2025屆中考復(fù)習(xí)

2025屆中考復(fù)習(xí)專題。為圓的綜合訓(xùn)練

總覽隊(duì)題型解讀

【題型1】圓中利用勾股求線段長.............1

【題型2】求圓中陰影面積.......................................................4

【題型3】圓與三角函數(shù).........................................................6

【題型4】圓中截長補(bǔ)短構(gòu)造手拉手模型..................................10

【題型5】圓與相似.............................................................14

【題型6】圓中的動點(diǎn)問題......................................................18

【題型7】圓中的探究性問題...................................................23

【題型8】圓的綜合性問題......................................................28

【題型9】圓中的定值問題......................................................34

題型匯編知識梳理與?？碱}型

【題型1】圓中利用勾股求線段長

【例題1】(2024?廣東深圳?中考真題)如圖，在△43。中，4B=BD,。。為△/出。的外接圓，BE

為。。的切線，4C為。。的直徑，連接OC并延長交跖于點(diǎn)￡

D

(1)求證：DE工BE；(2)若AB=5"，BE=5,求。。的半徑.

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///不固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】(2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)如圖，V/i8c中，乙化3=9()。，點(diǎn)。為力。邊上一點(diǎn),

以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓與48相切于點(diǎn)。，連接CO.

(I)求證：ZABC=2ZACD；(2)若月。=8,BC=6,求。。的半徑.

【鞏固練習(xí)2】(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖，直線/與OO相切于點(diǎn)。，44為。。的直徑，過

點(diǎn)A作力E_L/于點(diǎn)E,延長44交直線/于點(diǎn)C.

⑴求證：4)平分/。不⑵如果叱=1,DC=3,求。O的半徑.

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【鞏固練習(xí)3】（2024?廣東中山?三模）如圖，已知以RtZXXBC的邊相為直徑作V48C的外接圓。。,

的平分線8七交力。于。，交。。于E,過E作￡F〃/C交8N的延長線于尸/尸=1,EF=2,

（1）求證:所是。。切線；（2）求sin/尸；（3）求8D的值.

【鞏固練習(xí)4】（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）如圖，在V/8。中，N￡_L〃C旦點(diǎn)石為8c的中點(diǎn)，ZABC

的平分線8.必交于點(diǎn)M,點(diǎn)。在48上，以點(diǎn)。為圓心，。8的長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M,交BC于

點(diǎn)G,交力8于點(diǎn)F.

⑴求證：力上為OO的切線；（2）當(dāng)4c=8,4C=I2時，求。。的半徑;

（3）試探究線段EM、8G和斯之間的數(shù)量關(guān)系.

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【題型2】求圓中陰影面積

【例題11（2（）24?山東日照?中考真題）如圖，在菱形中，力8=2,/8=120。，點(diǎn)。是對角線4C

的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，。力長為半徑作圓心角為60。的扇形OE/"點(diǎn)。在扇形OM內(nèi)，則圖中陰

影部分的面積為（）

A.B.兀一4C.^4D.無法確定

【例題2】（2024?山東泰安?中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O'的一個直徑端

點(diǎn)與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

4rz4C.2乃_石D.-

A.一兀一B.-71

33334

/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形力￡C。中，AB=4,AD=2.以點(diǎn)A為圓

心，4。長為半徑作弧交力8十點(diǎn)￡,冉以48為直徑作半圓，與麗交十點(diǎn)尸，則圖中陰影部分的

面積為.

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【鞏固練習(xí)2】（2024?寧夏?中考真題）如圖，是V/8C的外接圓，為直徑，點(diǎn)。是V/18C的

內(nèi)心，連接彳。并延長交O。千點(diǎn)￡,過點(diǎn)E作OO的切線交48的延長線于點(diǎn)

⑴求證：BC〃EF、

（2）連接CE,若。。的半徑為2,sinZJ￡C=1,求陰影部分的面積（結(jié)果用含兀的式子表示）.

【鞏固練習(xí)3】（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，V/18C內(nèi)接于44為。。的直徑，

CO148于點(diǎn)。，將△COB沿4C所在的直線翻折，得到ACEA,點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為￡,延長EC交84

的延長線于點(diǎn)E

⑴求證：C尸是。。的切線；（2）若sin/CF8=Y2,48=8,求圖中陰影部分的面積.

2

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【鞏固練習(xí)4】（2024?廣東惠州?三模）如圖，V48c是O。的內(nèi)接三角形，N8是0。的直徑，4=30。,

8。=4,弦CDL4B于F,點(diǎn)￡是48延長線上一點(diǎn)，且力尸=￡尸，連接。￡.

（1）填空：4BCD=。；（2）判斷力E與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

（3）取C8的中點(diǎn)連接DM,求圖中陰影部分的面積.

【題型3】圓與三角函數(shù)

【例題1】（2024?山東青島?中考真題）如圖，V43c中，BA=BC,以8c為直徑的半圓。分別交

AB,AC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)E作半圓。的切線，交如？于點(diǎn)交4c的延長線于點(diǎn)N.若。N=10,

cosZ^C=|,則半徑OC的長為.

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【例題2】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，。。是V43C的外接圓,為直徑,BD平分/ABC

交。。于點(diǎn)。，交力C于點(diǎn)￡,連接交4c于點(diǎn)尸，連接CD.

4

(1)求證：OOJ_4C：(2)若。廣=2,cosZOBD=-,求b和CQ的長.

【例題3】（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，力&CO為。。的直徑，點(diǎn)E在訪匕連接,4E,OE,

點(diǎn)G在8。的延長線上，AB=AG/EAD+/EDB=45°.

（1）求證：4G與。。相切；（2）若8G=4后,sin/D4E=；,求。E的長.

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/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（2024,山東泰安?中考真題）如圖，力4是。。的直徑，4/是。。的切線，點(diǎn)C為。。

上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為怒的中點(diǎn)，連接8。交力。于點(diǎn)E,延長8。與力”相交于點(diǎn)尸，若DF=l,

tan5=p則/E的長為.

【鞏固練習(xí)2】（2024?重慶?中考真題）如圖，是的直徑，8C是。。的切線，點(diǎn)8為切點(diǎn).連

接力。交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E是0。上一點(diǎn)，連接BE,DE,過點(diǎn)A作力產(chǎn)〃BE交的延長線于點(diǎn)

F.若8C=5,CD=3,NF=NADE,則的長度是；。/的長度是.

【鞏固練習(xí)3】（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在O。中，/仍是直徑，C。是弦，且力B_LCQ,

垂足為E,44=20,CD=12,在比1的延長線上取一點(diǎn)尸，連接。尸，使NFCD=2NB.

（1）求證：是0。的切線；（2）求￡尸的長.

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【鞏固練習(xí)4】（2024?西藏?中考真題）如圖，是。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，連接力C,BC,

CO平分々CO,CEA.DB,交。8延長線于點(diǎn)E.

3

（1）求證：CE是。。的切線；（2）若O。的半徑為5,sinZ）=-,求4。的長.

\/D

【鞏固練習(xí)5】（2（）24?山東濰坊?中考真題）如圖，已知V/8C內(nèi)接于OO,48是OO的直徑，NBAC

的平分線交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。E/4C,交力。的延長線于點(diǎn)E,連接8DCD.

（1）求證：OE是O。的切線；（2）若CE=1,sin/A4O=g,求。。的直徑.

【鞏固練習(xí)6】（2024?四川綿陽,模擬預(yù)測）如圖，在RtZUSC中，/。=90。，。為4月上一點(diǎn)，F(xiàn)

是4C上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)4,少的。。交于點(diǎn)￡,并且。。切8c于點(diǎn)。，連接力。交。廠于點(diǎn)G.

(1)求證：AD2=AB-AF\(2)若8E=8,sin4=[,求力。的長.

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【鞏固練習(xí)7】（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在V48C中，AC=BC,=90°,經(jīng)過

A,。兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)、D,CO的延長線交力8于點(diǎn)RDE〃CF交BC于點(diǎn)、E.

（1）求證：OE為。。的切線；（2）若ZC=4,tanZCFZ）=2,求O。的半徑.

【題型4】圓中截長補(bǔ)短構(gòu)造手拉手模型

【例題1】（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形48co內(nèi)接于。O,ZJZ/C=60°,

ZBJC=ZCJD=45°,AB+AD=2,則。。的半徑是（：

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&瓜2V2x/3八&

A.——BR.----rC.——D.——

3322

【例題2】(2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題)在綜合實(shí)踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可

以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，已知V48C,CA=CB,。。是VW8C的外接圓，點(diǎn)。在。O上(AD>BD),連接40、BD、

CD.

【特殊化感知】

(1)如圖1,若4c8=60。，點(diǎn)。在40延長線上，則與CO的數(shù)量關(guān)系為

【一般化探究】

(2)如圖2,若/月C3=6()。，點(diǎn)C、0在48同側(cè)，判斷力。-8。與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

【拓展性延伸】

(3)若NACB=a,直接寫出A。、BD、C。滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含。的式子表示)

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///不固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，V/也。內(nèi)接于。。，4c為。。的直徑，力。平分

4R*AC

NBAC交OO于D.則的值為（）

AD

A.41B.V3C.2&D.2舊

【鞏固練習(xí)2】如圖，在。O中AB=AC,點(diǎn)D是CM8上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與C、B重合）連接DA、

DB、DC,ZBAC=120°

（1）若AC=4,求。O的半徑；（2）探究DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明。

【鞏固練習(xí)3】在OO的內(nèi)接四邊形48CQ中，AB=6,AD=10,NBAD=60°,點(diǎn)C為弧80的中點(diǎn),

則4c的長是—.

C

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【鞏固練習(xí)4】（2024?山東濟(jì)寧?二模）【初步感知】

如圖1,點(diǎn)A,B,2均在。。上，若乙伙必=90。，則銳角//P8的大小為

【深入探究】

如圖2,小聰遇到這樣一個問題：。。是等邊三角形力8c的外接圓，點(diǎn)P在C?上（點(diǎn)P不與點(diǎn)4c

里合），連接巴4,PB,PC.求證：PB=PA+PCx小聰發(fā)現(xiàn)，延長R4至點(diǎn)使力E=PC,連

接BE,通過證明可推得APBE是等邊三角形，進(jìn)而得證.請根據(jù)小聰?shù)姆治鏊悸?/p>

完成證明過程.

【啟發(fā)應(yīng)用】

如圖3,。。是V/BC的外接圓，480=90。，"=8C,點(diǎn)P在。。上,且點(diǎn)P與點(diǎn)8在力C的兩

側(cè),連接P/,PB,PC,

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【題型5】圓與相似

【例題11（2（）24?四川資陽?中考真題）如圖，已知4E是。。的直徑，力。是的弦，點(diǎn)。在外,

延長。C,相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DFJ.4B于點(diǎn)F,交力C于點(diǎn)G,DG=DC.

⑴求證：DE是。。的切線；（2）若OO的半徑為6,點(diǎn)尸為線段04的中點(diǎn)，0￡=8,求。歹的長.

D

【例題2】（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，V48C內(nèi)接于。。，月8為。。的直徑，點(diǎn)。為。。上

一點(diǎn)，BC=BD,延長￡4至E,使得=

（1）求證：EQ是。。的切線；（2）若8O=4,tan/CA4=g,求EO的長.

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【例題3】（2024?重慶?中考真題）如圖，以48為直徑的。0與4C相切于點(diǎn)A,以力。為邊作平行

四邊形為CQE,點(diǎn)。、后均在0O上，。七與48交于點(diǎn)尸，連接CE,與。。交于點(diǎn)G,連接DG.若

力B=10,DE=8,貝|J4F=.DG=.

/“不固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（2024?四川眉山?中考真題）如圖，V48。內(nèi)接于。0,點(diǎn)。在48上，AD平分/B4C

交。。于。，連接80.若力，=10,BD=25則8c的長為.

【鞏固練習(xí)2】（2024?浙江?中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形力8C。中，AD<AC,NADC<NB4D,

延長力。至點(diǎn)E,使4E=4C,延長歷1至點(diǎn)E連結(jié)所，使4FE=4QC.

⑴若/"7?=60。，CQ為直徑，求力月8。的度數(shù).（2）求證：QEF〃B5②EF=BD.

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【鞏固練習(xí)3】(2024?四川成都?中考真題)如圖，在中，ZC=90°,?。為斜邊/傳上一點(diǎn),

以4力為直徑作。。，交AC于E,尸兩點(diǎn)，連接BE,BF,DF.

(1)求證：BCDF=BFCE；

(2)若//=NC8b,tan/BFC=亞，AF=，5求C尸的長和。。的直徑.

【鞏固練習(xí)4】(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，V48C是OO的內(nèi)接三角形，48是的直徑,

過點(diǎn)8作OO的切線與4c的延長線交于點(diǎn)。，點(diǎn)七在。。二，AC=CE,CE交4B于點(diǎn)、F.

(1)求證：NC/E=NO；(2)過點(diǎn)。作CG_L<8于點(diǎn)G,若0.4=3,8Q=3應(yīng)，求/G的長.

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【鞏固練習(xí)5】（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，V/8。內(nèi)接于OO,AB=AC=\Q,過點(diǎn)/作

AE//BC,交。。的直徑8。的延長線于點(diǎn)￡,連接。.

（1）求證：4￡是。。的切線；（2）若1211/月5￡：=；,求CO和OE的長.

【鞏固練習(xí)6】（2024?四川涼山?中考真題）如圖，是。O的直徑，點(diǎn)。在。。上，力。平分NA4C

交。。于點(diǎn)O,過點(diǎn)。的直線OE//C,交/C的延長線于點(diǎn)E,交18的延長線于點(diǎn)尸.

N

（1）求證：即是。。的切線；

（2）連接石。并延長，分別交OO于M,N兩點(diǎn)，交/。于點(diǎn)G,若。。的半徑為2,上產(chǎn)=30，求

GM?GN的值.

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【題型6】圓中的動點(diǎn)問題

【例題1】(2024?江蘇南通?中考真題)如圖，V"C中，AB=3,AC=4,BC=5,GM與耳。相切

于點(diǎn)D.

(1)求圖中陰影部分的面積；

(2)設(shè)04上有一動點(diǎn)尸，連接CP,BP.當(dāng)CP的長最大時，求8P的長.

【例題2】2024?山東日照?中考真題)如圖1,48為OO的直徑,48=12,C是OO上異于48的任

一點(diǎn)，連接力C8C,過點(diǎn)力作射線力。，/C,。為射線力。上一點(diǎn)，連接CO.

【特例感知】

(1)若BC=6.則4C=.

(2)若點(diǎn)在直線48同側(cè)，且求證：四邊形48co是平行四邊形;

【深入探究】

若在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，始終有tan/力QC=G，連接。。.

(3)如圖2,當(dāng)CO與。。相切時，求。。的長度：

(4)求O。長度的取值范圍.

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/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】(2024?四川德陽?中考真題)已知。。的半徑為5,B、。是OO上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A是。。

上一動點(diǎn)，且/切。=60。,/84。的平分線交。。于點(diǎn)。.

(I)證明：點(diǎn)、D為R上一定點(diǎn)、;

(2)過點(diǎn)D作BC的平行線交AB的延長線于點(diǎn)F.

①判斷。尸與的位置關(guān)系，并說明理由；

②若V45C為銳角三角形，求。尸的取值范圍.

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【鞏固練習(xí)2】(2024?云南昆明?一模)如圖，力反。是。。的兩條直徑，且4BLCD,點(diǎn)E是說上

一動點(diǎn)(不與點(diǎn)4，。重合)，連接。E并延長交的延長線于點(diǎn)E點(diǎn)。在上，且/1=/2,

連接力邑CE分別交OQ0A于點(diǎn)M,N,連接NC,設(shè)。。的半徑為10.

備用圖

(1)求證：PE是。。的切線:

(2)當(dāng)NZ)CE=15。時，求證：AM=2ME；

(3)在點(diǎn)￡的移動過程中，判斷CNCE是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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【鞏固練習(xí)3】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內(nèi)接四邊

形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.

AA

【初步應(yīng)用】（1）如圖1,四力形力4。。是圓美四邊形，是美角.

①//的度數(shù)為。;

②連接60,若的半徑為5,求線段的長；

【拓展提升】

（2）如圖2,已知四邊形力BCD是圓美四邊形，NB4D是美角,連接C力，若C4平分若。。

的半徑為6,求8C+CQ的最大值是多少？

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【鞏固練習(xí)4】(2024?江蘇泰州?二模)如圖，四邊形力8C。內(nèi)接于O。，4C,為的一條定直徑,

AE18。于點(diǎn)F.設(shè)AD=x,CD=y,/ADE=a.

備用圖

【初步認(rèn)識】

(1)①求證：AABEs^ACD；

S,1

②若'求sina的值.

【特值探究】

(2)若x=5,^=10,sina=1,求8。長；

【逆向思考】

(3)點(diǎn)。為O。上/C右側(cè)的任意一點(diǎn)，總有乂。十。。_08。成立，試判斷丫/夕。的形狀并說明

理由.

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【題型7】圓中的探究性問題

【例題1】（2024?山東淄博?中考真題）在綜合與實(shí)踐活動課匕小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí).

【操作發(fā)現(xiàn)】

小明作出了。。的內(nèi)接等腰三角形力8C,AB=AC.并在8。邊上任取一點(diǎn)。（不與點(diǎn)B,。重合）,

連接40,然后將△48。繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△力CE.如圖①

小明發(fā)現(xiàn)：與。。的位置關(guān)系是,請說明理由：

【實(shí)踐探究】

連接OE,與/C相交于點(diǎn)尸.如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)V/8C確定時，線段CF的長存在最大值.

請求出當(dāng)力4=3標(biāo).AC=6時，C戶長的最大值：

【問題解決】

在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)。分線段4C所成的比CQ:Z）8與點(diǎn)產(chǎn)分線段DE所成的比?。阂彩?/p>

終相等.請予以證明.

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///不固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1]（2024?山東濟(jì)寧?二模）【初步感知】

如圖1,點(diǎn)A,B,P均在上，若404=90。，則銳角乙仍？的大小為

【深入探究】

如圖2,小聰遇到這樣一個問題：是等邊三角形48c的外接圓，點(diǎn)夕在;^上（點(diǎn)P不與點(diǎn)4c

重合），連接尸/,PB,PC.求證：PB=PA+PC；小聰發(fā)現(xiàn)，延長夕力至點(diǎn)使我=PC,連

接跖，通過證明可推得△尸8E是等邊三角形，進(jìn)而得證.請根據(jù)小聰?shù)姆治鏊悸?/p>

完成證明過程.

【啟發(fā)應(yīng)用】

如圖3,是V/8C的外接圓，480=90。，4B=8C,點(diǎn)尸在OO上,且點(diǎn)尸與點(diǎn)〃在力C的兩

側(cè),連接PB,PC,

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)2]（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內(nèi)接四邊

形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.

AA

【初步應(yīng)用】（1）如圖1,四位形力4。。是圓美四邊形，/.4是美角.

①//的度數(shù)為。;

②連接60,若的半徑為5,求線段的長；

【拓展提升】

（2）如圖2,已知四邊形力BCD是圓美四邊形，NB4D是美角,連接C力，若C4平分若。。

的半徑為6,求8C+CQ的最大值是多少？

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)3】(2024?江蘇泰州?二模)如圖，四邊形力8C。內(nèi)接于O。，4C,為的一條定直徑,

AE18。于點(diǎn)F.設(shè)AD=x,CD=y,/ADE=a.

備用圖

【初步認(rèn)識】

(1)①求證：AABEs^ACD；

S,1

②若'求sina的值.

【特值探究】

(2)若x=5,^=10,sina=1,求8。長；

【逆向思考】

(3)點(diǎn)。為O。上/C右側(cè)的任意一點(diǎn)，總有乂。十。。_08。成立，試判斷丫/夕。的形狀并說明

理由.

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)4】（2024?山東濱州?模擬預(yù)測）【問題探究】

如圖1,。。為V月8C的外接圓，是直徑，AC=BC,點(diǎn)Z）是直徑左側(cè)的圓上一點(diǎn)，連接。4,

DB,DC,將zU。繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABCE,若CD=4,求四邊形4）8。的面積：

【問題解決】

如圖2,。。為等邊的外接圓，半徑為2,點(diǎn)〃在弧前上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,8重合）.連接〃4,

DB,DC.設(shè)線段QC的長為x,四邊形/1QAC的面積為S.求S與x的函數(shù)關(guān)系式，S是否有最大

值，若有，求出其最大值；若沒有，說明理由.

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【題型8】圓的綜合性問題

【例題1】(2024?貴州?中考真題)如圖，為半圓。的直徑，點(diǎn)廠在半圓上，點(diǎn)。在48的延長線

上，PC與半圓相切于點(diǎn)C,與。尸的延長線相交于點(diǎn)。，47與O/相交于點(diǎn)￡,DC=DE.

(1)寫出圖中一個與/QEC相筆的角：;(2)求證：OD上AB；

(3)若。i=2OE,DF-2,求PZ7的長.

D

【例題2](2024?四川廣安?模擬預(yù)測)如圖，四邊形48C0內(nèi)接于OQ48為。O的直徑，點(diǎn)。為然

的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線/交歷I的延長線于點(diǎn)M.交8c的延長線于點(diǎn)N,且NBMW=90。.

⑴求證：MM是。。的切線；(2)求證：AD'=ABCN;

(3)當(dāng)48=6,sinNOC4=1時，求4”的長.

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【例題3】(2024?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，△4C。內(nèi)接于O。，直徑48交CO于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作射線

DF,使得乙4。尸二N4CO,延長。C交過點(diǎn)8的切線于點(diǎn)E,連接8c.

(1)求證：力戶是。。的切線;

Q

(2)若CO=§CG,BE=3CE=3.

①求DE的長：②求OO的半徑.

【例題3】(2024?四川遂寧?中考真題)如圖，44是OO的直徑，力。是一條弦，點(diǎn)。是就的中點(diǎn),

DNA.AB于點(diǎn)、E,交力。于點(diǎn)尸，連結(jié)08交力C于點(diǎn)G.

W

(1)求證：AF=DF；

⑵延長G。至點(diǎn)M,使DW=OG,連接/MZ.

①求證：4v/是。。的切線；②若0。=6,DF=5,求。。的半徑.

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///不固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（2024?四川巴中?中考真題）如圖，V/仍C內(nèi)接于。。，點(diǎn)。為藍(lán)的中點(diǎn)，連接4）、BD,

BE平分NABC交4D于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF//BC交AC的延長線于點(diǎn)F.

（1）求證：。尸是。。的切線.（2）求證：BD=ED.⑶若DE=5,CF=4,求力8的長.

【鞏固練習(xí)2】（2024?四川雅安?中考真題）如圖，48是的直徑，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是

B4延長線上的一點(diǎn)，連接力C，NPCA=/B.

（1）求證：尸C是。。的切線；（2）若sin/8=；,求證：AC=AP；

（3）若81■力8于/J,產(chǎn)力=4,BD=6,求力。的長.

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【鞏固練習(xí)3】（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，。為的內(nèi)接三角形，為。。的直徑,

將△月8C沿直線翻折到△力￡。，點(diǎn)。在。。上.連接CD,交AB于點(diǎn)、E,延長8D,CA,兩線相交

于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作。。的切線交42于點(diǎn)G.

(1)求證：4G〃CO；(2)求證：PT=PG?PB;(3)若sinN4PD=；,PG=6.求tan4GB的值.

【鞏固練習(xí)4】（2024?廣西?中考真題）如圖，已知0。是V"C的外接圓，AB=AC.點(diǎn)、D,E分

別是8C,4C的中點(diǎn)，連接OE并延長至點(diǎn)凡使DE=EF,連接

（1）求證：四邊形力出力'是平行四邊形；（2）求證：加與O。相切；

3

（3）若tan/歷1。=一，5c1=12,求。。的半徑.

4

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)5】(2024?廣東中口?模擬預(yù)測)如圖，線段4B是。。的直徑，弦&)_L48于點(diǎn)〃，點(diǎn)M

是所)上任意一點(diǎn)，4H=2,CH=4.

(1)求。。的半徑，?的長度；(2)求sin/CMO

(3)直線8M交直線CQ于點(diǎn)E,直線MH交OO于點(diǎn)、N,連接8N交匿于點(diǎn)尸，求〃￡.〃廠的值

【鞏固練習(xí)6】(2024?廣東韶關(guān)?二模)如圖，為OO的直徑，。是圓上一點(diǎn)，。是正II勺中點(diǎn),

DELAB于煎F,延長歷1至點(diǎn)。，連接C。，VJCQ-VC50,

(1)求證：。。是。。的切線；

(2)若點(diǎn)P是冰￡上的一點(diǎn)，連接4P、CP,4c=6,BF=2.

①求tan/BPC的值；②若CQ為N4C8的角平分線，求C尸的長.

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【鞏固練習(xí)7】(2024?山東煙臺?中考真題)如圖，是OO的直徑，V//8C內(nèi)接于OO,點(diǎn)/為V/18C

的內(nèi)心，連接C/并延長交。于點(diǎn)。，￡是前上任意一點(diǎn)，連接力。，BD,BE,CE.

(1)若乙48c=25。，求NCEB的度數(shù)：

⑵找出圖中所有與。/相等的線段，并證明；

⑶若C7=2上，DI,求V/8C的周長.

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【題型9】圓中的定值問題

【例題1](23-24九年級下?浙江杭州?期中)如圖，已知48是OO的弦，點(diǎn)。、。是O。上的兩個點(diǎn),

AD交BC于點(diǎn)E,連結(jié)。8,ZAEC=NBAC.

(1)求證：點(diǎn)C是行的中點(diǎn).

Ar

(2)若4。=5,力。=7,48=8,求標(biāo)的值.

BC

(3)若乙48c=30。，則，、的值是否為定值?如果是，請求出其值；如果不是，請說明理由.

DB+AB

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【例題2](24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)》如圖，。。是等邊Vn8c的外接圓，尸點(diǎn)是O。劣

弧力8上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)力，B重合).

(1)求/力夕8的