第一章勾股定理知識歸納與題型突破（十一類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊。、6的平方和等于斜邊C的平方.（即：/+/=°2）

二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長4、b、C,滿足C『+〃=c2,那么這個三角形是直角三角形.

要點：應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為C；

（2）驗證：/+/與是否具有相等關(guān)系：

若/+b2=c2，則4ABC是以NC為90。的直角三角形；

若/+從〉《2時，4ABC是銳角三角形；

若/+從〈《2時，AABC是鈍角三角形.

2.勾股數(shù)

滿足不定方程f+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以x、歹、z

為三邊長的三角形一定是直角三角形.

要點：常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（么b、c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以々、從、a為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個數(shù)分別為a、b、c,且a<b<c,那么存在cJ=b+c成立.（例如④中存在7?=24+25、92=

404-41等）

三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直.角三角形有關(guān).

四、勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；

（3）解決與勾股定理有關(guān)的面枳計算；

（4）勾股定理在實際生活中的應(yīng)用.

03題型歸納

題型一用勾股定理解三角形

例題

1.若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8,則斜邊長是（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理計算即可■得出答案.

【解析】???一個直角三角形的兩直角邊長分別是6和8

斜邊長是y/61+82=10

故選：D.

【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

2.在直角△力8c中，Z5=9O°,48=3,AC=4,則8c的長為()

A.5B.ypC.5或近D.5或6

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理計算即可.

【解析】解：因為N8=90。，AB=3,AC=4,

所以8c二=J42-32=77,

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是熟記勾股定理，準確進行計算.

3.如圖，在RtZX/AC中，N/=90。，BC=2,則4c2+力1+8。2的值為()

【答案】A

【分析】利用勾股定理進行求解艮」可.

【解析】解：???44=90。,50=2,

???AC2+AB2+BC2=BC2+BC2=8；

故選A.

【點睛】本題考查勾股定理.熟練掌握直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,是解題的關(guān)鍵.

4.如圖所示，己知中，AB=6,4C=9,,4。18c于力，加為力。上任一點，則MC?-A/層等于

A

【答案】45

2

(分析］在RUBD和Rt“QC中;分別表示出BD和,在RlBDM和RtACDM中，表示出“夕和MC?,

代人求解即可；

【解析】解：???力。工8。于。，

/ADB=NADC=90°,

在Rt△力8。和Rt△力。。中，

BD?=AB，-AD°，CD2=AC2-AD2,

在RLBDM和RtZXCDW中，

MB?=BD2+MD2=AB2-AD2+MD?

MC2=CD2+MN=AC2-AD2+MD2

/.MC2-MB2=(AC2-AD2+MD1)-(/1￡?2-AD2+MD2),

=AC2-AB2>

=45.

故答案為：45.

【點睛】本題主要考杳了勾股定理的應(yīng)用，準確分析計算是解題的關(guān)鍵.

題型二勾股定理逆定理勾股數(shù)

例題

5.下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是()

A.5,12,14B.6,8,9C.7,24,25D.8,13,15

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項驗證即可得到答案.

【解析】A、52+122^14\不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；

B、62+82^92,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；

c、72+242=252,能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；

D、82+132^152,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意：

故選:C.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理計算三角形兩邊的平方和是否等于第三邊的

平方是解決問題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

6.由下列條件不能判定△/8C為直角三角形的是()

A.Z.A+ZC=Z.BB.a=-,b=—,c=—

345

C.(b+a)(b-a)=c2D./4:/B:NC=5:3:2

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180。及4+NC=NB即可判斷A,根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷B,根據(jù)平方

差公式及勾股定理逆定理即可判斷C,根據(jù)三角形內(nèi)角和180。及:NB:NC=5:3:2即可得到答案.

【解析】解：???/力+/4+/。=180°,NA+ZC=ZB,

:.25=90°,

???為直角三角形，故A不符合題意；

,.,少+小工作，

???不能判定三角形為直角三角形，故B符合題意；

,/(b+a)(b-a)=b2-a2=c2,

???為直角三角形，故C符合題意：

VZ^+Z5+ZC=180°,N/f:N8:NC=5:3:2,

???/%=90。，

???』BC為直角三角形，故D符合題意，

故選B.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系.

7.在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是()

A.0.3,0.4,0.5B.3,4,5

C.2,8,10D.1,立,75

【答案】B

【分析】利用勾股數(shù)的定義進行分析即可.

【解析】解：A.0.3,0.4,0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意;

B.?.?32+42=5"

??.3、4、5是勾股數(shù)，符合題意:

C.22+82*102,

.-.2,8,10不是勾股數(shù)，不符合題意；

D.f+（&）2=（6）2,五,行均不是整數(shù)，

:.1,V2.6不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）.

A.1,2,3B.瓜2而C.亞幣忐1D.9,12,15

【答案】D

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊

的平方.

【解析】解：A、1422燈2,不能陶成直角三角形，故不符合題意；

B、22+（G）￥（J訪）2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意：

C、（石）2+（6）2=（疝）2,能構(gòu)成立角三角形，但不是整數(shù)、故不符合題意；

D、92+122=152,能構(gòu)成直角三角形且是整數(shù)，是勾股數(shù)，故符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理，已知△力8c的三邊滿足。2+浜=。2,則△NBC是

直角三角形.

題型三勾股定理及其逆定理解三角形解答題

例題

9.（1）如圖，在△力4。中，AD1BC,求證：AR2-AC2=RD--CD2Z

（2）在△力8c中，，48=8,力。=5,8c邊上的高力。=4,求邊8C的值.

【答案】（1）見解析；（2）4V3-3

【分析?】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理證明即可：

(2)利用勾股定理求解即可.

【解析】解：(1)在Rt△力8中，根據(jù)勾股定理得：

AB=BD?=AD)，AC2-CD2=AD2>

.,.AB2-BD2=AC2-CD2.

AAB2-AC2=BD2-CD2：

(2)在Rs/BO,Rt“CD中,根據(jù)勾股定理得:

BD=ylAB2-AD2=782-42=M，

DC=yjAB2-AD2=>/52-42=3?

???BC=BD+DC=423.

鞏固訓(xùn)練

10.如圖，已知等腰”3。的底邊8c=25cm,0是腰力4上一點，連接CD,且CZ)=24cm,BD=7cm.

(1)求證：△8QC是直角三角形;

(2)求的長.

【答案】(1)見解析

【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可得到答案；

⑵設(shè)N5=xcm,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得45=4C=xcm,在直角三角形△4OC中，由勾股定理可

得/=(X-7『+242,解方程即可得到答案.

【解析】(1)證明：?.?8C=25cm,CD=24cm,BD=7cm.

/.BC2=252=625，BD2+CD2=72+242=49+576=625,

即BC2=BD2+CD2

為直角三角形：

(2)解：設(shè)48=xcm,

???△48C是等腰三角形，

AB=AC=xcm.

???△40。為直角三角形，

.?.△.4。。為直角三角形，

AAD-+CD2=AC2,

即x2=(A--7)2+242,

解得：x=等，

14

故45的長為：等cm.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握勾股定理的逆定理.

11.如圖，已知在中，CDLAB于點、D,4c=20,8c=15,。8=9,

(1)求。C、的長；

(2)求證：“8。是直角三角形.

【答案】(1)44=25,CD=12

⑵見解析

【分析】(1)在RaSCO中，利用勾股定理求得。。的長，然后在中，再利用勾股定理求得力。的

長，根據(jù)44=40+04即可求解：

(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷.

【解析】(1)解：???在Ra8C￡>中，BC=\5,BD=9,

/.CD=>JBC2-CD2=V152-92=12，

在Rta4OC中，AC=20,CD=12,

/.AD=Lc2-CD，=V202-122=16.

/.AB=AD+DB=[6+9=25.

(2)證明：vAB=25,AC=20,BC=\5,

AB1=252=625，AC2+BC1=202+152=625,

/.AB1=AC2+BC2,

是直角三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理的內(nèi)容是關(guān)鍵.

12.已知在Rt/8C中，4cB=90°,AC=9,力4=15,BD=5,過點。作_L48于點以.

⑴求C。的長；

⑵求DH的長.

【答案】(1)7

(2)3

【分析】本題考查了勾股定理；

(1)Rt△力中，由勾股定理得8C=12,進而根據(jù)。。=。8-8。，即可求解；

(2)根據(jù)等面積法，即可求解.

【解析】(1)解：?.,N/C8=90°,AC=9,48=15,

.?.Rt△45c中，由勾股定理得：BC=dAB。-AC?=而匚丁=12,

:.CD=CB-BD=\2-5=7.

(2)?/DHLAB,

:,S^DB=gABDH=；BDAC,

乙乙

/.-xl5D//=-x5x9,

22

二.OH=3.

題型四勾股定理逆定理拓展性質(zhì)

例題

13.下列由三條線段〃、b、C構(gòu)成的三角形：&a=2mn,b=m2-n2,c=m2+n2(m>n>0),②

22

q=2〃+l,h=2n+2/7+1?c=2n+2n(n>0)t③a=3k,)=4),c=5k(k>0),④

G：〃:五=1:6:2,其中能構(gòu)成直角三角形的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，

將題目中的各題一一做出判斷即可.

【解析】解：①:)+(2小〃)一=m4+?/4-2nrn:+4nr>f=m4+n4+2m'n'=(〃/+n')',

工能成為直角三角形的三邊長；

②;(2w)2+(2/r+2/?)：=(2/?+2?+!!:,

工能成為直角三角形的三邊長；

③伴)+(4%)=(5%『,

，能成為直角三角形的三邊長；

④+(")=1+3=4=(W),Hi.a+h=c,

??a,b,c不構(gòu)成三角形

???能構(gòu)成直角三角形的有3組，

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方.

鞏固訓(xùn)練

14.以下四組代數(shù)式作為“8C的三邊：①3〃,4〃,5〃(〃為正整數(shù))；②小〃+1,〃+2(〃為正整數(shù));③

“2-1,2〃，3+1(〃22,〃為正整數(shù))；④/-〃2,2〃?〃，〃5+〃2(〃〉〃，小，〃為正整數(shù)).其中能使下BC

為直角三角形的有()

A.0組B.1組C.2組D.3組

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行計算判斷即可.

【解析】解：①中(3〃)2+(4〃)2=25/=(5〃)2,能構(gòu)成直角三角形,故符合要求；

②中，〃2+(〃+1)2=2/+2〃+1。/+4〃+4=(〃+2)2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合要求；

③中(〃2一1)2+(2〃)2=/+2〃2+1=(1+1)2,能構(gòu)成直角三角形,故符合要求；

④中(，/-“2)2+(2〃加2=m4+2m：M2+M4=(m-+?2)2,能構(gòu)成直角三角形,故符合要求.

???能使ABC為直角三角形的有3組，

故選:D.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式.解題的關(guān)鍵在于正確的運算.

15.下列命題①如果。、b、。為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3,4,

那么斜邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、7,那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角

三角形的三邊。、b、c,（a>b=C），那么其中正確的是（）

A.①②B.C.①④D.②④

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)，依次分析①②③④，選出正確的命題的序號，即可得到

答案.

【解析】解：①如果。、氏C為一組勾股數(shù)，則設(shè)〃2+〃2=。2,

貝ij（4a『+（時-16a2+16〃-16（L）-16c2-（4c）2,

??.4a、4枚4c仍是勾股數(shù)，故①正確，符合題意；

②如果直角三角形的兩邊是3,4,則另?邊的長可能為"二歲=",且符合三角形的兩邊之和大于第三

邊，故②錯誤，不符合題意；

@vl22+72=144+49=193^252.

??.③錯誤，不符合題意；

④一個等腰直角三角形的三邊。、氏C，（Q>6=C），

222

Q?=b+c=b~+b=2bd,

即。2：/：。2=2：1：1,

故④正確，符合題意：

故選：C.

【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)利直角三角形的性質(zhì)，正確掌握勾股數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)是解題

的美鍵.

題型五勾股定理與數(shù)軸上的實數(shù)

例題

16.如圖，在數(shù)軸上點力表示的實數(shù)是（）

A.y/1B.aC.囪D.M

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理求得04=J歷，進而即可求解.

【解析】解：如圖所示，

,展V二如，尸

-1012C3；4

:0C=\BC=\

,**0A=OB=>/32+1=\/?0，

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，熱練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

17.如圖，OA=OB,

B

./X」一

-2-10123x

（1）寫出數(shù)軸上點力表示的數(shù)；

⑵比較點力表示的數(shù)與-L5的大??；

（3）在數(shù)軸上作出逐所對應(yīng)的點.

【答案】（1）-五?

⑵-應(yīng)>-1.5

（3）見解析

【分析】（1）04是直角邊長為I的等腰百角三角形的斜邊長，因。力=。4,根據(jù)勾股定理即可求得。力的

長度，再考慮點力位于原點的左側(cè)，為負數(shù)，即可得解.

（2）先比較兩數(shù)的絕對值的平方直大小，然后再比較兩數(shù)的大小，考慮到絕對值越大的負數(shù)，實際值越小,

即可得出結(jié)果.

（3）構(gòu)造直角邊長為I、2的直角三角形，其斜邊長即為則問題得解.

【解析】(1)由勾股定理得:

OA=OB=Jr+1~=近?

因點力位于原點的左側(cè)，

，點力表示的數(shù)是-五.

(2),??(何=2,I.52=2.25

(72)2<1.52

A-V2>-1,5

<3)如下圖在0?2區(qū)間的上方作一個直角邊長分別為1、2的直角△0C”,

由勾股定理得：OC=dOH?+CH2=正+尸

以。為圓心，0C長為半徑畫弧，交X軸的正半軸于點D

：.0D=0C=y[5.

故點Q就是數(shù)軸上作出的逐所對應(yīng)的點.

【點睛】本題為考查勾股定理、數(shù)軸和尺規(guī)作圖綜合題，體現(xiàn)了?'數(shù)形結(jié)合”的思想，解題的關(guān)鍵構(gòu)造恰當(dāng)?shù)?/p>

直角三角形.

18.如圖，在數(shù)軸上以1個單位長度畫一個正方形，以原點為圓心，以正方形的對角線長為半徑畫弧，與

正半軸的交點為4,且點8表示的是一個無理數(shù)，因此我們得出一個結(jié)論.

(1)點8表示的數(shù)為；得出的結(jié)論是：與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.

(2)若將圖中數(shù)軸上標的4G。各點與所給的三個實數(shù)逐，3和一"對應(yīng)起來,則點力表示的實數(shù)為

點C表示的實數(shù)為，點。表示的實數(shù)為—

【答案】(1)五,實數(shù)

(2)-彳，B3

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得對角線的長度，即可求解：

（2）判斷出三個數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)合兒C,。的位置即可求解.

【解析】（1）解:應(yīng)用勾股定理得，止方形的對角線的長度為：

為圓的半徑，則=所以數(shù)釉上的點4表示的數(shù)為：歷、它是無理數(shù).

得出的結(jié)論是實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的；

故答案為：6,實數(shù)；

（2）解：根據(jù)數(shù)軸可得4表示負數(shù)，。和。表示正數(shù)，且。表示的數(shù)大于C表示的數(shù),

???/表示-萬，C表示的數(shù)是石，力表示的數(shù)是3.

故答案為：-不，垂,,3.

【點睛】此題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熱練掌握勾股定理以及數(shù)軸與實數(shù)的有關(guān)知識.

題型六網(wǎng)格問題

例題

19.如圖，A8C的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BDLAC于點、D,則的長為

)

2遙B?乎R4A/5

A.V-/?------

~5~5

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出“8。的面積，根據(jù)勾股定理求出彳C,根據(jù)三角形的面積公式

計算即可.

△4BC的面積=—x8Cx/i￡=2,

2

由勾股定理得，Ac=《in,

則上68。=2,

解得80=生叵，

5

故選：C.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等

于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

20.如圖，在以下四個正方形網(wǎng)格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（）

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可.

【解析】解：A、三邊長分別為石，府,VT7,?。╞）2+（屈），|赤『，

???不是直角三角形，故本選項符合題意；

B、三邊長分別為百,26,5,?.?（石『+（2石『=5。

???是直角三角形，故本選項不符合題意；

C、三邊長分別為2712V14,???（2&）2+（2五『=42,

???是直角三角形，故本選項不符合題意；

D、三邊長分別為JE,J記,2石，v（Vio）2+（Vio）2=（2^）2,

???是直角三角形，故本選項不符合題意.

故選A.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長”，b,c滿足/+〃=,2,那么這個三角形

就是直角三角形是解題關(guān)鍵.

21.如圖所示，在4x4的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.NC84=60。B.48=5C.ZJC5=90°D.BC=>/5

【答案】A

【分析】利用勾股定理求出三邊長，再依據(jù)勾股定理逆定理判斷出NNC8=90。即可.得出答案.

【解析】解：由勾股定理可得：48=斤了=5，

AC=j22+4?=2石，

BC=>Jl2+22=V5?

VAC2+5C2=(2X/5)2+(V5)2=25,AB2=5?=25,

工AC2+BC2=AB2,

???N4C8=90。，故B、C、D都正確，不符合題意，

VAB=5,BC=5

JABHIBC,

???加CH30°,

???乙48cH60。，故A錯誤，符合題意.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了勾股定理和其逆定理，運用勾股定理求出三邊長，是解題的關(guān)鍵.

題型七以直角三角形三邊為邊長的面積問題

例題

22.如圖，圖中的三角形為直角三角形，已知止方形力和止方形8的面枳分別為25和9,則止方形C的面

【答案】34

【分析】根據(jù)題意，得出NEQ尸=90。，再根據(jù)勾股定理，得出Z）爐+。尸=￡■尸，再結(jié)合正方形的面積,

得出EF2=。爐+。尸=34,進而即可得出正方形C的面枳.

【解析】解：如圖，

由題意得NEOE=90。，

:?DE?+DF?=EF^，

???四邊形都是正方形，

?*S正邊物=DE2,S正邊形&=DF2,S正這形°=EF?,

???正方形力、8的面積分別為25和9,

/.DE1=25,。尸2=9,

，獷=。6+。尸=34,

???正方形C的面積為：34.

故答案為：34.

【點睛】本題考查了勾股定理的幾何應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

23.如圖，E、工、S3分別是以RtZUAC的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中￡=10乃，其=6不，則

【答案】45

【分析】先分別算出H、凡、S3的面積，然后根據(jù)勾股定理即可解答.

4B、BC'

【解析】解：???￡=%=—TTAC2>S?=）—兀AB,,S、=九=-7rBC2

444

???邑+S3=；乃力力+；7rBe2=；笈（力加+8C2）

VAB2+BC2=AC2

?；$=10乃，S2=6TT,

S3=4乃

故答案為4%.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的內(nèi)容是直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊

的平方.

24.如圖，五個正方形放在直線MN上，正方形力、C、F的面積依次為3、5、4,則正方形仄。的面積

之和為（）

A.11B.14C.17D.20

【答案】C

222

【分析】如圖：由題意可得NABC=Z.ACE=NCDE=90°,S4=AB=3,SC=DE=5,SB=ACAC=CE,

再根據(jù)全等三角形和勾股定理可得品=Sc+B,=5+3=8,同理可得%=SC+SE=5+4=9,最后求正方形

B、。的面積之和即可.

【解析】解：如圖：

222

由題意可得：/力BC=ZACE="DE=9（尸，3.4=AH=3,5C=DE=5,羽=AC,AC=CE

:.2BAC+NACB=90°,ZDC￡+AACB=90°,

???/BAC=NDCE,

:./BCdCDE、

/.DE=BC,

VZABC=90°,

222

AC=BC+ABt

:.4。2=。爐+/爐，即％=Sc+S4=5+3=8,

同理：S0=SC+SE=5+4=9；

/.+S5=8+9=17.

故選C.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)各正方形之間的面積

關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形力、

B、C、。的邊長分別是3、4、1、3,則最大的正方形上的面積是（)

A.11B.47C.26D.35

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出凡G的面積，再根據(jù)勾股定理計算出七的面積即可.

【解析】解：如圖，

由勾股定理得，正方形戶的面積=正方形力的面積+正方形5的面積=32+42=25,

同理，正方形G的面積=正方形C的面積十正方形。的面積=『+3?=10,

???正方形E的面積=正方形/的面積+正方形G的面枳=25+10=35,

故選:D.

【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為。，那么

a2^b2=c2.

26.如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角

形，然后再以其直角邊為邊，分別向外正方形②和DZ…，依次類推，若正方形①的面積為64,則正方形⑤

的面積為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是64,則第二個正方形的面積是32,…，進而可找出規(guī)律得出

第〃個正方形的面積，即可得出結(jié)果.

【解析】解：第一個正方形的面積是64；

設(shè)第一個等腰直角三角形的直角邊長為看由勾股定理可得：

:.x2+x2=64,

解得：/=32,

，第二個正方形的面積是32=64x1；

同理：第三個正方形的面積是16=64X（'Y；

第〃個正方形的面積是64x（；）64

當(dāng)尸=5時，正方形的面積為產(chǎn)"=布=4,

,正方形⑤的面積是4,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理.解題的關(guān)鍵是找出第〃個正方形

的面積.

題型八求線段的平方和或差

例題

27.已知mb,c是中/4/B,/C的對邊，下列說法正確的有（）個

①若ZC=90°,則a2+b2=c2;②若Z.B-90°,則a24-c2=b2;③若ZJ=90°，則h2+c2=a2；④總有a2+b2=c2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理逐一判斷即可求解.

【解析】解：:。，b,c是中N4,NB,NC的對邊，

.?.若NC=90。，則/+/=/；

若/8=90。，則/+C、2=62；

若4=90。，貝州+/=/；

故①@③正確；

只有當(dāng)NC=90°時才有/+〃=c?,

故④錯誤，

故選:C.

【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

28.在RtZ\/18。中，斜邊8c=2,則力爐+4C?+4。？的值為（）

A.4B.6C.8D.無法計算

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理可知8灰=48?+/。2,進而可知482+更2+8。2=8。2+叱2.

【解析】解：???在中，斜邊為8C,

:.BC2=AB2+AC2,

???BC=2,

：-4=AB2+AC2,

/.AB，+/C?+對=對+對=4+4=&,

故選C.

【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

/8/C=90。，點4向上平移后到"，得到“BC.下面說法錯誤的是()

A.△48c的內(nèi)角和仍為180。B.如'C<NB4cC.AB2+AC2=BC2

D.AB1+A'C2<BC2

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理以及平移的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解析】解：A、△C8C的內(nèi)角和仍為180。正確，故本選項正確，不合題意；

B、VZBA'C<900,/8心9()。,

???N34C<NR4C正確，故本選項正確，不合題意；

C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2,故本選項正確，不合題意；

D、應(yīng)為A，B2+A(2>BC2,故本選項錯誤，符合題意.

故選:D.

【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，以及平移，熟記定理并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

30.如圖，在“BC中，AB>AC,4"J_8C于，，歷為力，上異于力的一點，比較為8-月。與“8-"C

的大小，MOAR-AC()MB-MC.

A.大于B.等于C.小于D.大小關(guān)系不確定

【答案】C

222222

【分析】由題意得，AB=AH^-BH,AC=AH+HC,則力爐TC2=8〃2_〃c2,同理有M?2-MC2=

B印-HC2,則/中―力。2=加爐-MC2.再根據(jù)平方差公式即可求解.

【解析】解：??"〃_L4C,有/?=4〃2+8〃2,2=近+叱,

:.AB2-AC2=BH2-HC2,

乂7MH1BC,同理有MB2-MC2=BH2-HC2,

：,AB2-AC2=MB2-MC2,

即（力4+力。）（AB-AC）=（MB+MC）CW8—A/C）,

又?：M點在△/也。內(nèi)，??F4+/OM8+A/C,

則,4〃一/lCVM8-MC.

故選C.

【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理及平方差公式的應(yīng)用.

題型九勾股定理的證明方法

例題

31.我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

b

【答案】D

【分析】根據(jù)等面積法證明即可.

【解析】解：A.:"+!。2+!/,=!9+與（4+與，...整理得：a2+b2=c2f即能證明勾股定理，故本選

2222

項不符合題意；

B.4x；"+c2=g+32,...整理得：/+〃=/,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；

C???2x；岫+卜2=；5+39+5）,.?.整理得：/+〃=/,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意：

D.根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故選D.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

32.我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家

趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種

方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推

論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想

C.分類思想D.方程思想

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【解析】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

是數(shù)形結(jié)合思想，

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思

想為數(shù)形結(jié)合思想.

33.勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重

要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青

朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（）

【答案】A

【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解.

【解析】解：

趙爽弦圖，是4個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大正方形，直角三角形中較長的直角邊為

b,較短的直角邊為。，中間小正方形的邊長為伍

??.A選項，是趙爽弦圖，符合題意；

B選項，不是趙爽弦圖，不符合題意;

C選項，不是趙爽弦圖，不符合題意;

D選項，不是趙爽弦圖，不符合題意;

故選：A.

【點睛】本題主要考查對趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解

題的關(guān)鍵.

34.如圖，在四邊形力以九中，AB〃DE,AH1BD,點C是邊％。上一點，BC=DE=a,

CD=AB=b,AC=CE=c.下列結(jié)論：①△COE；②4?_L6F：③四邊形力8。七的面積是

22

#十岫+#;@l（a+/?）-lc=2xl^;⑤/+32=不.其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A

b

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定S4S可判斷①正確：再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平角定義可判斷②正確;

根據(jù)梯形的面積公式可判斷③正確；根據(jù)S四邊形械）E-S“CE=S“必+S,°E可判斷④錯誤，⑤正確，綜合即可

作出選擇.

【解析】解：AB〃DE,AB1BD,

：.DE1BD,

:.Z5=ZD=90°,

乂?：BC=DE,CD=AB,

AAABC^CDE(SAS),故①正確;

???^BAC=ZDCE,

NB力C+乙4cB=90。，

，ZDCE+ZACB=90°,則4c￡=90。,

：.PCLCE,故②正確；

VAB//DE,ABA.BD,BC=DE=a,CD=AB=b、

???四邊形力反必的面積是;(。+6)(〃+6)=:/+砧+|〃，故③正確;

乙乙乙

?.?4ABegACDE,

??SAABC=S^CDE'

$四邊形T8QE-S“CE=S,ABC+SKDE~2s“加、，

-a~+ab+—b2--c~=2x—ab,UP-(a2+b2)+ab--c2=2x-ab,

22222V722

???/+〃”2,故④錯誤，⑤正確，

綜上，正確的結(jié)論有4個,

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理的證明、平行線的性質(zhì)、完全平方公式、梯

形和三角形的面積等知識，證明三角形全等以及發(fā)現(xiàn)圖形中的邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

題型十勾股定理的應(yīng)用

例題

35.如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，斷落的木桿與地面形成45。角，則木

桿原來的長度是（）

A.8米B.（8+8萬）米C.16米D.24米

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知該木桿折斷后與地面形成一個等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出結(jié)果.

【解析】如圖，根據(jù)題意可知』8c為等腰直角三角形，且8c=8米，乙4cB=45。.

???,伍=8米.

???在RI△力6c中，AC=\lAB?+BC?=j8?+82=8加米.

故木桿原來的長度為NA+AC=(8+8/)米.

故選:B.

【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用.根據(jù)題意判斷出木桿折斷后與地面形成的三角形是等腰直角三角

形是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

36.如圖，AC1BC,一架云梯,43長為25米，頂端力靠在墻/C上，此時云梯底端4與墻角C距離為7

米，云梯滑動后停在QE的位置上，測得力E長為4米，則云梯底端4在水平方向滑動的距離BQ為()

AI

石卜

CBD

A.4米B.6米C.8米D.10米

【答案】C

【分析】由題意知，AB=DE=25米,。8=7米，則在直角△力8c中，根據(jù)力4,8c可以求力C,在直角△CQE

中，可以求“，則%艮」為題目要求的距離.

【解析】解：在直角2MBe中，匕知4?=25米，8c=7米，

AC=《AB'BC?=425?-72=24米，

在直角△<?￡>￡中，己知力C=C￡+%=24米，?！?46=25米，4E=4米，

.\CE=AC-AE=20米，

;.CD=jDE2-CE?=J25-20?=15米,

8。=15-7=8米

故云梯底端4在水平方向滑動了8米，

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，本題中在直角。臺。中和直角中分別運用勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

37.如圖所示是一個圓柱形飲料罐底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的

直吸管在罐內(nèi)部分。的長度x（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）范圍是（）

A.12WxW13B.124x415C.5<x<12D.5<x<l3

【答案】A

【分析】由題意得當(dāng)吸管與底面圓垂直時，吸管在罐內(nèi)部分。的長度x為最小，即為12,當(dāng)吸管與底面圓

的一端重合時，吸管在罐內(nèi)部分。的長度”為最大，根據(jù)勾股定理可進行求解.

【解析】解：由題意得：

當(dāng)吸管與底面圓垂直時，吸管在罐內(nèi)部分〃的長度x為最小，即為12,

當(dāng)吸管與底面圓的一端重合時，吸管在罐內(nèi)部分a的長度》為最大，如圖所示：

AAB=5yAC=\2t

???在心△力8c中，BC=>/AB2+AC2=13,

??.吸管在罐內(nèi)部分。的長度人的范圍是12WxW13,

故選A.

【點睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

38.如圖所示，力是長方形地面，長48=20,寬中間整有一堵磚墻高MN=2,一只螞蟻從

力點爬到。點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）

A.20B.24C.25D.26

【答案】D

【分析】將題中圖案展開后，連接4C,利用勾股定理可得/1C長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長

度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求.

【解析】解：展開如圖得新矩形，連接力C，則其長度至少增加2MM寬度不變，由此可得：

48=20+4=24,JD=10

根據(jù)勾股定理有：AC=y]AB2+BC2=A/242+102=>/676=26

故選O.

【點睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平

面展開圖.

39.某會展中心在會展期間準備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你

幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元.

D2mA

【答案】1020

【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即48與8c的和，在直角中，根據(jù)勾股定理

即可求得45的長，地毯的長與寬和積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解.

【解析】解：由勾股定理得：AB=y/AC2-BC2=Vl?T?=12in?

則地毯總長為12+5=17m,

則地毯的總面積為17x2=34m,

鋪完這個樓道至少需要34x30=1020(元).

故填：1020.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關(guān)鍵.

40.在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點C與公路上的?？空続的距

離為300米，與公路上另一?？空?的距離為400米，且。_LC8,如圖，為了安全起見，爆破點。周圍

25()米范圍內(nèi)不得進入，問在進行爆破時，公路46段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說

明.

【答案】有危險，需要暫時封鎖；理由見解析.

【分析】本題需要判斷點C到的距離是否小于250米，如果小于則有危險，大于則沒有危險.因此過C

作CO_L于D,然后根據(jù)勾股定理在R&BC中即可求出AB的長度，然后利用三角形的面積公式即可

求出CD,然后和250米比較大小即可判斷需要暫時封鎖.

【解析】解：有危險，需要暫時封鎖.

理由：如圖，過C作CO148于D,

BDA

乙甲

?.?8C=400米，/C=300米，CA1CB,

C

???在RtZX/18。中，/B=,40()2+30()2=500米，

-：-ABCD=-BCAC,

22

???。。=240米.

240<250,

???有危險，44段公路需要暫時封鎖.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)求出C。的長.

41.某條道路限速80km/h,如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速

檢測儀彳處的正前方30m的C處，過了2s,小汽車到達8處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為

50in.

小汽車小汽車

BO;-----------QC

、、?

、、

、、?

*?、??

、、?

-------------^―

檢測儀

⑴求BC的長；

(2)這輛小汽車超速了嗎？

【答案】(l)40m

(2)沒有超速.

【分析】(1)中，有斜力力6的長，有直角邊/C的長，那么根據(jù)勾股定理即可求出4C的長；

(2)根據(jù)小汽車用2s行駛的路程為BC,那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了.

【解析】(1)解：在Rt△48c中，/1C=30m,/8=50m；

據(jù)勾股定理可得：

BC=QAB2_AC2

=V502-30-