進(jìn)行驗(yàn)證。

③若方程組L的解是卜=5,求，〃的值，并判斷該方程組是否符合（|）中的

x-my=16[y=-4,

規(guī)律。

2.活動(dòng)目的

通過(guò)設(shè)計(jì)分層作業(yè)，讓不同層級(jí)的學(xué)生都能得到發(fā)展。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的策略

本節(jié)課的教學(xué)采用“問(wèn)題情境一建立數(shù)學(xué)模型一類(lèi)比探究一應(yīng)用拓展”的學(xué)習(xí)模式，引

導(dǎo)學(xué)生在自主探索與合作交流的過(guò)程中建立二元一次方程組模型，逐步掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和

基本方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。

同時(shí)，本節(jié)課通過(guò)建模呈現(xiàn)了研究方程的一般思路，為今后研究其他的方程（一元二次

方程、分式方程）和不等式積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

最后，作為章節(jié)起始課，本節(jié)課重視學(xué)生的知識(shí)發(fā)展規(guī)律，注重單元教學(xué)理念，基于新

課標(biāo)，創(chuàng)造性地使用教材，科學(xué)地設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，深化學(xué)生對(duì)概念的理解。整個(gè)教學(xué)過(guò)程使

學(xué)生真正體會(huì)到知識(shí)的自然發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，整體感知二元一次方程組的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，從

而突破本節(jié)課的重難點(diǎn)。

2.評(píng)價(jià)方式

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的評(píng)價(jià)理念，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)尊重學(xué)

生的個(gè)體差異，滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要，鼓勵(lì)學(xué)生探索方式、表述方式和解題方法等多

樣化。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與程度和表現(xiàn)出來(lái)的思維水平，如關(guān)注學(xué)生對(duì)二

元一次方程（組）概念的理解水平和解決問(wèn)題過(guò)程中的表述水平，學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握情

況和應(yīng)用二元一次方程（組）的概念解決問(wèn)題的意識(shí)。教學(xué)中可通過(guò)學(xué)生的探究情況和對(duì)典

型例題、能力提升等環(huán)節(jié)的完成情況，分析學(xué)生的認(rèn)知7K平和應(yīng)用二元一次方程（組）的概

念解決問(wèn)題的意以和能力水平。對(duì)于學(xué)生的回答教師應(yīng)給予恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，幫助學(xué)生認(rèn)

識(shí)自我，建立自信，發(fā)揮評(píng)價(jià)的教育功能。

第五章二元一次方程組

2二元一次方程組的解法（第1課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

二元一次方程組作為銜接一元一次方程與多元一次方程組的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，既鞏固了一元一

次方程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，更為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、一元二次方程、不等式組，以及復(fù)雜的代數(shù)系

統(tǒng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過(guò)求解二元一次方程組，學(xué)生將能夠初步掌握利用代數(shù)方法解決多

變量的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)邏與思維能力與代數(shù)運(yùn)算能力，初步建立數(shù)學(xué)建模意識(shí)。二元一次方

程組的解法基于消元思想，通過(guò)將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解。木節(jié)涵蓋的

消元方法有代入消元法和加減消元法。

本節(jié)內(nèi)容共安排2課時(shí)，本課為第1課時(shí)?；趯W(xué)生已掌握的二元一次方程（組）基本

概念，并承接上節(jié)課“種植問(wèn)題”情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探究和合作交流的活動(dòng)，感受代

入消元法的形成過(guò)程；通過(guò)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生整理與提煉解二元一次方程組的基本思路與步

驟，習(xí)得二元一次方程組的解法一一代入消元法。二元一次方程組的解法，其本質(zhì)思想是消

元，體會(huì)”化未知為已知”的化歸思想。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能進(jìn)行有理數(shù)與整式的運(yùn)算，會(huì)解一元一

次方程，對(duì)二元一次方程（組）及其解等基本概念有清晰認(rèn)知。在應(yīng)用遷移層面，學(xué)生經(jīng)歷

了列一元一次方程解應(yīng)用題的建模訓(xùn)練，具備通過(guò)分析問(wèn)題并抽象出問(wèn)題中的等量關(guān)系的能

力，可初步建立二元一次方程組模型。這便于學(xué)生聯(lián)想利用一元一次方程解二元一次方程組,

體會(huì)將“二元”化歸為“一元”的消元思想。尤為關(guān)鍵的是，學(xué)生已經(jīng)掌握了用單變量表示

另一變量的代數(shù)變形技能，這為代入消元法奠定了直接的操作基礎(chǔ)。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生經(jīng)歷了用列舉法探索二元一次方程組解的過(guò)程，已深刻感知

學(xué)習(xí)二元一次方程組一般解法的必要性，并具備主動(dòng)探究與合作交流的意識(shí)。然而，由于認(rèn)

知水平的限制，其歸納概括的能力較弱，解決實(shí)際問(wèn)題的能力仍待提升。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用代入消元法解二元一次方程組，能用自己的語(yǔ)言歸納出用代入消元法解二元一次

方程組的一般步驟。

2.經(jīng)歷從二元一次方程組到一元一次方程的轉(zhuǎn)化過(guò)程，理解.“消元”是解二元一次方程

組的基本思想。

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用代入消元法解二元一次方程組。

教學(xué)難點(diǎn)：“消元”思想的理解。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】問(wèn)題情境，引入新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

在上一節(jié)的種植問(wèn)題中，要想知道小明和小穎各栽種了幾株綠植，就需要解方程組

x-y=2,①

\r+l=2（y-l）o②

（1）兩個(gè)方程中的未知數(shù)x有什么關(guān)系？未知數(shù)m呢？

（2）未知數(shù)X與未知數(shù)j，之間滿足什么關(guān)系？你能用其中一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知

數(shù)嗎？

（3）你能設(shè)法把這個(gè)二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程嗎？與同伴進(jìn)行交流。

（4）如果將代入方程①會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？用這種方法解二元一次方程組有

哪些注意事項(xiàng)？

（5）如何保證所求方程組的解是正確的？如何檢驗(yàn)？

分析：（1）同一個(gè)方程組中，相同未知數(shù)表示同一對(duì)象，這里的x都表示小明栽種的

綠植數(shù)最，y都表示小穎栽種的綠植數(shù)量。

（2）選擇利用第①個(gè)方程進(jìn)行變形，因?yàn)榉匠挞僦衳的系數(shù)是1,更簡(jiǎn)單，直接通過(guò)

移項(xiàng)就可以得到x=y+2或尸x—2。

（3）將x=y+2代入方程②中，消去未知數(shù)x,就可以得到關(guān)于y的一元一次方程：y

+2+1=2（），-1）；當(dāng)然也可以將y=x—2代入方程②中，消去未知數(shù)》就可以得到關(guān)于

x的一元一次方程：x+l=2（x—2—1）。

（4）如果將y=x—2代入方程①會(huì)出現(xiàn)“2=2”這樣的恒等式，不能得到關(guān)于其中一

個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，無(wú)法實(shí)現(xiàn)將“二元”方程轉(zhuǎn)化為“一元”方程。

（5）把求出的未知數(shù)的值代入原方程組，可以檢驗(yàn)所求得的解是否正確。

x-y=2,①

解方程組：

1=2(y-l)o②

解：由①，得y=x-2。③

由下方程組中相同的未知數(shù)表示同一對(duì)象，所以方程②中的y也等干x—2,可以用工一

2代替方程②中的亦于是有

x+l=2（x-2-l）o④

解一元一次方程④，得x=7°

再把x=7代入③，得y=5。

Ly=2,x=7,

這樣，我們就得到二元一次方程組，工，，、的解<

Lx+1=2（y—1）[y=5o

2.活動(dòng)目的

以“種植問(wèn)題”這一延續(xù)性情境為切入點(diǎn)，基于學(xué)生上節(jié)課已建立的二元一次方程組

模型，通過(guò)未解決的懸念自然導(dǎo)入新知。這一設(shè)計(jì)旨在保持情境的連貫性，激活學(xué)生已有

認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，激發(fā)探究動(dòng)機(jī)，體現(xiàn)知識(shí)的層層遞進(jìn)關(guān)系，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知

識(shí)體系框架。

規(guī)范書(shū)寫(xiě)解二元一次方程組的完整過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是用詢單且準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表

達(dá)的過(guò)程，讓學(xué)生初步感受用代入消元法解決具體問(wèn)題的完整流程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能

力。

3.注意事項(xiàng)

問(wèn)題（1）（2）（3）是沿用新教材中的問(wèn)題，問(wèn)題（4）引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到用一個(gè)未知數(shù)

表示另一個(gè)未知數(shù)后，必須代入另一個(gè)沒(méi)有變形的方程；問(wèn)題（5）則引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受

方程組的解是使得原方程組成立的未知數(shù)的值。

鑒于學(xué)生尚未形成對(duì)代入消元法的系統(tǒng)化認(rèn)知，也可以輔以解決問(wèn)題的路徑圖。

【第二環(huán)節(jié)】典例精析，應(yīng)用新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

例1解方程組：

3%+2），=14,①

x=y+3。②

問(wèn)：觀察方程組，你會(huì)選擇消去哪一個(gè)未知數(shù)來(lái)解方程組？為什么？

解：將②代入①，得：3（y+3）+2_v=14,

3y+9+2），=14,

5y=5,

y=l,

將y=l代入②,得x=4（,

所以原方程組的解是；=4?

1'=1?

例2解方程組：

2x+3y=16,①

A+4y=13o②

問(wèn)：（1）觀察方程組，你會(huì)選擇哪一個(gè)方程進(jìn)行變形后求解？為什么？

（2）嘗試?yán)闷渌绞阶冃吻蠼猓阌惺裁窗l(fā)現(xiàn)？

解法一：由②，得x=13—4）%③

將③代入①，得2（13-4〉，）+3尸16,

26-8>-+3y=16,

-5y=-10,

y—2G

將y=2代入③，得x=5o

所以原方程組的解是［*=5'

1y?2?

解法二：由①，得xJ，：）。③

將③代入②，得今起+4），=13,

解得尸2。

將y=2代入③，得x=5o

所以原方程組的解是「一5'

b=2.

2.活動(dòng)目的

這兩個(gè)例題的安排體現(xiàn)了先易后難的原則，例I中的方程②已經(jīng)將戈表示為含有y的

代數(shù)式，直接代入方程①即可消去一個(gè)未知數(shù)x,而例2則需先進(jìn)行恒等變形。解方程組的

過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究與合作交流嘗試求解，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的解題策略，進(jìn)一

步體會(huì)消元思想的核心價(jià)值以及消元策略的優(yōu)化選擇過(guò)程。

3.注意事項(xiàng)

實(shí)際上，對(duì)于方程組中的任一方程，利用等式的性質(zhì)都可以用其中一個(gè)未知數(shù)表示另

一個(gè)未知數(shù)。但為了計(jì)算方便,通常選擇未知數(shù)的系數(shù)稅為簡(jiǎn)單的那個(gè)方程進(jìn)行變形。教

學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生先觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)與同桌交流選擇消去哪一個(gè)未知數(shù)實(shí)現(xiàn)“消

元”，再解方程組。

【第三環(huán)節(jié)】思考交流，提煉新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考?交流

（1）上面解方程組的基本唐路是什么？主要步驟有哪些？與同伴進(jìn)行交流°

上面解方程組的基本思路是“消元”一一把“二元”變?yōu)椤耙辉薄?/p>

主要步驟是，將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出

來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這

種解方程組的方法稱為代入消化法。

代入消元法的詳細(xì)步驟如下。

（1）變形：用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)。

（選擇未知數(shù)的系數(shù)較為簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形）

（2）代入：用新得到的這個(gè)代數(shù)式替代另一個(gè)方程中相應(yīng)的未知數(shù)。

（將此代數(shù)式代入沒(méi)有變形的另一個(gè)方程中，可得一個(gè)一元一次方程）

（3）求解：解這個(gè)一元一次方程，得到其中一個(gè)未知數(shù)的值。

（4）回代：回代求M另一個(gè)未知數(shù)的值。

（5）作答：把方程組的解衣示出來(lái)。

（6）檢驗(yàn)：把求得的解代入每一個(gè)方程看是否成立，若是實(shí)際問(wèn)題，還需要注意是否

符合生活實(shí)際。

2.活動(dòng)目的

引導(dǎo)學(xué)生梳理用代入消元法解二元一次方程組的基本思路，并歸納概括出代入消元法的

主要步驟，并提醒學(xué)生注重細(xì)節(jié)、理清算理，體會(huì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。

3.注意事項(xiàng)

明確解二元一次方程組的本質(zhì)是“消元”，實(shí)現(xiàn)消元的途徑可能不是唯一的，本課重點(diǎn)

掌握利用代入消元的方法將“二元”方程轉(zhuǎn)化為“一元”方程。

【第四環(huán)節(jié)】學(xué)以致用，鞏固新知

L活動(dòng)內(nèi)容

用代入消元法解卜列方程組:

⑴0一人

x+y=l2.

/、(x^y=\\,(3x-2y=9,

⑶.(4)

Ix+2y=3o

2.活動(dòng)目的

通過(guò)有針對(duì)性地解二元一次方程組的訓(xùn)練，鞏固用代入消元法解二元一次方程組的方法。

學(xué)生獨(dú)立完成后，可組織“同伴互評(píng)”活動(dòng)，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，又能加深學(xué)生對(duì)

消無(wú)思想的認(rèn)識(shí)。

【第五環(huán)節(jié)】歸納小結(jié)，完善新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）這節(jié)課你是怎樣求解二元一次方程組的？

（2）這節(jié)課你感受到了哪些數(shù)學(xué)思想？

（3）類(lèi)比解二元一次方程組的過(guò)程，你認(rèn)為解多元方程組的核心方法是什么？

2.活動(dòng)目的

引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本課核心知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法,通過(guò)結(jié)構(gòu)化的梳理明晰知識(shí)結(jié)構(gòu),

完善知識(shí)體系，使學(xué)生體會(huì)用單一知識(shí)技能解題是基礎(chǔ)，而運(yùn)用數(shù)學(xué)思想貫通整個(gè)知識(shí)體系

才是本課的主要內(nèi)涵所在。

【第六環(huán)節(jié)】分層作業(yè)，課后延伸

1.活動(dòng)內(nèi)容

基礎(chǔ)性作業(yè)：習(xí)題52知識(shí)技能第1,3題。

拓展性作業(yè)：

2023年5月10□,搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭，在我國(guó)文昌航天

發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射成功。為了普及航空航天科普知識(shí)，某校組織學(xué)生去文昌衛(wèi)星發(fā)射中心參觀

學(xué)習(xí)。已知該校租用甲、乙兩種不同型號(hào)的客車(chē)共15輛，租用I輛甲型客車(chē)需600元，租

用1輛乙型客車(chē)需500元，租車(chē)費(fèi)共8000元，問(wèn)該校日、乙兩種型號(hào)客車(chē)各租多少輛？

2.活動(dòng)目的

基于學(xué)生認(rèn)知水平差異設(shè)計(jì)分層作業(yè)，既保留教材基礎(chǔ)題型作為基礎(chǔ)性作業(yè)，又增設(shè)發(fā)

展性作業(yè)，通過(guò)梯度任務(wù)更好地激活不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展需

求。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.教學(xué)方法：緊扣教材，問(wèn)題串引領(lǐng)

本節(jié)課在問(wèn)題串引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解二元一次方程組的方法是利用代入消元將二

元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，再反代求出另一個(gè)未知數(shù)。從單一的代入消元延伸

至整體代入消元的思想，在構(gòu)造知識(shí)體系的同時(shí)，體現(xiàn)知識(shí)的層層遞進(jìn)關(guān)系。在結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)

的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師著力還原知識(shí)形成過(guò)程，通過(guò)觀察比較、合作交流等學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)

生深度埋解消元思想，系統(tǒng)掌握二元?次方程組的解法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.核心素養(yǎng)培育

本節(jié)課在教材設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，設(shè)置了問(wèn)題情境，用追問(wèn)設(shè)疑的方式啟發(fā)學(xué)生思考分析、

交流對(duì)比。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗(yàn)解決新的問(wèn)題，借助層層遞進(jìn)的問(wèn)題申，加強(qiáng)

學(xué)生對(duì)解二元一次方程組基本思路——消元思想的體會(huì)。在此思想指導(dǎo)下，遵循從具體到抽

象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，系統(tǒng)建構(gòu)代入消元法。本節(jié)課不僅是解二元一次方程組方法

的學(xué)習(xí)，更是對(duì)消元思想的深度培養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)用單一知識(shí)技能解題是基礎(chǔ)，而運(yùn)用數(shù)學(xué)

思想貫通整個(gè)知識(shí)體系才是木課的主要內(nèi)涵所在。

3.教學(xué)評(píng)價(jià)

對(duì)用代入消元法解二元一次方程組的評(píng)價(jià)，應(yīng)側(cè)重考察學(xué)生能否根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特

征，靈活選擇適當(dāng)?shù)拇敕椒ㄇ蟪龆淮畏匠探M的解；尊重學(xué)生之間思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力

和學(xué)習(xí)水平等方面的差異，根據(jù)不同學(xué)生的情況進(jìn)行針對(duì)性的指導(dǎo)，注重對(duì)學(xué)生活動(dòng)過(guò)程的

評(píng)價(jià)，只要合理都應(yīng)給予鼓勵(lì)和肯定，幫助學(xué)牛樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的白信。同時(shí)，教師可以在小

組合作中為學(xué)生提供生生評(píng)價(jià)的平臺(tái)，讓學(xué)生間學(xué)會(huì)質(zhì)疑、討論和互相欣賞。

附：板書(shū)設(shè)計(jì)

5.2.1求解二元一次方程組

一代入消元法

3x+2>-=14,①

1.求解二元一次方程組的基本思路:例1解方程組

x=y+3o②

消元

解：將②代入①，得：3(v+3)+2y=14

“二元方程”------>“一元方程”

2解.二元一次方程組的步驟：解得：>=1

(1)變形

將y=l代入②得：A=4

(2)代入

A=4

(3)求解???原方程組的解是、

(4)回代

(5)作答

(6)檢驗(yàn)

第五章二元一次方程組

2二元一次方程組的解法（第2課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

“二元一次方程組的解法”是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第五章“二元一次方

程組”的第2節(jié)。本節(jié)內(nèi)容共安排2個(gè)課時(shí)，第1課時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)

未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，理解代入消元法，體驗(yàn)消元思路與

化歸思想。本節(jié)課為第2課時(shí)，通過(guò)代入消元法解系數(shù)不為I的二元一次方程組，感受學(xué)

習(xí)加減消元法的必要性；比較加減消元法和代入消元法的特點(diǎn)，歸納解二元一次方程組的

基本思路和主要步驟，積累解方程組的經(jīng)驗(yàn)。教材通過(guò)問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)揭示消元本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)

生體會(huì)”化未知為已知”的化歸思想，在解決問(wèn)題的過(guò)程中鍛煉學(xué)生的思維能力，為后續(xù)

學(xué)習(xí)線件方程絹及平面解析幾何等知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)已學(xué)習(xí)了解一元一次方程。經(jīng)過(guò)上一課時(shí)的學(xué)

習(xí)，學(xué)生會(huì)用代入消元法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，掌握了代入消元法

解二元一次方程組的主要步驟，并體會(huì)到解二元一次方程組的本質(zhì)是“消元”。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)經(jīng)歷了探索用消元法解二元一次方

程組的過(guò)程，積累了一定的解方程組經(jīng)驗(yàn)。八年級(jí)學(xué)生已具備在數(shù)學(xué)活動(dòng)中大膽發(fā)表見(jiàn)

解、獨(dú)立思考和合作交流的經(jīng)驗(yàn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷對(duì)二元一次方程組解法的探索，體會(huì)加減消元法的必要性。

2.能用加減消元法解二元一次方程組，了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體

會(huì)”化未知為已知”的化歸思想。

教學(xué)重點(diǎn)：用加減消元法解二元一次方程組。

教學(xué)難度：感受學(xué)習(xí)加減消元法的必要性，并理解其基本原理。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】問(wèn)題情境，引入新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

怎樣解下面的二元?次方程組呢？

3x+5y=21,?

,2x-5y=-llo②

（1）你能用代入消元法解上面這個(gè)二元一次方程組嗎？你是怎么做的？與同伴進(jìn)行交

流。

（2）兩個(gè)方程中的未知數(shù)），的系數(shù)有什么特點(diǎn)？

（3）除了代入消元法以外，你還能用其他方法把這個(gè)方程組從“二元”化為“一元”

嗎？這樣做的道理是什么？

方法1：方法2：方法3

5v-ll

把②變形，得x二」一，把②變形得5y=2x+ll,①+②，得5X=10,

2

代入①，得x=2o

代入①，得3R+2X+11=21,

也盧+511,將工=2代入①，得

x=2。

6+5），=21,

y=3o將x=2代入①，得

6+5y=21,y=3。

將y=3代入①，得

x=2,

3x+15=21,y=3o原方程組的解是1c

x=2oy=3o

2.活動(dòng)

通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧用代入消元法解二元一次方程組的過(guò)程，并基于方程組

的系數(shù)特征，引出對(duì)新的消元法的探究，為探索加減消元法作鋪墊。在活動(dòng)中，教師要引導(dǎo)

學(xué)生關(guān)注不同解法的異同，體會(huì)用“消元”思想解二元一次方程組方法的多樣性，初步感知

本題用加減消元求解的簡(jiǎn)捷性。

3.注意事項(xiàng)

本題可以以問(wèn)題“你為怎樣解這個(gè)二元一次方程組？”引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)解題路徑，生

成用加減消元法解二元一次方程組的基本步驟，體會(huì)消元的思想。

【第二環(huán)節(jié)】典例精析，應(yīng)用新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

2r-5y=7,①

例I解方程組：=i②

o

解：②一①，得8），=—8,

y=一lo

將＞，=_］代入①，得2x+5=7,

X—lo

所以原方程組的解是JX=L

y=-L

2A+3V=12,①

例2解方程組：kiz1「

3x+4y=17。②。。。

解：①X3,得6x+9y=36。③

②X2,得6x+8y=34。④

0oo

③-④，得y=2。

將y=2代入①，得工=3。

x=3,

所以原方程組的解是。

y=2o

2.活動(dòng)目的

例1通過(guò)將兩式相減可直接消去未知數(shù)x,例2則需根據(jù)最小公倍數(shù)將兩個(gè)方程中其中

一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)均化為相同的數(shù)再進(jìn)行求解。兩道例題均采用加減消元法求解，設(shè)計(jì)具有

層次感。

3.注意事項(xiàng)

教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察二元一次方程組中相同未知數(shù)系數(shù)的特征，利用等式的性質(zhì)探索加

減消元法的主要步驟；讓:學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同未知數(shù)系數(shù)的特征，并選擇合適的未知數(shù)，把系數(shù)化

為相等（或相反）的數(shù)，在最后教師要提醒學(xué)生檢驗(yàn)，確保正確求解。

【第三環(huán)節(jié)】思考交流，提煉新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考-交流

上面解方程組的基本思路是什么？主要步驟有哪些？與同伴進(jìn)行交流。

上面解方程組的基木思路仍然是“消元”。.主要步驟是通過(guò)兩式相加（或相減）消去其

中一個(gè)未知數(shù)，這種解二元一次方程組的方法稱為加減消元法。

回顧-反思

回顧求解方程組的過(guò)程，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

2.活動(dòng)目的

歸納加減消元法的基本思路是“消元”，主要步驟是通過(guò)兩式相加(或相減)消去其中

一個(gè)未知數(shù)。

3.注意事項(xiàng)

加減消元法是“消元”的技能之一，消元的思路是把“二元”變?yōu)椤耙辉薄ａ槍?duì)基礎(chǔ)

薄弱的學(xué)生，把歸納加減消元法的基本步驟作為課堂重點(diǎn)內(nèi)容：針對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，讓學(xué)

生體驗(yàn)代入消元法和加減消元法的方法選擇，淡化步驟，強(qiáng)化“消元”的思想。

【第四環(huán)節(jié)】學(xué)以致用,鞏固新知

1.活動(dòng)內(nèi)容O

(1)用加減消元法解下列方程組:O

[7x-2y=3,

|9.v+2y=-19；

(2)解下列方程組：

…3(x+2)+5(y+l)=2L(3。+1)+5(丁-1)=21,

①2,

2(x—3)—5(y—2)=—11；[2(x+1)—5(y—1)=-1L

2.活動(dòng)目的

第一組練習(xí)明確提出用加減消元法解下列方程，檢測(cè)學(xué)生對(duì)加減消元法的掌握情況，歸

納解二元一次方程組的兩種方法的共同特點(diǎn)是“消元”.

第二組題干中沒(méi)有對(duì)如何消元提出要求，需要學(xué)生通過(guò)觀察方程組特點(diǎn)，把未知數(shù)變成

多項(xiàng)式，整理方程組或整體換元，再選擇合適的方法解方程組。

3.注意事項(xiàng)

教師對(duì)學(xué)生要有及時(shí)的指導(dǎo)和點(diǎn)評(píng)，對(duì)有困難的學(xué)生，要及時(shí)幫扶與鼓勵(lì)。

【第五環(huán)節(jié)】歸納小結(jié)，完善新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

【回顧?反思】

（1）本節(jié)課解二元一次方程組的基本思路是什么？主要步驟有哪些？

（2）回顧這兩節(jié)課解二元一次方程組的過(guò)程，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

構(gòu)建框架：

2.活動(dòng)目的

學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想和方法，師生相互補(bǔ)充。

3.注意事項(xiàng)

學(xué)生先主動(dòng)用自己的語(yǔ)言歸納總結(jié)，接著小組之間相互補(bǔ)充提煉，然后教師在此基礎(chǔ)上

進(jìn)行補(bǔ)充，最終形成系統(tǒng)的用“消元”法解方程組的思路，強(qiáng)化對(duì)代入消元法和加減消元法

算理的理解。

【第六環(huán)節(jié)】分層作業(yè)，課后延伸

1.活動(dòng)內(nèi)容

基礎(chǔ)性作業(yè)：

習(xí)題5.2第2,4題。

拓展性作業(yè)：

（1）習(xí)題5.2第5題。

（2）請(qǐng)根據(jù)習(xí)題5.2第5題（1）的二元一次方程組，編制一道實(shí)際問(wèn)題。

2.活動(dòng)目的

設(shè)計(jì)分層作業(yè)供不同水平的學(xué)生選擇，使每個(gè)學(xué)生都能學(xué)有所獲。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.重視研究教材，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

本節(jié)課作為解二元一次方程組的技能訓(xùn)練，教材通過(guò)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生用己掌握的代入

消元法解二元一次方程組，類(lèi)比感受加減消元法的必要性；此情境設(shè)計(jì)有利于學(xué)生積累消元

的一般路徑，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜方程組奠定基礎(chǔ)。

本節(jié)課的例1,例2呈現(xiàn)了二元一次方程組中兩個(gè)方程的相同未知數(shù)系數(shù)相等或互為相

反數(shù)的情形。為了貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，在“學(xué)以致用：鞏固新知”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩道習(xí)題，

習(xí)題1減少了二元一次方程組系數(shù)特征的探索，強(qiáng)化了加減消元方法的提煉，是對(duì)例2的拔

高訓(xùn)練，突出了解二元一次方程組的基本步驟：消元、求解、檢驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生解方程組的嚴(yán)

謹(jǐn)思維。習(xí)題2是問(wèn)題情境中二元?次方程組的變式，從變式1改變系數(shù)到變式2改變未知

數(shù)，解題過(guò)程可用不同的方法，但方程組的解題思路始終不變，凸顯轉(zhuǎn)化與換元的思想。

本節(jié)課整體設(shè)計(jì)遵循學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律，以變式2作為分界點(diǎn)，前面突出

技能訓(xùn)練，后面?zhèn)戎財(cái)?shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，可根據(jù)學(xué)生的特征選擇性使用。

2.突出學(xué)生主體，多元激勵(lì)評(píng)價(jià)

教師通過(guò)給出主問(wèn)題“怎樣解下面的二元一次方程組呢？"，激發(fā)學(xué)生討論和訓(xùn)練，引

導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)歸納提煉，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。課堂教學(xué)口，教師應(yīng)尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿

足多樣化的學(xué)習(xí)需要，鼓勵(lì)學(xué)生探索方式、表述方式和解題方法的多樣化，支持學(xué)生對(duì)不同

方法進(jìn)行比較和評(píng)判，培養(yǎng)學(xué)生批判思維。

教學(xué)活動(dòng)中要聚焦用加減消亓法解二元一次方程組的技能訓(xùn)練,教師要關(guān)注學(xué)牛的參與

程度和思維水平，及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行幫助和積極評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)旨在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我、建立自信，

充分發(fā)揮評(píng)價(jià)的學(xué)科育人功能。在進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，要體現(xiàn)評(píng)價(jià)方式的多樣化，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的

過(guò)程性評(píng)價(jià)，不可只局限于結(jié)果評(píng)價(jià)。

附：板書(shū)設(shè)計(jì)

二元一次方程組的解法（二）

怎樣解下面的二元一次方程組呢？例題：

3x+5y=21①5X4-3^=21①

2x-5y=-11②2x-5y=-\\②

法1：法2：法3：變式2：

3(x+2)+5(y+l)=21

解方程組的基本思路：—2(x-3)-5(y-2)=-ll

加減消元步驟：__________

第五章二元一次方程組

3二元一次方程組的應(yīng)用（第1課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

列二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，是代數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)聯(lián)系現(xiàn)

實(shí)生活的一個(gè)重要方面。本節(jié)課通過(guò)創(chuàng)設(shè)豐富的情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二

元?次方程（組）的過(guò)程，通過(guò)解方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)?步提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和

問(wèn)題解決能力。

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第五章“二元一次方程組”第3節(jié)第1課

時(shí)，以經(jīng)典的“雉兔同籠”問(wèn)題為背景，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用算術(shù)方法、一元一次方程以及二元

一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。通過(guò)對(duì)比分析，體會(huì)用二元一次方程組建立模型解決實(shí)際

問(wèn)題的必要性和重要價(jià)值，并在用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中總結(jié)一般性策略。

因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)更多的關(guān)注對(duì)算術(shù)方法、列一元一次方程和列二元一次方程組等方法

的意義理解與對(duì)比分析，以及在列方程組的建模過(guò)程中，強(qiáng)化方程的模型思想，培養(yǎng)夕1方程

組解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)和能力。同時(shí)，將解方程組的技能與實(shí)際問(wèn)題的解決融為一體，進(jìn)一

步提高學(xué)牛借助方程匆解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二元一次方程（組）的概念

及解法，以及列二元一次方程組解應(yīng)用題的部分內(nèi)容，能正確地分析和理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的題意,

并匣清簡(jiǎn)單的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，初步具備了用方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能

力。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)用算術(shù)方法解決“雉兔同籠”的問(wèn)題,

積累了一定的分析實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。在七年級(jí)上冊(cè)，學(xué)生通過(guò)對(duì)一元一次方程及應(yīng)用的學(xué)習(xí)，

積累了一定利用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，掌握了解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的基本思想和方法。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.能分析簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)晟關(guān)系，建立方程組解決問(wèn)題。

2.經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，積累利用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的

一般策略，體會(huì)方程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型思想和模型

意識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)：能分析簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程組解決問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：理解用算術(shù)方法、?元一次方程與二元?次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的差異，體

會(huì)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值意義及一般策略。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】情境引入

1.活動(dòng)內(nèi)容

《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)“雉兔同籠”問(wèn)題：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有

九十四足。問(wèn)：雉兔各幾何？

（1）這個(gè)問(wèn)題涉及哪些量？

（2）這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

（3）你能列方程組解決這個(gè)有趣的問(wèn)題嗎？你是怎么做的？與同伴進(jìn)行交流。

追問(wèn)：你能用一元一次方程或小學(xué)的算術(shù)方法求解這個(gè)問(wèn)題嗎？

2.活動(dòng)目的

以中國(guó)經(jīng)典的“雉兔同籠”問(wèn)題為例引入課題，為梳理算術(shù)方法、一元?次方程和二元

一次方程組之間的關(guān)系埋卜.伏筆，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信。

通過(guò)問(wèn)題串引領(lǐng)，啟發(fā)學(xué)牛從實(shí)際問(wèn)題中獲取關(guān)鍵信息,思考、分析問(wèn)題中包含的量及

等量關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)方法，一元一次方程及二元一次方程組等多種方法嘗試解決問(wèn)

題。

3.注意事項(xiàng)

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題中包含的等量關(guān)系。

“雉兔同籠”問(wèn)題對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，學(xué)生在小學(xué)階段或在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)

可能就研究過(guò)這一問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生列一元一次方程或用小學(xué)學(xué)過(guò)的算術(shù)方

法求解，并對(duì)解決這一問(wèn)題的不同方法進(jìn)行比較，思考這些方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。

【第二環(huán)節(jié)】探索新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

嘗試?思考

列方程組求解下面的問(wèn)題：

若甲從乙處得到7第納爾（貨幣單位），則中擁有的第納爾是乙的5倍；若乙從甲處得

到5第納爾，則乙擁有的第納爾是甲的7倍。甲、乙兩人原來(lái)各擁有多少第納爾？［選自意

大利數(shù)學(xué)家斐波納奇（Leonard。Fibonacci,約1170—約1240）的《計(jì)算之書(shū)》］

（1）這個(gè)問(wèn)題涉及哪些量？這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

（2）你能列方程組解決這個(gè)問(wèn)題嗎？你是怎么做的？

（3）你能用一元一次方程或小學(xué)學(xué)過(guò)的算術(shù)方法求解嗎？你覺(jué)得哪種方法更簡(jiǎn)單？

2.活動(dòng)目的

以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地匣清題目中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)對(duì)等量關(guān)系和未知量

的分析，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)相較于設(shè)一個(gè)未知數(shù)，在數(shù)學(xué)表達(dá)和降低思維難度上的

優(yōu)越性，進(jìn)?步強(qiáng)化用二元?次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值與意義，同時(shí)幫助學(xué)生在問(wèn)題解

決的過(guò)程中形成建立方程組的策略，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生運(yùn)

用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的意識(shí)。

3.注意事項(xiàng)

此問(wèn)題為古算題，計(jì)算結(jié)果為分?jǐn)?shù)，為保留古算題的原貌，在數(shù)據(jù)上可向?qū)W生作筒單說(shuō)

明。

【第三環(huán)節(jié)】典例精析

L活動(dòng)內(nèi)容：

例1今有甲、乙懷餞，各不知其數(shù)。甲得乙十錢(qián)，多乙余錢(qián)五倍。乙得甲十錢(qián)，適等。

問(wèn)：甲、乙懷錢(qián)各幾何？（選自《張斤?建算:經(jīng)》）

題目大意：甲、乙兩人各帶了若干錢(qián)。如果甲得到乙的10錢(qián)，那么甲的錢(qián)數(shù)比乙剩余

的錢(qián)數(shù)多5倍；如果乙得到甲的10錢(qián)，那么兩人錢(qián)數(shù)相等。甲、乙兩人各帶了多少錢(qián)？

追問(wèn)：題目中有哪些等量關(guān)系？你能用含未知量的式子表示這些等量關(guān)系嗎？

回顧以上幾個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程，思考：

列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路和策略是什么？與同伴進(jìn)行交流。

思考-交流

列二元一次方程組解決問(wèn)題與列一元一次方程解決問(wèn)題有什么區(qū)別和聯(lián)系？與同伴進(jìn)

行交流。

2.活動(dòng)目的

例1在新知應(yīng)用的基礎(chǔ)上，川中國(guó)古算題進(jìn)一步鞏固利用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)

題，強(qiáng)化建立方程組的策略，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型

解決問(wèn)題的意識(shí)。

“思考?交流”要求學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，思考列二元一次方程組解決問(wèn)題與列一元

一次方程解決問(wèn)題之間的區(qū)別和聯(lián)系，力圖讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)二元一次方程組的必要性和優(yōu)越

性，逐步形成對(duì)相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。

3.注意事項(xiàng)

例1為古算題，需要學(xué)生先理解題意，再?gòu)膶?shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并利用二元一

次方程組解決問(wèn)題。

在“思考?交流”環(huán)節(jié)需要讓學(xué)生感受到，列二元一次方程組解決問(wèn)題與列一元一次方

程解決問(wèn)題的基本思路、基本思考策略是一致的，如都需要分析問(wèn)題中涉及的各種量，以及

量與量之間的等量關(guān)系，并抓住主要等量關(guān)系。它們的主要區(qū)別在于所設(shè)未知數(shù)