第一章勾股定理回顧與思考一、學習任務(wù)分析勾股定理作為古代智慧的結(jié)晶和現(xiàn)代數(shù)學的重要基石，揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)緊密聯(lián)系起來，是幾何學中的一顆璀璨明珠。勾股定理的應用蘊含著豐富的文化價值，更是后續(xù)有關(guān)幾何度量運算和代數(shù)學習必要的基礎(chǔ)，具有學科基礎(chǔ)性與廣泛的應用性，在現(xiàn)代科學和日常生活中發(fā)揮著舉足輕重的作用。本節(jié)課是復習課，以學生自主探索為主，通過小組之間的合作與交流，增強學生應用意識，培養(yǎng)學生多方面的能力。二、學生起點分析學生知識技能基礎(chǔ)：通過本章的學習，學生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及其逆定理的知識，并能應用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，具備解決本課問題所需的知識基礎(chǔ)。學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在以前的數(shù)學學習中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有一定的合作學習的經(jīng)驗，具備一定的合作與交流的能力。八年級學生已初步建立幾何直觀、空間觀念，有一定的推理能力，但還需進一步發(fā)展模型觀念、應用意識，增強耐挫折能力和解決問題的信心。三、教學目標1.回顧本章知識，尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用，同時構(gòu)建本章知識體系。2.在回顧與思考的過程中，建立模型觀念，提高解決問題、反思問題的能力。3.在反思和交流的過程中，體驗學習的樂趣。通過對勾股定理歷史的再認識，感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。教學重點：自主梳理本章的知識，構(gòu)建自己的認知結(jié)構(gòu)。教學難點：勾股定理及其逆定理的綜合運用。四、教學過程設(shè)計【第一環(huán)節(jié)】知識結(jié)構(gòu)梳理1.活動內(nèi)容（1）直角三角形的邊、角之間分別存在怎樣的關(guān)系？回答問題：①如圖，在△ABC中，∠C=90°，則∠A+∠B=90°，a2+b2=c2。②下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）。A．1，2，3B．0.3，0.4，0.5C．6，8，12D．10，20，24（2）舉例說明如何判斷一個三角形是否為直角三角形。回答問題：已知，在△ABC中，AB=k，AC=k?1，BC=3，當k=時，∠C=90°。（3）請你舉出一個生活中的實際問題，并運用勾股定理解決它?；卮饐栴}：如圖，有一個長、寬都是4m，高為6m的長方體形紙盒，一只螞蟻沿盒的外表面從點A處爬到點B處，那么這只螞蟻爬行的最短路程為（）。A．6mB．8mC．10mD．12m（4）你了解勾股定理的歷史嗎？請查閱資料，并與同伴進行交流。（5）梳理探索勾股定理的方法，你積累了哪些經(jīng)驗？以下是本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一個參考框圖。2.活動目的通過問題引導學生復習回顧與直角三角形有關(guān)的知識，避免枯燥的問答式分析，讓學生的復習更具針對性。加強知識的前后聯(lián)系，把勾股定理及其逆定理融入直角三角形的知識體系中，使知識系統(tǒng)化。學生通過回顧本章內(nèi)容，梳理知識結(jié)構(gòu)，形成知識系統(tǒng)，養(yǎng)成回顧與反思的習慣，獲得知識系統(tǒng)的自主建構(gòu)能力。3.注意事項在學生充分交流的基礎(chǔ)上，教師引導學生形成本章的內(nèi)容框架圖。練習階段，要留給學生獨立思考的時間，使學生能夠高效地合作交流?！镜诙h(huán)節(jié)】典例分析1.活動內(nèi)容例1如圖，方格紙中每個小方格的邊長均為1cm，一只螞蟻沿圖中所示的折線由點A處爬到了點D處，它一共爬行了多少厘米？例2我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）。已知大正方形的邊長為10，直角三角形的兩條直角邊的比是3∶4，求小正方形的邊長。變式1：在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，求△ABC的面積。變式2：在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，△ABC的周長為12，求△ABC的面積。變式3：在△ABC中，三條邊長度的比為3∶4∶5，△ABC的周長為48，求△ABC的面積。例3如圖，一個透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）中裝有水，點A是圓柱下底面外壁的一點，點B是上底面外壁與點A相對的一點，在點B正下方的水面緊貼內(nèi)壁G處有一食物。（1）若圓柱高為9cm，底面半徑為6cm，將一根木棒放入該容器，使木棒完全在容器中，求該容器內(nèi)能放入木棒的最大長度。（2）若圓柱高為9cm，底面半徑為12πcm，水深2cm，一只螞蟻在點①螞蟻從點A處沿圓柱側(cè)面外壁爬行到點B處，求它爬行的最短路程。②螞蟻從點A處出發(fā)，求它吃到食物需要爬行的最短路程。2.活動目的通過不同情境的問題，讓學生進一步體會勾股定理及其逆定理的應用，提高解決問題的能力。3.注意事項在應用勾股定理及其逆定理解決問題的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形分析數(shù)量關(guān)系。教學中，可先讓學生獨立思考，再進行交流，教師給予必要的指導。【第三環(huán)節(jié)】拓展提升1.活動內(nèi)容例4勾股定理的證明方法多樣，其中的“面積法”給了小聰靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明勾股定理。下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程。將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2。證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b?a，∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+12又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+12a(b?a∴12b2+12ab＝12c2+12a(b∴a2+b2＝c2。請參照上述證法，完成下面的證明。將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°。求證：a2+b2＝c2。2.活動目的讓學生通過例子舉一反三，運用數(shù)形結(jié)合思想用兩種方法表示出五邊形ACBED的面積，建立方程解決問題，發(fā)展幾何直觀和模型觀念。3.注意事項該問題有一定的難度，可以根據(jù)班級學生的實際情況有選擇地開展。【第四環(huán)節(jié)】交流小結(jié)1.活動內(nèi)容師生交流總結(jié)：（1）你在學習過程中是否積極參與？是否與同伴進行了有效的合作交流？（2）你在梳理本章知識的過程中，積累了哪些經(jīng)驗？與同伴進行分享。2.活動目的鼓勵學生結(jié)合本節(jié)課的學習談?wù)勛约旱氖斋@和感想，體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用。3.注意事項要讓學生暢所欲言，表達自己的切身感受與實際收獲，總結(jié)解決問題的思路與方法。【第五環(huán)節(jié)】課后作業(yè)1.活動內(nèi)容（1）教科書復習題第2，6，9，11題。（2）補充題：如圖，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC邊上的中線AD=6cm，求以BC為邊長的正方形的面積。（3）查閱資料，完成一份關(guān)于勾股定理的歷史的報告。2.活動目的通過作業(yè)，進一步鞏固所學知識。通過查閱資料，進一步完善知識體系，形成自己的認知結(jié)構(gòu)。3.注意事項作業(yè)（3）可以作為長作業(yè)在本節(jié)課后完成，也可以在本節(jié)課課前完成。如果課前完成，可以在本節(jié)課開始時，讓學生進行交流。五、教學設(shè)計反思本節(jié)課是復習課，主要是利用勾股定理及其逆定理來解決實際問題。勾股定理是在學生已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行學習的，它揭示了一個三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理的逆定理作用是判定某一個三角形是否是直角三角形。針對八年級學生的知識基礎(chǔ)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計思路是引導學生“‘做’數(shù)學”，編排上由淺入深，讓學生在自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學生的認知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學生是數(shù)學學習的主人、教師是數(shù)學學習的組