第二章實數(shù)

1認識實數(shù)（第2課時）

一、學習任務分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學（八年級上冊）第二章“實數(shù)”的第一節(jié)第2課時。本節(jié)課

.1要學習實數(shù)山有理數(shù)和無理數(shù)組成，并能對實數(shù)按要求進行不同的分類，同時了解實數(shù)范

圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值的意義，讓學生在動手操作中明確實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對

應的，結(jié)合勾股定理知識，在數(shù)軸上確定無理數(shù)的位置。

二、學生起點分析

學生知識技能基礎:通過七年級數(shù)軸的學習，學生已系統(tǒng)學習了有理數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、

絕對值等概念，會利用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)。在前一章“勾股定理”的學習中，學生積累

了已知兩直角邊長度均為整數(shù)時求斜邊平方的運算基礎。在本章的第一課時學生也已經(jīng)初步

感知了無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)），這為利用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)奠定了基礎。勾股定理

的學習也為學生運用數(shù)形結(jié)合的思想方法提供了思考路徑。

學生活動經(jīng)驗基礎：第I課時，構(gòu)造直角三角形產(chǎn)生無理數(shù)是具體的經(jīng)驗，為如何在數(shù)

軸上標出無理數(shù)提供了一種辦法；研究有理數(shù)時使用的分類、運算等學習經(jīng)驗，在實數(shù)這里

依然可以進行類比學習。

三、教學目標

1.了解實數(shù)的意義，能對實數(shù)按要求進行分類；了解實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，能根

據(jù)實數(shù)在數(shù)軸上的位置比較大小。了解實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對■值的意義和有理數(shù)

范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣。

2.在認識“實數(shù)”這一新知識時，運用已有的“有理數(shù)”的相關概念及運算律類比解決

“實數(shù)”的相關概念及運算律，從而獲取解決實數(shù)相關問題的基本方法，發(fā)展分析問題、解

決問題的能力。

3.在感受實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應的過程中，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想。

4.感悟類比思想的經(jīng)驗，了解數(shù)系擴充對人類認識發(fā)展的必要性。

教學重點：實數(shù)的意義，實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應。

教學難點：能將實數(shù)按要求進行分類。

四、教學過程設計

【第一環(huán)節(jié)】回顧引入

1.活動內(nèi)容

（1）什么是有理數(shù)？

（2）如果把有理數(shù)寫成小數(shù)，這時的小數(shù)有什么特征呢？

（3）把下列各數(shù)表示成小數(shù):3,p%三。

594511

討論后明晰：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。

2.活動目的

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)?，F(xiàn)在出現(xiàn)了新的數(shù)，它既不是整數(shù)也不是分數(shù)，上節(jié)課指出

這樣的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。因此，本節(jié)課首先探討有理數(shù)和小數(shù)的美系。從研究手法上看，

直接問這樣的問題太抽象，于是從特殊的、具體的對象進行研究，設計了將具體有理數(shù)轉(zhuǎn)化

成小數(shù)的問題。

3.注意事項

這里通過具體的數(shù)字轉(zhuǎn)化，讓學生積累經(jīng)驗，通過自己的計算發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)總可以用有

限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。那些不

是有理數(shù)的數(shù)，用小數(shù)表示是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)。揭示無理數(shù)后，

可以再舉一些實例，進一步幫助學生理解和感知無理數(shù)。

【第二環(huán)節(jié)】探究新知

1.活動內(nèi)容

例下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

3.14,-p0.57,0.1010001000001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加2）。

教師總結(jié)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。

嘗試-思考

無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有正、負之分。

（1）請你把上面例題中的各數(shù)填入下面相應的集合內(nèi)。

正數(shù)集合負數(shù)集合

（2）還記得有理數(shù)的分類方法嗎？你能用類似的方法對實數(shù)進行分類嗎？

思考?交流

上節(jié)課討論的兩個正方形，邊長分別是小4且滿足，=2,b2=5.

（1）如圖，OA=OB,數(shù)軸上點力對應〃，6中的哪個數(shù)？

（2）你能在數(shù)軸上找到另一個數(shù)對應的點嗎？與同伴進行交流。

2.活動目的

在第一環(huán)節(jié)，教材明晰了無理數(shù)的概念，這一環(huán)節(jié)則是進一步加深學生對無理數(shù)的理解。

首先，例題讓學生判斷哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)，這是對無理數(shù)概念的進一步辨析。有

了數(shù)的概念以后，我們通常會討論數(shù)的運算。其次，設計了“嘗試?思考”，一方面類比有

理數(shù)，對實數(shù)進行分類；另一方面在討論完分類后，進一步明晰在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒

數(shù)、絕對值的意義與在有理數(shù)范圍內(nèi)的意義一樣。實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、

除、乘方運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律對實數(shù)仍然適用；最后，“思考?交流”則

是對有理數(shù)與數(shù)軸上點的關系的補充，揭示實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的。

3.注意事項

（1）關于實數(shù)的分類，可以有不同的分類方法，但是每次只能按照同?標準，且也要

注意不重不漏。

（2）通過與有理數(shù)類比的方式，得出實數(shù)意義下的相關概念、運算律，不用解釋道理，

可以通過具體例子理解和感悟。

【第三環(huán)節(jié)】知識鞏固

1.活動內(nèi)容

（1）下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

0.4583,3.7,—n?—18o

（2）比較一3.14和一兀的大小。

（3）判斷正誤：

①所有無限小數(shù)都是無理數(shù)；（）

②所有無理數(shù)都是無限小數(shù)；（）

③有理數(shù)都是有限小數(shù)；（）

④不是有限小數(shù)的數(shù)不是有理數(shù)。（）

（4）回答問題：

①一3的相反數(shù)是什么？它的倒數(shù)是什么？它的絕對值是什么？

②n的相反數(shù)是什么？它的倒數(shù)是什么？它的絕對值是什么？

③。是一個實數(shù)，它的相反數(shù)和絕對值如何表示？若則它的倒數(shù)如何表示？

2.活動目的

通過教科書的一些練習題，加深學生對相關概念的理解，檢測學生對實數(shù)相關知識的

掌握情況。

【第四環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動內(nèi)容

（1）通過本節(jié)課的學習，你收獲了哪些數(shù)學知識利能力？

（2）通過本節(jié)課的學習，你提升了哪些數(shù)學思維能力？

（3）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些數(shù)學語言表達？

2.活動目的

鼓勵學生結(jié)合本節(jié)課的學習談自己的收獲。通過課堂小結(jié)，理清本節(jié)的知識脈絡，培養(yǎng)

學生的核心素養(yǎng)，引導學生用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界，本節(jié)課的數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為抽象能

力、兒何直觀；幫助學生用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界，本節(jié)的數(shù)學思維主要表現(xiàn)為運算能力、

推理能力；實現(xiàn)用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，本節(jié)的數(shù)學語言主要表現(xiàn)為應用意識。

3.注意事項

學生交流，互相補充，完成本節(jié)知識的梳理。學生對問題解決過程的回顧和反思，實現(xiàn)

知識建構(gòu)、方法融合、思想領悟和思維的自覺。

【第五環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動內(nèi)容

（1）基礎作業(yè)：

（注：根據(jù)教材習題2.1第1題改編）

卜列各數(shù)中，一言，3.97,-234.101（）1（）10…（相鄰兩個I之間有1個0）,

1ov

0.12345678910111213…（小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成）。

①寫出所有有理數(shù)；

②寫出所有無理數(shù)；

③分別寫出這些數(shù)的相反數(shù)、絕對值；

④把這些數(shù)按由小到大的順序排列起來，并用符號連接。

（2）拓展作業(yè)：

把下列小數(shù)化成分數(shù)：①3.25；②0.5；③0.66。

（3）實踐作.業(yè)：課題學習“探索有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的方法”。

課題探索有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的方法

類型主題實踐性作業(yè)

有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示，你知道它的原理嗎？你

內(nèi)容

能總結(jié)有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的一般方法嗎？

工具

運用所學知識解釋理由，小組合作歸納總結(jié)模型，并能發(fā)散思維，尋求

要求

一題多解，形成報告。

核心素養(yǎng)運算能力、推理能力

策略

應用知識

過程

反思

C合格:能夠利用所學知識解釋其中的道理，并進行證明，對于汨展應用

有?定的難度，需要在教師指導或同學合作下進行設計。

B良好:能夠利用所學知識解釋其中的道理，并做出完整的證明，對于拓

自我評價展應用活動，可以獨立完成設計操作，并可寫出一種或一種以上的方法。

A優(yōu)秀:在良好等級的基礎上，思維更敏捷、開闊，更加富有創(chuàng)造力，能

把每一個問題的理由都描述得清楚準確：對于拓展應用活動，能夠獨立完成

設計操作，并可提供出兩種及以上的方法。

2.活動目的

通過作業(yè)進一步鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容；設置不同層次的作業(yè)，為不同層次的學生提供不

同的發(fā)展空間。

五、教學反思

1.重視類比的數(shù)學思想滲透

實數(shù)是有理數(shù)的擴張，其具體研究內(nèi)容與有理數(shù)完全類似。因此，在本課時的教學設計

中，特別關注前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，關注運用類比的思想學習新的知識，這是本課設計

中一個十分顯著的特點。實際上，類似的問題在其他知識學習中同樣存在，注意體會。

2.轉(zhuǎn)變教學觀念