1.4充分條件與必要條件1.4.1充分條件與必要條件

一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．復(fù)習(xí)：1.命題：2.真命題：3.假命題：4.命題的形式：判斷為真的語句叫做真命題.判斷為假的語句叫做假命題.

命題的主要有“若p，則q”，“如果p，那么q”

，“只要p，就有q”等形式.其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.從前有一個(gè)牧民，養(yǎng)了幾十只羊，白天放牧，晚上趕進(jìn)一個(gè)用柴草和木樁等物圍起來的羊圈內(nèi)。一天早晨，這個(gè)牧民去放羊，發(fā)現(xiàn)羊少了一只。原來羊圈破了個(gè)窟窿，夜間有狼從窟窿里鉆了進(jìn)來，把一只羊叼走了。鄰居勸告他說：“趕快把羊圈修一修，堵上那個(gè)窟窿吧。”他說：“羊已經(jīng)丟了，還去修羊圈干什么呢?”沒有接受鄰居的好心勸告。第二天早上，他去放羊，發(fā)現(xiàn)又少了一只羊。原來狼又從窟窿里鉆進(jìn)羊圈，又叼走了一只羊。這位牧民很后悔沒有認(rèn)直接受鄰居的勸告，去及時(shí)采取補(bǔ)救措施。于是，他趕緊堵上那個(gè)窟窿，又從整體進(jìn)行加固，把羊圈修得十分牢固的。從此，這個(gè)牧民的羊就再也沒有被野狼叼走過了。從這個(gè)小故事咱們發(fā)現(xiàn)一問題，在有狼的情況下，要想不丟羊，修理好羊圈是必要條件。新課引入思考下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；（2）若兩個(gè)三角形的周長相等，則這兩個(gè)三角形全等；（3）若x2-4x+3=0,則x=1；（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a//b.（真命題）（假命題）

對于(1)(4)，我們知道它們是真命題，即由條件p可以推出結(jié)論q，此時(shí)稱為p是q的充分條件，q是p的必要條件.（真命題）（假命題）

對于(2)(3)，我們知道它們是假命題，即由條件p不能推出結(jié)論q，此時(shí)稱為p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

一般地，如果命題“若p則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作p═?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件．如果命題“若p則q”為假命題，是指由p不能得出q.這時(shí)，我們就說，由p不可以推出q，記作p═?q，并且說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．1.充分條件與必要條件定義：特別提醒對于“p?q”，蘊(yùn)含以下多種解釋：①“若p,則q”為真命題；②由條件p可以得到結(jié)論q；③p是q的充分條件或q的充分條件是p；④只要有條件p,就一定有結(jié)論q,即p對于q是充分的；注意：p是q的充分條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q，但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論q.一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論是不唯一的.⑤q是p的必要條件或p的必要條件是q.顯然，“p是q的充分條件”與“q是p的必要條件”表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同.例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中p是q的充分條件？（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（2）若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；（3）若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對角線互相垂直；（4）若x2=1，則x=1；（5）若a=b，則ac=bc；（6）若x,y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù).【總結(jié)】1.p是q的充分條件的前提是命題“若p,則q”為真命題.2.舉反例是判定一個(gè)命題是假命題的重要方法.

思考例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？

顯然這樣的充分條件是不唯一的，比如還有：①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且線段，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.上述命題都是真命題，所以命題①②③中的條件都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.事實(shí)上，例1中命題(1)及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理.故可得:一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.

思考例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？

顯然這樣的充分條件是不唯一的，比如還有：①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且線段，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.上述命題都是真命題，所以命題①②③中的條件都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.事實(shí)上，例1中命題(1)及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理.故可得練習(xí)1下列″若p,則q″形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若平面內(nèi)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB；(2)若兩個(gè)三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；(3)若兩個(gè)三角形相似，則這個(gè)兩個(gè)三角形的面積比等于周長比的平方.解：(1)p是q的充分條件；

(2)p不是q的充分條件；(3)p是q的充分條件.例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中q是p的必要條件？（1）若四邊形為平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對角分別相等；（2）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形；（4）若x=1，則x2=1；（5）若ac=bc，則a=b；（6）若xy為無理數(shù)，則x,y為無理數(shù).

思考例2中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件，即“這個(gè)四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的必要條件是唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)其他必要條件嗎？

顯然這樣的必要條件是不唯一的，比如還有：①若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對邊平行且線段；③若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩條對角線互相平分等.我們知道上述命題都是真命題，所以命題①②③中的性質(zhì)都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件.事實(shí)上，例2中命題(1)及上述命題①②③均是平行四邊形的性質(zhì)定理.故可得一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.練習(xí)2下列″若p,則q″形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若直線l與圓O有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則l為圓O的一條切線；(2)若x是無理數(shù)，則x2也是無理數(shù).練習(xí)3如圖，直線a和b被直線l所截，分別得到了∠1，∠2，∠3和∠4.請根據(jù)這些信息，寫出幾個(gè)“a//b”的充分條件和必要條件.abl1432解：(1)q是p的必要條件；(2)q不是p的必要條件.解：“a//b”的充分條件:“∠1=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3=180°”.“a//b”的必要條件:“∠l=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3=180°”.例題講解例1充分條件的判斷

【類題通法】

鞏固訓(xùn)練1

例題講解例2必要條件的判斷