立體幾何：線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一線面平行的判定

1.（24?25高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，在多面體力8CO0P中，底面四邊形/AC。為等腰梯形，AD||BC,

ZJ5C=60°,△48為正三角形，四邊形力QOP為直角梯形，/ADQ=/DQP=90°,AB=AD=2fE＞為平面

力DQP上的點(diǎn).

（I）當(dāng)點(diǎn)E在直線力。上時(shí)，求線段4E的長度，使得CEII平面2/8；

⑵若CEII平面48,求線段CE的最小值.

【答案】⑴4

⑵6

【詳解】（1）因?yàn)镃EII平面C￡u平面Z8C。，平面/IBC。。平面產(chǎn)44=力5,

所以CEI"B.

又因?yàn)樗倪呅?8。。為等腰梯形，ADIIBC,

所以四邊形力8CE為平行四邊形，因比力E=8C.

在AC上找一點(diǎn)尸，使得dA=8〃=2.

因?yàn)?48”=60。，所以Zi/B尸為等邊三角形，

因此/"'8=60°,

又因?yàn)樵诘妊菪蝂8CO中，/DCB=/ABC=600,所以乙1戶8=/。。8.

所以片尸WCD.

又因?yàn)榱il叱，所以四邊形力尸8為平行四邊形，

因此/C=/O=2,所以4E=4C=B"+/C=4.

（2）過點(diǎn)C作Cg||力8交力。的延長線于點(diǎn)4,過點(diǎn)用作與4||尸/,交也的延長線于點(diǎn)馬，

???CgIIP4,4u平面4B,平面48,??.C&ll平面尸48,

同理均項(xiàng)II平面尸相，

又因?yàn)椤?n&區(qū)=El,CEl,ElE2u平面。居房，

所以平面C耳GII平面P/3.

直線與4上任意一點(diǎn)記為七，則CEu平面C&/，所以。臼I平面尸4?.

所以線段CE的最小值為點(diǎn)C到E,E2的距離，即公CE\E?中以C為頂點(diǎn)的高.

因?yàn)镻&IINOIIBC,所以四邊形￡芻24,四邊形48cg為平行四邊形，

所以P&=AE1=BC,PBCE2為平行四邊形，

所以△(7&￡12g△尸48,

所以是以2為邊長的等邊三角形，則高為G，

因此線段CE的最小值為G.

2.(24-25高一下?河北?期末)如圖，直三棱柱N3C-4用G中，46=8C=84=2,/1C=2&,N為線段48的中點(diǎn).

(1)證明：4CJ/平面，CN；

(2)平面4CW將三棱柱分成兩部分，求這大小兩部分體積的比值.

【答案】(1)證明見解析

(2)5

【詳解】(1)如圖:

連接8G交8c于點(diǎn)。，連接。N,

則。為的中點(diǎn)，又N為線段48的中點(diǎn)，則4c1〃0N,

因?yàn)锳C.U平面BgNQNu平面B、CN,

所以直線力G//平面4CN.

（2）由題知/夕2+〃。2=力。2,所以力B_L5C,

所以三棱柱的體積V=；X22X2=4.

112

三棱錐4-8CN的體積匕=、X5xlx2x2=w，

所以多面體44G-HCN的體積匕=4一：2=藍(lán)10.

所以￡=5.

3.（24-25高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐尸的底面為菱形，平面R4C_L底面”8CQ.

PM

⑵若石為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，在側(cè)棱心上是否存在點(diǎn)歷，使得跖1//平面M4C?若存在，求出丁的值；若不存

在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在,2

【詳解】（1）由已知得48co為菱形，所以8O14C,

因?yàn)槠矫媸1平面力BCQ,平面P/lCn平面彳8CQ=4C,BOu平面48。。，

所以501平面P4C,

又尸CU平面PAC，所以BDLPC.

(2)如圖，記力Cn8O=O,顯然。為4。的中點(diǎn).

取側(cè)棱。。上的點(diǎn)M,使得平面M4C,

連結(jié)交MC于點(diǎn)F,連結(jié)。/，

則OF"BE,從而尸是OE的中點(diǎn).

—1—

因?yàn)镋為尸C的中點(diǎn)，所以PE=］尸C.

設(shè)歷二見而，

—1——1——11——

則尸尸=—PO+—PE=—/IPW+—PC.

2224

因?yàn)椤?，廠,C三點(diǎn)共線，

113

所以］2+;=1,解得％=；.

242

—3——PM

所以尸。二三產(chǎn)M,故次=2.

2MD

PM

又當(dāng)r=2時(shí)，確有尸是OE的中點(diǎn)，

MD

從而OF"BE,故8E//平面M4C.

所以在惻棱P。上存在點(diǎn)M,使得8￡〃平面M4C,

此時(shí)愛=2.

4.(24-25高一下?河南駐馬店?階段練習(xí))如圖所示，在這個(gè)正方體中，棱長為2,E、尸分別為所在棱的中點(diǎn)，點(diǎn)

G在棱BB'上,且滿足8'G=a8'8.

(1)若4=0.5,求證：EG”平面。NC：

（2）若點(diǎn)歷在線段8。上，且滿足。'M//平面MG,且"的取值范圍為g,l],求。的取值范圍.

【答案】（1）證明見詳解

「3ar\

⑵—

【詳解】（1）證明：連接H8,a=0.5,=則G為88,中點(diǎn)，

又正為的中點(diǎn)，所以EG//H8,

仕正方體中，D'CHAB,所以EG〃D'C,

又EGu平面D'4C,O'Cu平面ONC,所以￡G〃平面O'/C.

（2）設(shè)EF,B'D'交于點(diǎn)P,連接尸G并延長交08的延長線于。,

D/M//平面EFG,D'Mu平面487)7)，平面BB'D'DCl平面EFG=PQ,

AD'Mi/PQ,又DPHMQ,所以四邊形為平行四邊形，

則。7>="。=柜，乂APB'GFQBG,所以篌=票，

2

乂PR=立,R'G=aR'R=）a,RG=）-）a，所以RQ=旦一包,

22a2

所以。。必=」4+上,因"-1],則可得逑

N2a“|_2」22/2

5.（24?25高一下?河北承德期末）如圖，在正四棱臺(tái)力AC。-48GA中，BC=2BB1=2BG=4.

⑴求證：Bq//平面/C。；

（2）求點(diǎn)用到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵2.

【詳解】（1）連接8。交4C于點(diǎn)后，連接引九/。，

是正四棱臺(tái)的對角面8。2片與下底面和上底面的交線，則BD〃BQ「

又8。=24G，所以BD=2BR=2BE,即BE=8R,

所以8即向是平行四邊形，所以BBJ/ED、,BB、=ER,

又8與（z平面力C。，ERu平面4CR,所以平面ACR；

（2）由（1）88J/平面SC。，所以七_(dá)“功一B—ACD\-"1耳―ABC，

正四棱臺(tái)ABCD-44GA中，BC=2BB[=2B￡=4,

作。于“，則?！ㄊ钦睦馀_(tái)的高，正四棱臺(tái)48co-44GR中，BC=2BB[=2B?=4,

BD=4及,BR=2>/2，則D、H=^DDi-DH1=卜一（，.［五了二衣,

S^ABC=-x4x4=8,

所以/=-x8xV2=—,

O|—/iC￡^Z-*j-ADC3A/10CI33

乂。/=RC,E是力C中點(diǎn)，所以。El/C,

由（1）知AE=44=2,而XC=40,

所以S.4CD、=3AC.D、E=；義46又2=46,

設(shè)點(diǎn)4到平面的距離為萬，貝Ij_lx40〃=辿，h=2,

33

所以點(diǎn)用到平面力。烏的距離為2.

6.（24-25高二下?貴州安順?期末）如圖，在三棱柱/8C-4與G中，底面△力8。是邊長為2的正三角形，1

BF1

底面43C,力4=3,2E分別是4C,4G的中點(diǎn)，點(diǎn)/在線段〃片上，且

（1）證明：。石〃平面力444.

（2）求直線AF與平面DAB.所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析

⑵當(dāng)

【詳解】（1）在三棱柱力8c-4￡G中，因?yàn)椤?￡分別是力C4G的中點(diǎn)，

根據(jù)三棱柱的性質(zhì)，4C//4G且力。=4G，所以四邊形4OE4為立行四邊形，

所以DE//AA1,

乂因?yàn)?。七?平面/844，彳4u平面.4444,

所以O(shè)E//平面力網(wǎng)4.

（2）由題意，底面△NAC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱44=3,則力。=1*。=退.

如圖，以。為原點(diǎn)，力4。8力E所在直線分別為KJ,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)楦?=5,所以。(。，。，。"。，。，。"(。，行目，F(xiàn)(O,AI),

所以"=方=(1,0,0),函=(0,6,3).

設(shè)平面。力用的法向量為萬=(x,y,N),

fn-DA=x=0,((-\

則-「令Z=l,則萬=0,-6」.

忻.叫=島+3z=0,17

設(shè)直線/廠與平面。力用所成的角為0,

則sinJ=Ms",萬卜^1=(-l)x0+^3j+lxl

??網(wǎng)向g)2+(我2+]2府+(_揚(yáng)2+]2T,

所以直線與平面D44所成角的正弦值為吏

5

7.(24?25高二下?湖南衡陽?期末)如圖，在四棱錐尸-4AC力中，側(cè)面尸力。為正三角形，側(cè)面4。_1_底面

ABCD,底面力8C。為正方形，E,少分別為初，PC的中點(diǎn).

(1)求證：直線￡尸||平面RW；

(2)若AD-2,求側(cè)面與側(cè)面FXD所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見詳解

【詳解】(1)證明：取的中點(diǎn)G,連接4G/G.

p

^EB

因?yàn)槭瑸镻C的中點(diǎn)，所以EG||CO且FG=；C0,

因?yàn)榈酌?8CQ為正方形，E為4B中點(diǎn),所以《EIICO且力￡=：CD,

所以尸0||月￡且/G=/E,所以四邊形4G廠封為平行四邊形，所以瓦'II/G.

因?yàn)锳Gu平面以。，Ma平面P4),

所以直線七日|平面P/1O.

取力。的中點(diǎn)M,〃。的中點(diǎn)N,連接因?yàn)椤?。為正三角形，故0M_L4。，

因?yàn)閭?cè)面P/1O_L底面"CQ,交線為AD,PA/u平面尸力。，所以PM_L底面力8c。，

又MN1AD,以M為原點(diǎn)，M4MMMP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

又AD=2,故/A/=1,PM=6,48=2,

故P(0,0,6),80,2,0),4(1,0,0),D(-I,O,O),C(-l,2,0),

方二(1,2,-6)，肥=(-2,0,0),而=(1,0,-百)，而=(-2,0,0)

設(shè)平面尸8c的法向量為斤=(x,y,z),那么

ri1PBnPB=(x,y,z)-^,2,-43^=x+2y-y/3z=0

nl.BC卜.脛=(x,y,z)?(-2,0,0)=_2x=()

解得x=0,令2=百，則y=；，所以萬=(o,：,石1

同理，設(shè)平面產(chǎn)力。的法向量為而=(/,乂)*0),則

ml~PA成尸4=(Xo/o，Zo),(l,0,-VJ)=x-VJz=0

_n

mA.AD

w-JD=(xo,/o,zo)(-2,0,O)=-2x=0

解得x0=0,z=0,令j，=l則玩=(0,1,0).

設(shè)側(cè)面螂面PBC與側(cè)面PAD所成角為0,那么

(0,1,0)

cos6>=cos/n,w=mn

m-n

8.(24?25高一下?湖南衡陽?期末)己知正方體/出。。-44GA的棱長為1，E,尸分別為力"，CR的中點(diǎn).

(1)證明：EF//平面/BCD.

(2)求異面直線AF與所成角的大小.

(3)求直線8。與平面REF所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)30°；

⑶當(dāng)

【詳解】(1)證明：連接力C交4。于點(diǎn)O,

???瓦/分另|」為月。，CA的中點(diǎn)，

:.EF/：ACf

?.?力Cu平面力8c。，且所吠平面力8c。，

.?.￡//，平面力8。。；

(2)vBCJ/AD.,

.??/F與"G所成角大小等于與“g，

-.-力。=月口=CR,尸為C"的中點(diǎn),

NFg=30°,即/尸與BC、所成角的大小為30。；

(3)連接。0,過。作。G_LZ)［。于點(diǎn)G,

,/Z)D,I5??ABCD,且4Cu平面4?CQ,

：.DDXLAC,又4。_L/C且DDQBD=D，且兩直線在平面內(nèi)，

/.4C_L平面RQO,

,/DGu平面D\DO,

DG1AC,又0G1。。，且彳C「RO=O,,且兩直線在平面內(nèi),

QGJ.平面4CR,

???直線BD與平面D、EF所成角大小等于/DOD、,

??.正方體的邊長為1,

DO=與DD\=\、DQ=q

.?.cosZDOR=0°=直.

考點(diǎn)二線面平行的性質(zhì)

1.(24?25高一下?江蘇南通?階段練習(xí))如圖所示，在三棱錐尸-48c中，AB=BC=2Q，

PA=PB=PC=AC=4,點(diǎn)、O,M分別為線段力。，的中點(diǎn).

(1)若平面POMD平面。8C=/,證明：IMBC：

(2)證明：。0_1平面力8。；

(3)求PM與所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見詳解.

(2)證明見詳解.

⑶噂

【詳解】(1)由題：點(diǎn)O,M分別為線段4C,的中點(diǎn)，所以0M〃8C：

又因?yàn)镼MS平面尸8C,BCu平面尸BC,所以QW〃平面尸8C；

而OM，二平面POM,平面POMP)平面P8C=/,故0M/〃,所以l〃BC.

(2)因?yàn)镻4=PB=PC=4C=4,所以A4。為邊長為4的等邊三角形，

。為線段力。的中點(diǎn)，所以。尸_LAC,OP=2JJ：

又因?yàn)榇ǎ?8。=2正，AC=4,故。8=2；

在NOB中,OP?+OB?=PB：所以O(shè)P_LO8；

而ZCnO6=O,1C,O8u平面所以?！╛L平面力〃。.

(3)

取6C中點(diǎn)N,連接PM、MN、PN,丁是MN是ZUS。中位線，則MN〃/1C,

于是PM與力C所成角即為NMWP,由題知，〃N=；4C=2,

又PA=PB,由三線合一，PM工AB,做完P(guān)M=dPA?-AM2=66—2=JT?，

,-14+4-14VI4

同理/W=>/荷，在△PMN中，由余弦定理cosNPMN=—=-=—

2714x214

故直線PW與AC所成角的余弦值為巫.

14

2.(24-25高一下?廣東汕頭?期中)如圖，四棱錐尸中，PO_L平面力4C'。，底面49CO是正方形,

(2)求證：DE1平面PC8；

(3)設(shè)平面P/8C平面尸。。=/,求證："/平面43。。.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)連接力C,交BD于M,如下圖所示：

因?yàn)榈酌?8c。是正方形，故M為力C的中點(diǎn)，所以ME//PA,

又因?yàn)閡平面BDE,APu平面BDE,

所以4P//平面瓦必；

(2)???尸。_L平面力BCD,8Cu平面力BCOr.POlBC,

又?.?在正方形"CO中，CDLBC,

PDcCD=D,PD,COu平面0CQ,

.??8C1平面0CQ,

又?；DEu平面PCD,BCJ.DE,

?:PD=CD,E為PC中點(diǎn),故,DE1.PC,

又PCcBC=C,且qCu平面PC8,4Cu平面尸C4,

??.O￡_L平面PC8

(3)在正方形48CQ中，有ABI/CD,

因?yàn)?8a平面尸CQ,COu平面0C。，

所以48//平面尸CQ,

又因?yàn)?8u面尸48,平面以8c平面PC。:所以48/〃，

又因?yàn)?已平面48u平面力8C。，

所以/〃平面/4CO.

3.(23?24高一下?廣東中山?階段練習(xí))如圖，正四棱錐尸-43cZ)的底面為平行四邊形.M、N、。分別為

PC、CD、4?的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面P8C的交線為/.

(1)求證：平面MAQ〃平面力。；

(2)求證：BC/ih

(3)若24=5,AB=4g，求四棱錐尸-/AC。的體枳.

【答案】(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

⑶32.

【詳解】(I)因?yàn)镸、N、。分別為PC、CD、48的中點(diǎn)，底面44c。為平行四邊形,

所以MN//PD,NQHAD,

又平面210,尸。＜=平面21。，

則MN"平面P/1。，

同理N0(z平面P/O,/Ou平面P4力，

可得N?！ㄆ矫娈a(chǎn)力。，

又MNCNQ=N,MN,NQu平面MNQ,

所以平面平面上4。.

(2)因?yàn)榈酌媪?。。為平行四邊形，所以BC//AD,

又8CU平面P4),40U平面產(chǎn)力。，

所以BC//平面尸力。，

又8Cu平面P8C,平面P8CCI平面P4)=/,

所以8C/〃.

因?yàn)樗睦忮F尸-48C。是正四棱錐，

所以底面4SCO是正方形，尸在底面上的投影是底面的中心,

又AB=4五,所以ZC=8,

又24=5,

所以四棱錐的高為小尸才-，4。)=7?二不'=3,

所以正四棱錐P--6co的體積P=g(40『-3=32.

4.(24?25高一下?遼寧朝陽期末)如圖，在直三楂柱/8C-44G中，AB1AC,BB『2BA,點(diǎn)。是線段的

(1)求證：Q4_L平面24G

(2)設(shè)平面04c與平面04G的交線為直線/.求證：ACHI

(3)若=WC=1,求二面角C1-Q4-C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(常

【詳解】(1)由。為84的中點(diǎn)，BB、=2BA,\^BQ=AB,易知同用=40,

在三棱柱44。-44G中，易知5用1N8,BB、工AB、,

則//。8=/4。4=45。，故彳。_1_4。，

在三棱柱川?C—/14G中，由48_L4C,則44_L4G，

由8q_L平面44G，4Gu平面48￡,則叫J_4G，

因?yàn)?B1CB4=q,4u平面力88/,所以4G_L平面486/,

因?yàn)?0U平面488圈,所以40_L4G，

因?yàn)?2c4cl=4,4°，4Gu平面4G。，所以平面4G。.

(2)在三棱柱/AC-44G中，4C"4￡,

因?yàn)?4C<z平面4GQ,NCu平面力CQ,所以,4。//平面4G。，

因?yàn)槠矫鏋镃Qc平面4GQ=/，/icu平面力CQ,所以/c〃/.

(3)由題意，將三楂柱/8C—44G補(bǔ)形成四棱柱48。。-44。。，如下圖:

其中底面48OC為正方形，E為。。的中點(diǎn)，

由(1)可知4G平面力網(wǎng)4,且/?！?G,則AC1平面ABB\4,

在四棱柱力AOC—44AG中，易知4C〃E0,則上。3?平面

因?yàn)?0U平面1844,所以。￡_!■力。，

由(1)可知4Q_L平面4G。，且￡Ou平面4￡。，所以/1Q_L￡。，

所以NC?E為二面角C.-AQ-C的平面角，

在四棱錐力8QC-44AG中，E0~L平面。AG，

因?yàn)镚EU平面。RG，所以E0_LCE,

易知EC】=+ED：=&,CiQ=y/B?+B￡2={B?+B、D：+CR2=近,

所以sinNGQE=「《二坐，則二面角G—力。—。的正弦值為好.

C[233

5.(24-25高一下?黑龍江?期末)如圖，在四棱錐尸-N8C。中，4_1_平面/18。。，底面/8C。為睇形,

BC//AD,平面產(chǎn)力5_1_平面尸8C,且4?=8C=2,PA=AD=4.

(I)若平面。8C與平面尸力。相交于直線/,求證：BCUh

(2)求/與/1C所成的角；

（3）求二面角C-尸D-.4的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

喏

（3）y

【詳解】（1）因?yàn)?c〃4。，8。二平面產(chǎn)力。，力Ou平面R4。，所以8。〃平面21。,

因?yàn)?Cu平面尸8C,平面尸BCD平面尸4。=/,故〃/BC.

（2）過點(diǎn)A在平面產(chǎn)48內(nèi)作力〃_LP5,垂足為點(diǎn)，，如下圖所示：

因?yàn)槠矫?81平面尸8C,平面P48c平面PBC=PB,4Hu平面P4B,

AH1PB,故/"L平面。8。，

因?yàn)锽Cu平面尸4C,所以力“1BC,

因?yàn)?_L平面力8CO,4Cu平面/夕。。，所以8。_1_尸力，

因?yàn)?口力〃=力，PA、/Hu平面P4B,所以8CJ■平面218,

因?yàn)?8u平面產(chǎn)力3,所以8C_L48,

因?yàn)椤?BC,故/與力C所成的角為N4C8或其補(bǔ)角，

又因?yàn)椋糂=BC=2,則為等腰直角三角形，則4c8=；,

4

即/與/C所成的角為

（3）取力。的中點(diǎn)O,連接CO,

因?yàn)?0=4,BC=2,ADIIBC,故,4O=2=8C,

所以，四邊形月8。0為平行四邊形，所以CO//48,COLAD,

由產(chǎn)力，平面48c。，COu平面/14CD,貝|JCO_LP/1,

而4c力。=力，尸4%。u平面產(chǎn)力。，于是CO_L平面P4）,

又POu平面40,則POJLC。，過。作OE1PO于E,連接CE,

顯然COcO￡=O,CO.OEu平面COE,因此尸。_L平面COE,

而CEu平面COE,則PQ1CE,即NOEC是二面角C-PO-Z的立面角，

由產(chǎn)力=4。=4,PA1AD,得/力。尸=45",

則OE=OOsin//。2=&，CE=a,cosZ.OEC=?

CE3

所以二面角C-0。-4的余弦值是走.

3

6.(24?25高二下?四川涼山?期末)如圖，在圓錐PO中，為底面圓的內(nèi)接四邊形，對角線/IC過圓心。，圓

⑴若4D//BC,平面與平面尸8c的交線為/,證明：AD/H：

(2)若AD=2,求平面PAD與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵竽

【詳解】(1)證明?.?/Q//8C,4O(z平面P3C,BCu平面PBC,

二40〃平面尸AC,

，?平面P/lDc平面24。=/,力。u平面產(chǎn)力。，

/.AD//1.

(2)由題意知尸力=PC=2jI，BC=AD=2,

AJC=4,AB=CD=2BZADC=ZABC=^tPO=2,

方法一：向量法

???486為矩形，因此可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)。平行于尸。豎直向上為z軸,

二0(0,0,。)，4(2,0,0),5(2,25/3,0),C(0,2V3,0),尸(1,6,2),

=(2,0,0),而=(1,6,2),希=(2,0,0),CP=(1,-V3,2),

設(shè)平面PAD的法向量為應(yīng)=(X],必,zJ,平面PBC的法向量為萬=(七,%，Z2).

DAm=0:贊必+2z=0,令"7,而=（。，-2,@,

則—，所以1

DPm=O

C8?萬=02X=0

—，所以2nc八令8=2可得力=（0,2,6）,

CPii=0[x2->l3y2+2z2=0

/_mn_4+31

?"川=麗=病"=亍

二.平面PAD與平面PHC所成角的正弦值為

方法二：幾何法:

過點(diǎn)戶分別向力。、8c引垂線，垂足分別為A/、N,連接MN,

由（1）知ADHI,所以尸PN工I,

ZMPN為平面PAD與平面PBC所成角的平:面角，

:.PM=PN=幣，MN=2百，

???根據(jù)余弦定理得：8⑷所空需講M,

???平面PAD與平面PBC所成角的正弦值為速.

7

7.（24-25高一下?陜西漢中?期末）在四棱錐尸-4BC。中，底面力4CQ為平行四邊形，O為底面中心，〃,￡分別

為尸4P。的中點(diǎn)，△「/人為等腰直角三角形，且耳二|。。|.

（1）若平面P8cn平面判斷直線/與Be的位置關(guān)系并證明;

（2）求異面直線MO與月C所成角的余弦值;

（3）若氏N分為?！辍Ｊ闹悬c(diǎn)，點(diǎn)G在線段P8上，且|PG|=/l|G8|,若平面GFN〃平面48CO,求實(shí)數(shù)4的值.

【答案】（1）〃/8C,證明見解析

⑵嚕

(3)2=3

【詳解】（1）UIBC

證明：為為底面力8CQ為平行四邊形,

所以8C7/4),

又因?yàn)?C（Z面產(chǎn)/。，/lOu面尸N。，

所以8c〃面

又因?yàn)?Cu面尸4C,面PBCn平面以。=/,

所以〃/RC.

連接力。，則O為片。中點(diǎn)，又點(diǎn)M為P4中點(diǎn),所以MO//PC,

異面直線耳。與氐?所成角即為EC與PC夾角,

在等腰直角三角形POC中，設(shè)|QP|=|OC|=2Q,則歸胃二|。同=*|PC|=2&%仁可=氐,

歸?！菏ㄓ猫D儼砰_8a2+5。2一/_3>/10

在APEC中，由余弦定理得，cosNPCE=

2\PC\]CE\4而"10

所以異面直線MO與EC所成角的余弦值為嚕.

(3)連接5。，如圖所示，

因?yàn)镹為OE的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn),所以|尸網(wǎng)=：歸功，

因?yàn)槠矫鍳FN〃平面4BCO,平面PE。0平面43C0=BD,

平面P8On平面GEV=GN,所以GN//BD,

則犒=^=3,即|PG|=3|G8|,所以2=3.

P

8.(24-25高一下?湖北武漢?期末)如圖，在四棱錐尸-/AC。中，24_L平面力ACA,底面4ACC為梯形,

BC//AD,平面214_L平面P8C,且48=8C=1,PA=AD=2.

/?一、------------4D

/、、、\

//、、、\

BC

(1)若平面尸8C與平面產(chǎn)力。相交于直線/,求證：BC//1；

(2)求證：AB1BC；

(3)求二面角4的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

【詳解】(1)由AC///。，平面R4O,,4Z)u平面240,得AC//平面尸/￡),

又8Cu平面P8C,且平面PAC與平面產(chǎn)力。相交于直線/,所以BC/〃.

(2)在平面產(chǎn)力5內(nèi)作4/_LP9于，，

?.?平面尸力3JL平面P8C,平面Q48c平面P8C=P8,

???/V/L平面。8C,8Cu平面。8C,則P"_L8C

又產(chǎn)力JL平面/14C。，8Cu平面44CD,貝ij2i_LAC,

又，力「*〃—/!且都在平面PAB內(nèi),故8c_L平面PAB,

又44u平面P44,則BC_L/8.

BC

(3)若。是/。的中點(diǎn)，連接C。，

由(2)知，COHAB,COLADf

由P/1_L平面48CO,COu平面Z8CD,貝l」CO_LP4,

而=尸4/Ou平面產(chǎn)力。，于是。。_1_平面P/O,

又尸Du平面尸4),則PQJ.C。，過。作。E_LP。于E,連接CE,

顯然COcOE=O,。。、。用「平面COE,因此PZ)_L平面。0E,

而CEu平面COE,則POJ.CE,即/OEC是二面角C-PQ-N的立面角,

由產(chǎn)力=/。=2,PAA.AD,得/)。=2五，sinZJDP=45°,

則OE=OOsin/4OP=立，CE=—,cosZO^C=—=—,

22CE3

所以二面角C-PO-Z的余弦值是也.

考點(diǎn)三面面平行的判定

1.（24?25高一下?四川成都?期末）如圖，在三棱柱44G中，E,/分別為線段力G，4G上的點(diǎn),

AE=AAC],AXF=2AtCt,2e（0,1）.

（1）求證：EF//平面BCCR.

（2）在線段8G上是否存在一點(diǎn)G,使平面EFG//平面力請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在點(diǎn)G,滿足旃=4西即可，理由見解析

_________AEAF

【詳解】（I）因而=%用，乖=兄而，則方■=±，故EF“AA\,

在三棱柱48C-44G中，A4JJBB、,則EF/網(wǎng),

因Ma平面8CG與，〃片u平面4CC內(nèi)，則E/〃平面8CG4.

(2)

如圖，線段8G上存在點(diǎn)G,滿足彘=4西，即可使平面E產(chǎn)G//平面力理由如下:

————AEBG

因/E=/MC，則RT=Q，則EG//4B,因48u平面/四耳,EG<z平面ABB4,故EG”平面ABB4,

由（1）EF//AAlf因平面力844，E/a平面力88/,故即〃平面力88圈,

又EGcEF=E,EG,EFu平面EFG,故平面EFG〃平面ABBXAX.

2.（24.2S高一下?云南臨滄?期末）如圖1,等腰梯形NACO中，AD//BC,E為AD邊上一點(diǎn)、,且

AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,0為BE中前,廠為8C中點(diǎn)?將△/AE沿折起到△凡注的位置，如圖

2.

圖1圖2

(1)證明：CQ1平面

(2)若/O_LO〃，求點(diǎn)尸到平面的距離；

(3)試在線段/O上確定一點(diǎn)G,使得平面GCE〃平面力。少，并給出證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)4

(3)G為線段力。上靠近/的三等分點(diǎn)，證明見解析

【詳解】(1)在等腰梯形力8。。中，AD//BC,BC=ED=4,

則四邊形5C0E是平行四邊形，則

因?yàn)锳B=AE=BE=CD=2,所以,BE為等邊三角形，則/歷1E=6(T

因?yàn)?。為BE中點(diǎn)，所以8dO,

在等腰梯形力8c。中，可得NB/1E=NCDE=NCBE=60。

連接EC,在△8EC中，由余弦定理可小產(chǎn)二^^+臺(tái)爐一慶：此田/七班=時(shí),

則七。=26，所以8七2+￡。2=16=8。2,則8E_LEC.

因?yàn)?、尸分別是BE、8c中點(diǎn)，所以O(shè)F"EC,所以_L8E,

從而可得OFLCD,CD1AV,

因?yàn)?On。/7：。，AO.OFu平面/0尸，所以CO1?平面/O尸；

(2)由(1)可知OF//EC,因OQa平面/EC，ECu平面4EC，則。尸〃平面/EC，

所以點(diǎn)尸到平面AEC的距離即為點(diǎn)0到平面AEC的距離，

因?yàn)?。是初中點(diǎn)，所以點(diǎn)F到平面AEC的距離等于點(diǎn)B到平面AEC的距離的一半.

取/E的中點(diǎn)為〃，連接8”,

因?yàn)椤?BE為等邊三角形，所以8//1/E，

由⑴知ECLBE,因?yàn)?TO_L?！?，而OF"EC,則EC_LH。，

又因?yàn)?￡cH0=。，BE、/Ou平面/'8E，所以ECI平面48￡，

因?yàn)椤ā║平面48七，所以ECLB”,

又因?yàn)镋Cn/E=E，EC、/Eu平面/￡C，所以_L平面/EC,

因?yàn)槭堑冗吶切危呴L為2,故8〃=-二百，

所以點(diǎn)3到平面AEC的距離為石,

故點(diǎn)F到平面AEC的距離為立；

2

（3）設(shè)。/PlCE=M,則黑=￡=!，

MDED2

?

在力。上取點(diǎn)G,使——=-,從而GM//AF,

GD2

連接EG,因?yàn)?Hs平面GEC,GMu平面GEC,所以/尸〃平面GEC,

又由（1）可知，OFHEC,。尸（Z平面GEC,GMu平面GEC,

則。/〃平面GEC,

又因?yàn)?尸0。尸=尸，力艮。產(chǎn)u平面/OF,所以平面GCE〃平面4。/，

故G為線段AD上靠近A的三等分點(diǎn)時(shí)，平面GCEH平面AOF.

3.（24-25高一下?青海海南期末）如圖，在長方體中，及RG分別是棱48,8%同4的中點(diǎn).

（2）在棱力4上是否存在點(diǎn)〃，使得平面GGH//平面C0?若存在，求出大的值；若不存在，清說明理由.

力1A

【答案】（1）證明見解析

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接EG,

因?yàn)椤?G分別是核為3,，倒的中點(diǎn),再以EGf/BB、,EG=BB\,

由長方體的性質(zhì)，可知BBJ3，BBi=Cq,則EG//CC且￡G=CG，

所以四邊形CEGG是平行四邊形，所以CE//C。,

又因?yàn)镃Eu平面CEE,且C0U平面CE/,所以平面CE廠.

A.H1

（2）解：取棱44的中點(diǎn)〃，連接G”c〃，平面GG"http://平面c$,此時(shí)千工=不

A{A2

理由如下：

連接片紇，因?yàn)槊袷謩e為棱48,84的中點(diǎn)，所以后產(chǎn)〃44，

因?yàn)镚"分別為棱4綜4力的中點(diǎn),所以GHUAB],所以GH"EF,

因?yàn)镼u平面C"且平面CEF,所以G"〃平面C￡7L

由（1）可知GG〃平面C￡7~且GGu平面CG”,GHu平面GGH,CfiQGH=Gf所以平面C。"http://平面

CEF,

A.H1

故在棱彳4上存在點(diǎn)〃，使得平面GG〃〃平面CW,此時(shí)普二二.

A}Az

4.（24.25高一下?陜西漢中?期末）由正方體力“CO-4eGR截去三棱錐G-qc"后得到的幾何體如圖所示，0

為AC與BD的交點(diǎn).

（1）求證：40〃平面8cA；

（2）求證：平面48D//平面800.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【詳解】（1）取用。的中點(diǎn)E,連接耳瓦比.

則4E=CC，4E〃CC.

所以四邊形CO4E為平行四邊形，所以力?！ɑ?.

因?yàn)槠逤u平面4eq,4。不在平面片內(nèi)，

所以4。//平面4cA.

（2）因?yàn)橛谩＃輚平面與CQ,8。不在平面々CQ1內(nèi)，

所以B。//平面4cA.

由（1）知，4。〃平面8cA.

因?yàn)?。c80=0,4。,6。u平面48。，

所以平面48。//平面8cA.

5.（24-25高一下?黑龍江哈爾濱期末）如圖，在四棱錐夕-48C?？?，△4C。為等邊三角形，BD=20

PA=6,AB=4D=PB=PD,NBHD=120。，點(diǎn)E,產(chǎn)分別為PC,CO的中點(diǎn).

（1）求證：平面3Eb〃平面21力；

（2）求二面角P-BD-A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【詳解】（1）在APCO中，點(diǎn)反尸分別為PCS的中點(diǎn)，

所以EF//PD,因?yàn)镻Ou平面PDT而叮不在平面尸D4內(nèi),

所以七尸//平面尸D4.

因?yàn)榱?=力。,/比10=120,所以N8D4=30°.

因?yàn)闉榈冗吶切危訬8OC=6（r,

所以4QC=90°.又8尸1CQ,所以BF//AD.

又因?yàn)榱u平面尸7M,而8/不在平面巴M內(nèi)，

所以8///平面PD4.

又EFcBF=F,EF,B77u平面BEF,

所以平面夕///平面40.

（2）取4。的中點(diǎn)為G,連接力G,0G.

因?yàn)?B=AD=PB=PD,所以％G_L82PG_L4。.

因?yàn)?GcPG=G,平面PBDc平面4BD=BD,

所以二面角尸-A力-力的平面角為NPG4.

因?yàn)镈G=—BD—也,所以4G=Z）Gx^y-=\,AD=PD—Jl+3=2.

所以PG=JPQ?—QG2=L

根據(jù)余弦定理得cos/PGA=PG-'心二M=匕上口=

2PGx4G2xlx!2

所以二面角尸-80-4的余弦值為-g.

6.（24?25高一下?甘肅白銀?期末）如圖，一個(gè)水平放置的邊長為抬的等邊三角形力8C繞著中心點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

p再沿豎直方向（前9平移一定距離后，連接4f,AC,BBLBA',CC,C9,此時(shí)側(cè)面三角形

ABB',BB'C,NCC正好都是等邊三角形.

（1）證明：平面8'C'C〃平面44'3.

⑵求平面彳8'。'與平面月&8所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵！

【詳解】（1）由題意可得"C"/44,且B'C'=4B,所以四邊形48B'C'為平行四邊形，

同理，HC與3c平行且相等，所以四邊形H8CC為平行四邊形，故#BUCC.

又8'C'nCV=C',4BC4'B=B,夕C',CC'u平面*CC,/B,ABu平面力力少,

所以平面AA'B11平面B'CC.

（2）由平面8'C'C〃平面力HB,得平面H8'C'與平面所成的角。即為平面48。與平面H48所成的角.

如圖，作點(diǎn)H在平面4BC上的投影E,連接0￡,交48于點(diǎn)。，連接力7）,4E,可知OE工則/HOE即

為二面角A-AB-C的平面角.

B'

所以。《='力。=一，A,D=ABs\v\-=-

因?yàn)椤辍?4。、t

2232

故…半二一j_―1

[3,

7.（24?25高一下?四川成都?期末）如圖，在正三棱柱/8C-44G中，AB=&A「瓦尸分別是力反4片的中

點(diǎn).

G

(1)求證：CE_L平面力8片4；

(2)求證：平面力HL：〃平面CE4；

(3)求直線AC.與直線Cg所成角的大小.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)1

【詳解】(I)由題意知是正二角形，七是48的中點(diǎn)，?..CEJ./1B,

又48C-44G是正三棱柱，

，力4J.平面48C,CEu平面月8C,~LCE.

又丁48u平面彳,44u平面力844，AAtQAB=At

；.CE1平面4呢小

(2)

連接所，

?;EF"A4，CCJ/AA\,：.EF//CC,,且七尸二。6，

四邊形CEFG是平行四邊形，

又?.?C￡u平面CEA，C/a平面CE￡,平面CEB-

又???￡1分別是4民4用的中點(diǎn)，.?.花〃咫,RAE=FBlt

四邊形7/石片尸是平行四邊形，.?./r

又E&U平面C￡4，"0平面CE4,/平面CE%

又..?力產(chǎn)（=平面4"G，。/€=平面4%；，/iFAC,F=F,

:.平面"G〃平面CE四；

（3）連接G8交。4于點(diǎn)G,連接GE,

???G,E分別是GS,43的中點(diǎn)，???EGHAC、,

???ZCGE（或其補(bǔ)角）就是異面直線4G與C4所成的角，

設(shè)44=亞，AB=y/2AA],4B=2,

??CE='BC2-BE?=G，EB]=4BE2+BB：=百,..CE=EB1.

又TG是Cg的中點(diǎn)，.?.￡G_LC4,即力qj_C4.

「?直線/￡與直線Cg所成角的大小為

8.（24-25高一下?貴州銅仁?期末）如圖，在以4￡C,Q,E/為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形48co與四邊形/QEF均

為等腰梯形，BCHADyEFHAD,AD=4,AB=