2025?2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版八年級期末必刷?？碱}

之勾股定理

一.選擇題（共9小題）

1.（2025秋?陜西期中）下列各數(shù)中，能與8,15構(gòu)成一組勾股數(shù)的是（）

A.7B.17C.19D.7161

2.（2025秋?曲靖期中）如圖，在中，ZC=90°,4。平分/84C,若BC=15,BD=10,則點(diǎn)

。到A4的距離是（）

A.15B.10C.5D.4

3.（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，在5X7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為I,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)

上，A。為△A8C的中線，則AO的長為（)

5>/105V10

C.-----D.-----

42

4.（2024秋?侯馬市期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要

的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板6離地的垂直高度8￡=0.8相，將它往

前推3/〃至C處時(shí)（即水平距離CO=3〃?），踏板離地的垂直高度CF=2.6/〃，它的繩索始終拉直，則繩

索AC的長是（

冏

A.3.2mC.3.6/72D.3.8/n

5.（2025秋?南山區(qū)期中）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是

相等的，如圖所示，證明了勾E殳定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為Si,圖2中空白部分的面積為S2,

則下列對S1,52所列等式不正確的是（）

圖1用2

222

A.Sr=a+b+2abB.S2=c+ab

22

C.Sr=a+b+abD.Si=S2

6.（2025春?海淀區(qū)期末）在勾股定理的證明中，小云用與RtaABC全等的三角形拼出了如圖所示的弦圖,

則線段A8的長為（）

D.2V3

7.（2025春?邯鄲校級期末）如圖1,有一個(gè)由傳感器A控制的燈，要裝在門上方離地高45〃的墻6任

何東西只要移至該燈5〃?及5〃:以內(nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光如圖2,當(dāng)一個(gè)身高1.5加的學(xué)生（即CO=L5〃?）

走到燈剛好發(fā)光的地方時(shí)，他離墻的距離為（）

C.6〃?D.7m

8.（2024秋?偃師區(qū)期末）一輛裝滿貨物，寬為2.4米的卡車，欲通過如圖所示的隧道，則卡車的外形高

必須低于（)

C.3.9米D.3.8米

9.（2025秋?東港市期中）下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A.在RtZLAHC中，己知兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為5

B.若三角形的三邊之比為3：4：5,則該三角形是直角三角形

C.△ABC的三邊分別為AB,BC,AC,若4?2=8。2+4。2,則/A是直角

D.在△48C中，若N4：NB：ZC=2：3：7,則△ABC是直角三角形

二,填空題（共4小題）

10.（2025秋?東莞市期中）在如圖所示的3X3正方形網(wǎng)格中，Zl+Z2+Z3=度.

11.（2024秋?錦江區(qū)校級期末）若將15只空油桶（每只油桶底面的直徑均為2〃?）堆在一-起，并且最下面

的個(gè)數(shù)是5只，要給它們蓋一個(gè)遮雨棚，遮雨棚起碼高為加結(jié)果/呆留根號(hào)）.

12.（2025秋?包頭期中）如圖，一個(gè)底面半徑為8c/〃，高為15c〃?的圓柱形飲料罐，將一根長為20cm的

吸管從頂面正中心的小圓孔，按如圖所示緊貼底部側(cè)面插入飲料罐，若罐壁厚度和頂部圓孔直徑均忽略

不計(jì)，則吸管露在飲料罐外部的長度是。兒

13.（2025春?樊城區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地A8=2.f米，當(dāng)人體

進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開.一個(gè)身高1.6米的學(xué)生。。正對門，緩慢走到離門

1.2米的地方時(shí)（8C=1.2米），感應(yīng)門自動(dòng)打開，則A￡>=米.

三,解答題（共2小題）

14.（2025秋?大連期中）小強(qiáng)同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對其作了進(jìn)一步的探究：如

圖1,在一個(gè)支架的橫桿的點(diǎn)。處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A,小球A可以自由擺動(dòng)，04表示小球靜

止時(shí)的位置.如圖2,當(dāng)小強(qiáng)用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從OA擺到OB位置,此時(shí)過點(diǎn)B作BDL

OA,垂足為。，當(dāng)小球擺到OC位置時(shí)，。8與。。恰好垂直（圖2中的A、B、0、C在同一平面上），

過點(diǎn)。作CE_LOA,垂足為￡測得8。=6a〃，CE=\0cm.

（1）求證：/COE=/B；

（2）求。E的長.

圖1圖2

15.（2025春?林州市期末）隨著“雙碳”目標(biāo)的提出，為了減少能源消耗和碳排放，推廣新能源汽車、推

動(dòng)清潔能源的普及，對于實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”和“碳中和”目標(biāo)具有重要意義.如I圖，某社區(qū)新建新能源汽

車充電樁，C。為充電樁，8c和AC分別為兩側(cè)充電線伸出后的最長距離.

已知在△ABC中，CD_L4B交A8于點(diǎn)。，AC=20,8c=15,CD=\2.

求證：△AAC是直角三角形.

2025?2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級期末必刷?？碱}

之勾股定理

參考答案與試題解析

一,選擇題（共9小題）

題號(hào)123456789

答案BCBBACAAB

一.選擇題（共9小題）

1.（2025秋?陜西期中）下列各數(shù)中，能與8,15構(gòu)成一組勾股數(shù)的是（）

A.7B.17C.19D.

【考點(diǎn)】勾股數(shù).

【專題】三角形.

【答案】B

【分析】勾股數(shù)要求三個(gè)正整數(shù)小b,c,且滿足據(jù)此進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答.

【解答】解：4、72+82=49+64=113^152,故該選項(xiàng)不符合題意;

B.152+82=225+64=289=172,故該選項(xiàng)符合題意；

C.152+82=225+64=289#：192,故該選項(xiàng)不符合題意：

D、不是正整數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考杳了勾股數(shù)，掌握其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)犍.

2.（2025秋?曲靖期中）如圖，在RlZXACB中，ZC=90°,AD平分NB4C,若BC=15,87）=10,則點(diǎn)

。到AB的距離是（）

【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；推理能力.

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作。EL4B,由角平分線的性質(zhì)可得OC=OE,根據(jù)B。，8c的長即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)。作。從LA從如圖；

:,DC=DE,

VfiC=15,8。=10,

：.DC=DE=\5-10=5.

???點(diǎn)。到A8的距離是5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查角平分線的性質(zhì)，理解點(diǎn)到直線的距離是蟀題關(guān)鍵.

3.（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，在5X7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為I,點(diǎn)A,B,。都在格點(diǎn)

上，A。為△ABC的中線，則AD的長為（）

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】網(wǎng)格型：等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算出二:角形三邊的長度，判斷三角形是直角二角形，再根據(jù)斜邊上的中線是斜

邊的一半進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：每個(gè)小正方形的邊長均為1,

根據(jù)勾股定理可得：人群=22+62=40,4C2=32+12=IO,?C2=12+72=50,

:.AB1+AC2=BC2,

???△ABC是直角三角形，

VAD是斜邊6c邊上的中線，

：.AD=1BC=V50=7>/2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.（2024秋?侯馬市期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要

的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板4離地的垂直高度/^=0.8相，將它往

前推3/〃至。處時(shí)（即水平距離。。=3,〃），踏板離地的垂直高度C尸=2.?！?，它的繩索始終拉直，則繩

索AC的長是（

冏

A.3.2〃zC.3.6/7/D.3.8/Z/

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】設(shè)AC的長為xm,則AB=AC=xm,故AO=4B-8D=（x-1.8）m.在直角△AQC中利用勾

股定理即可求解.

【解答】解:由題意可知,C尸=2.6〃?，BE=0.8w,

設(shè)AC的長為xm,則A8=AC=k〃，

所以AD=AB-8D=（x-1.8）m.

212222

在宜角△AQC中，AD+CD=ACf即（x-1.8）+3=x,

解得：x=3.4,

印繩索AC的長是3.4米.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，找到直角三角形并利用勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵.

5.（2025秋?南山區(qū)期中）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是

相等的，如圖所示，證明了勾段定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為Si,圖2中空白部分的面積為S2,

則下列對Si,S2所列等式不正確的是（）

即圖2

7?

A.Sx—a?+b+2abB.S2—c+ab

22

C.Sx=a+b+abD.Si=S2

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算，即可■解決問題.

【解答】解：由勾股定理可得/+6=。2,

22222

由題意，可得Si=S2=a+b+2x^ab=a+b+ab=c+ab,

故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)&C、。不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形,

然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

6.（2025春?海淀區(qū)期末）在勾股定理的證明中，小云用與Rt^ABC全等的三角形拼出了如圖所示的弦圖,

若正方形G"/K的面枳為16,正方形CQE尸的面積為4,則線段A8的長為（）

C.>/10D.2A/3

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】設(shè)AC=b,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CO=2.GK=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)8C=a,AC=b,

???正方形GM7K的面積為16,正方形CQEr的面積為4,

；?CD=2,GK=4,

.（a+b=4

.%-Q=2,

,（a=1

.%=3,

：.AB=V32+I2=710,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2025春?邯鄲校級期末）如圖1,有一個(gè)由傳感器人控制的燈，要裝在門上方離地高4.5〃1的墻E,任

何東西只要移至該燈5〃?及5/7；以內(nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光如圖2,當(dāng)一個(gè)身高15〃的學(xué)生（即C￡>=1.5/n）

走到燈剛好發(fā)光的地方時(shí)，他離墻的距離為（）

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】推理能力.

【答案】A

【分析】過點(diǎn)C作交A3于點(diǎn)E,構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解答.

【解答】解：過點(diǎn)C作CE//BD,交AB于點(diǎn)E.

*：BE=CD=\.5m,

：.AE=AB-BE=4.5-1.5=3(/??).

VAC=5m,

：,CEr=AC1-/1E2=52-32=^2,

CE=4cm,

故學(xué)生走到燈剛好發(fā)光的地方時(shí)，他離墻的距離為4〃?

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查正確運(yùn)用勾投定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.直角三角形兩

條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

8.（2024秋?偃師區(qū)期末）一輛裝滿貨物，寬為2.4米的卡車，欲通過如圖所示的隧道，則I：?車的外形高

C.3.9米D.3.8米

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意欲通過如圖的隧道，只要比較距廠門中線L2米處的高度比車高即可，根據(jù)勾股

定理得出CQ的長：然后再根據(jù)CH=C7M￡）從進(jìn)而得出CW的長，即可得出答案.

【解答】解：???車寬2.4米，

，欲通過如圖的隧道，只要比較距隧道中線1.2米處的高度與車高.

在Rt^OCO中，由勾股定理可得：

CD=y/OC2-OD2=V22-1.22=1.6（〃?），

CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米，

故選；A.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出CQ的長是解題關(guān)鍵.

9.（2025秋?東港市期中）下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A.在中，已知兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為5

B.若三角形的三邊之比為3：4：5,則該三角形是直角三角形

C.△ABC的三邊分別為AB,BC,AC,若4解=8。2+4。2,則/人是直角

D.在若NA：ZB：ZC=2：3：7,則△/18c是直角三角形

【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形.

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、在n△ABC中，如果已知兩直角邊長分別為3和4時(shí)，則第三邊的長為盛；如果已

知4為斜邊，3為直角邊時(shí)，則第三邊的長為近，

故A不符合題意；

B、???三角形的三邊之比為3：4：5,

工設(shè)三邊分別為北,4a5匕

(3k)2+(4k)2=25爐，(5k)2=25k2,

，(3k)2+(44)2=(5k)2,

???該三角形是直角三角形，

故B符合題意；

C、△/WC的三邊分別為/W,BC,AC,若人爐=8。2+人。2,則NC是直角，

故C不符合題意：

。、在△ABC中，若NA：NB：ZC=2：3：7,則NC=180°x；=105。,

???△A8C不是直角三角形，

故。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的

關(guān)鍵.

二,填空題(共4小題)

10.(2025秋?東莞市期中)在如圖所示的3X3正方形網(wǎng)格中，Zl+Z2+Z3=90g.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】90.

【分析】證明△ABC0△/)￡：/,△DCGg△C￡B得出N2+N1=45°,根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知/3=45°,

即可求解.

【解答】解：如圖，

在△ABC與△OE尸中，

AC=DF

乙ACB=乙DFE,

BC=EF

:.△AB8XDEF(S4S),

AZ1=Z4,

YFD//CG,

：.N2=NFDC,

同理可得△OCGgACEB,

：,EC=ED,N2=NBEC,

?；/BEC+NECB=9U°,

AZ2+ZEBC=90°,

???NECQ=90°,

???△EC。是等腰直角三角形，

/.zcor=45°,

即N4+NFQC=N1+N2=45°,

根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知N3=45°,

.-.Zl+Z2+Z3=90o,

故答案為：90.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求得Nl+/2=45。

是解題的關(guān)鍵.

11.（2024秋?錦江區(qū)校級期末）若將15只空油桶（每只油桶底面的直徑均為2〃?）堆在一起，并且最下面

的個(gè)數(shù)是5只，要給它們蓋一個(gè)遮雨棚，遮雨棚起碼高為（4V3+2）—m（結(jié)果保留根號(hào)）.

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（46+2）.

【分析】仔細(xì)觀察圖片，可以看出15只油桶堆成的底面剛好構(gòu)成等邊三角形，它的邊長是8/〃，遮雨棚

起碼的高度是該三角形的高加一只油桶的直徑，根據(jù)勾股定理求出A。的長，即可得出結(jié)果.

【解答】解：由題意得：A、8、C是三個(gè)角處的三個(gè)油桶的圓心，連接組成一個(gè)等邊三角形，它的邊

長是4X2=8（〃?），AQ為等邊△ABC的高,

：.AB=BC=Sm,BD=CD=1x8=4Cm）,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD=\/AB2-BD2=V82-42=4>/3（/?）,

???遮雨棚起碼高為：（4百+2）加，

故答案為：（4V3+2）.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2025秋?包頭期中）如圖,一個(gè)底面半徑為8cm,高為15cm的圓柱形飲料罐,將一根長為20cm的

吸管從頂面正中心的小圓孔，按如圖所示緊貼底部側(cè)面插入飲料罐，若罐壁厚度和頂部圓孔直徑均忽略

不計(jì)，則吸管露在飲料罐外部的長度是一3cm.

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形：應(yīng)用意識(shí).

【答案】3.

【分析】先根據(jù)勾股定理求解出吸管在飲料罐內(nèi)部的長度，再根據(jù)吸管的總長度求解即可.

【解答】解：如圖，由題意得：40=8?！?，BO=15cm,/8。4=90°,

在直角三角形A0B中，由勾股定理得：

AB=V82+152=17(cm),

???吸管在飲料罐內(nèi)部的長度為17cm,

???吸管的總長度為20cm,

，外部長度為20-17=3(cm),

即吸管露在飲料罐外部的長度是3cm.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理解三角形，解決本題的關(guān)鍵是先求解出吸管在飲料罐內(nèi)部的長度.

13.(2025春?樊城區(qū)期末)如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地4B=2.￡米，當(dāng)人體

進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開.一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門

1.2米的地方時(shí)(BC=1.2米)，感應(yīng)門自動(dòng)打開，則12=1.5米.

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】過點(diǎn)。作。E_L48于點(diǎn)E,構(gòu)造RtZ\AQE,利用勾股定理求得A。的長度即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作。E_LA8于點(diǎn)￡,

???44=2.5米，6￡=8=1.6米，ED=5C=1.2米,則?BE=2.5?1.6=0.9（米，

在中，由勾股定理得到：AD=y/AE2+DE2=0.92+l.22=1.5（米）

故答案為：1.5.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得

線段4。的長度.

三,解答題（共2小題）

14,（2025秋?大連期中）小強(qiáng)同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對其作了進(jìn)一步的探究：如

圖1,在一個(gè)支架的橫桿的點(diǎn)。處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A,小球A可以自由擺動(dòng)，OA表示小球靜

止時(shí)的位置.如圖2,當(dāng)小強(qiáng)用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從擺到08位置，此時(shí)過點(diǎn)3作8Q_L

OA,垂足為。，當(dāng)小球擺到OC位置時(shí)，04與OC恰好垂直（圖2中的4、B、0、。在同一平面上），

過點(diǎn)。作垂足為￡測得2Q=6s〃，CE=l0cm.

（1）求證：ZCOE=NB；

（2）求OE的長.

0

圖1圖2

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）'：CEYOA,BDLOA,

/.ZCEO=ZODB=90°,

yOBIOC,

AZBOC=90a,

AZBOD+ZCOE^r,

在RtABOO中，NBOIHNB=9()°,

，NCOE=NB；

(2)4cm.

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到NCEO=NOQ8=90°,求得N8OO+NCOE=90°,根據(jù)余角的性

質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=O。，OE=BD,于是得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：VC￡±OA,BDLOA,

：.^CEO=ZODB=90°,

VO8JLOC,

???N9OC=90°,

???/8OO+NCOE=90°,

.,.ZBOD+ZB=90°,

:?/COE=/B；

(2)解：在△COE和△08。中，

"CEO=/ODB

乙COE=△B，

(OC=OB

:?△COE/AOBD(A4S),

:?CE=0D,0E=BD,

\*CE=}0cm,

??.00=10?！?，

*/BD=6cm,

/.0E=6cm,

：.DE=OD-0E=10-6=4(cm).

【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)條件判定全等，解

題技巧是通過勾股定理求解邊長，然后通過線段和差關(guān)系求解.

15.(2025春?林州市期末)隨著“雙碳”目標(biāo)的提出，為了減少能源消耗和碳排放，推廣新能源汽車、推

動(dòng)清潔能源的普及，對于實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”和“碳中和”目標(biāo)具有重要意義.如圖，某社區(qū)新建新能源汽

車充電樁，C。為充電樁，8c和AC分別為兩側(cè)充電線伸出后的最長距離.

已知在△ABC中，CD_LA8交48于點(diǎn)。，AC=20,BC=15,CD=\2.

求證：△AAC是直角三角形.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】直接根據(jù)勾股定理求出8。的長，再利用勾股定理可得出4。的長，根據(jù)勾股定理的逆定理即

可得出結(jié)論.

【解答】證明：???CQ_LA8

:?NCDB=NCDA=90°,

在對△COB中，

V5C=15,CD=12,

:?BD=V152-122=9,

在Rt^ACO中，

VAC=20,CD=12,

：.AD=yjAC2-CD2=V202-122=16.

：?AB=AD+DB=16+9=25,

在Rl△人8c中，

AB=25,AC=20,BC=15,

：.AI^=252=625,AC2+BC2=202+152=625,

：.AB2=AC2+BC2,

???△ABC是直角三角形.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理求出43的長是解本題的美鍵.

考點(diǎn)卡片

1.三角形內(nèi)角和定理

（I）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將.三