龍當場理

實驗：用單擺測量重力加速度

考點一教材原型實驗

一、實驗原理

1/4n2

當擺角較小時，單擺做簡話運動，由單擺的周期公式7=2”,，可得出g==-/,測出單擺

的擺長/和振動周期T,就可求出當?shù)氐闹亓铀俣萭。

二、實驗器材

帶中心孔的小鋼球、約1m長的細線、帶有鐵夾的鐵架臺、游標卡尺、亳米刻度尺、停表。

三、實驗步驟

1.做單擺

鐵架臺拱線

擺球

將細線穿過中心帶有孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結，然后把線的另一端用鐵夾固

定在鐵架上，讓擺球自然下垂。如圖所示。

2.測擺長

用毫米刻度尺量出擺線長L（精確到亳米），用游標卡尺測出小球直徑”則單擺的擺長/=￡十

D

2

3.測周期

將單擺從平衡位置拉開一個角度（不超過5°）,然后釋放小球，記下單擺做30次或50次全振

動的總時間，算出平均做一次全振動的時間，即為單擺的振動周期兀

4.改變擺長，重做幾次實驗。

四、數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)處理的兩種方法：

方法一：公式法。

4丸2/4n2/

根據(jù)公式F=2n1,得g=-。將測得的幾組周期7和擺長/分別代入公式8=—中算

設產(chǎn)尸

出多組重力加速度g的值，再求出g的平均值，即為當?shù)刂亓铀俣鹊闹怠?/p>

方法二：圖像法。

龍當場理

由單擺的周期公式7=2冗,可得/=告〃，因此以擺長/為縱軸，以尸為橫軸描點作圖，

國4y

作出的/-△圖像理論上是一條過原點的直線，如圖所示，求出圖像的斜率A,即可求出g值。

A7

g=4n-k,k=

AT2

五、誤差分析

1.本實驗的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點固定，小球質量大、

體積小，細線輕質非彈性，振動是在同一豎直平面內(nèi)的振動等。

2.本實驗的偶然誤差主要來自時間的測量和授線長度的測量，因此，要從擺球通過平衡位置

時開始計時，不能多計或漏計擺球的全振動次數(shù)；使用刻度尺測量擺線長度時，要多次測量

取平均值以減小誤差。

3.利用圖像法處理數(shù)據(jù)具有形象、直.觀的特點，同時也能減小實驗誤差。利用圖像法分析處

理數(shù)據(jù)時要特別注意圖像的斜率及截距的物理意義。

六、注意事項

1.小球選用質量大、體積小的鋼球。

2.選用1m左右難以伸縮且盡量輕的細線。

3.懸點位置不能發(fā)生變化，懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。

4.單擺必須在同一平面內(nèi)振動，且擺角小于5°。

5.選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數(shù)準全振動的次數(shù)。

題組強化

例1(2024?河北省邯鄲市高三下5月檢測)某同學在利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛?

(1)用20分度游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖甲所示，游標尺左側數(shù)據(jù)由于磨損已

經(jīng)看不清，則該擺球的直徑4=cm。

123cm

1111111III11liLU.b.i.U11

l|llllllll|llll

1020

甲

(2)下列選項哪些可以減小實驗誤差________o

A.組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線

2

龍當物理

B.實驗擺長越長越好

C.擺長一定的情況下，單擺的振幅盡量大

D.測周期時從小球位于最高點時開始計時

(3汝口圖乙所示，在選擇合適的器材后進行組裝實驗，測得擺線長為/,單擺〃次全振動所用

時間為3用上述測量結果，寫出重力加速度的表達式g=(用所測物理量字母表示)。

4i

［答案］(1)1.130(2)A(3)----L―口

［解析］(1)由游標卡尺的原理可知,2()分度游標卡尺的游標尺上的每1小格實際長度為看？

乙U

=0.95mm,從圖甲中可以看出游標尺的第6小格與主尺上的17mm對齊，故該擺球的直

徑為4=(17—6X0.95)mm=11.30mm=1.13()cmo

(2)組裝單擺時，擺線應該選用輕且細且不易伸長的細線，故A正確；根據(jù)單擺周期公式7=

2兀:可知，擺長越大，周期越大，便于測量，減小誤弟，但擺線越長，單擺所受阻力對實

驗結果的影響越大，且懸掛點變高會使實驗裝置變得復雜和不穩(wěn)定，擺長的測量誤差也會變

大，所以擺線長度應適度，一般選擇1m左右，并非越長越好，故B錯誤；單擺只有擺角在

5°范圍內(nèi)時才可近似看作簡諧運動，故在擺長一定的情況下，單擺的振幅不能太大，故C

錯誤；小球在平衡位置即最低點時速度最大，故測周期時，為減小誤差，應從小球位于最低

點時開始計時?，D錯誤。

(3)單擺的周期為單擺的擺長為￡=/+:/單擺的周期公式為7=2兀聯(lián)立可解得

〃2

4兀2聞+&I

重力加速度的表達式為8=-----

例2(2023?河北高考)某實驗小組利用圖1裝置測量重力加速度。擺線上端固定在。點，下

端懸掛一小鋼球，通過光電門傳感器采集擺動周期。

3

龍當場理

圖I

(I)關于本實驗，下列說法正確的是。(多選)

A.小鋼球擺動平面應與光電門U形平面垂直

B.應在小鋼球自然下垂時測量擺線長度

C.小鋼球可以換成較輕的橡膠球

D.應無初速度、小擺角移放小鋼球

圖2

(2)組裝好裝置，用亳米刻度尺測量擺線長度用螺旋測微器測量小鋼球直徑"。螺旋測微

器示數(shù)如圖2,小鋼球直徑”=mm,記擺長/=￡+工

-------------2

(3)多次改變擺線長度，在小擺角下測得不同擺長/對應的小鋼球擺動周期T,并作出/?尸圖

像，如圖3。

根據(jù)圖線斜率可計算重力加速度g=m/s2(保留三位有效數(shù)字，小取9.87)o

4

龍當場理

(4)若將擺線長度誤認為擺長，仍用上述圖像法處理數(shù)據(jù)，得到的重力加速度值將(填

“偏大”“偏小”或“不變”)。

［答案］(l)ABD(2)20.035

(3)9.87(4)不變

［解析］(1)使用光電門測量時，光電門U形平面與被測物體的運動方向垂直是光電門使用的

基本要求，故A正確。測量擺線長度時，要保證擺線處于伸直狀態(tài)，故B正確。單擺是一個

擺線長度不變、擺線質量不計、擺球可視為質點的理想化模型，研究單擺時，需要使空氣對

擺球的阻力可以忽略，若用較輕的橡膠球代替小鋼球，則擺線質量的影響變大，空氣阻力對

擺球的影響變大，會增大誤差，故C錯誤。為了保證小鋼球在豎直平面內(nèi)做單擺運動，而不

形成圓錐擺，應無初速度釋放小鋼球；單擺只有在擺角很小的情況下才可視為做簡諧運動，

才能使用公式T=2：n，計算重力加速度，因此應小擺角釋放小鋼球，故D正確。

(2)由題圖2可知,小鋼球直徑，=20mm+3.5X0.01mm=20.035mm。

(3)由單擺周期公式r=2"得/=￡?/,則/-/圖像中圖線的斜率〃=上，可得g=4

依4小4n2

2

五由題圖3知，圖線的斜率—竺m/s2=』m/s?,解得g=9.87m/so

4.40-2.404

(4)若將擺線長度Z,誤認為擺長/,因￡=/-'=￡.乃一±則仍用上述圖像法處理數(shù)據(jù)，

24n22

圖線斜率不變，仍為《一￡；,所以得到的重力加速度值將不變。

4元2

考點二實驗拓展與創(chuàng)新

例3(2025?廣東省高三上月考)某智能手機中的磁傳感器功能可實時記錄手機附近磁場的變

化，磁極越靠近手機，磁感應強度越大。寧德某中學的G寧在家里用手機、磁化的小球、支

架、塑料夾子等實驗器材組裝成如圖甲所示的裝置來測量重力加速度，實驗步驟如下：

①把智能手機正面朝上放在懸點的正下方，接著往側邊拉開小球，并用夾子夾住。

②打開央子秤放小球，小球運動，取下夾子。

③運行手機磁傳感器功能，手機記錄磁感應強度的變化。

④改變擺線長和夾子的位置，測量出各次實驗的擺線長￡及相應的周期兀

5

龍當場理

(1)如圖乙所示，圖中記錄了實驗中磁感應強度的變化情況，測得第1個到第N個磁感應強度

最大值之間的時間間隔為3則單擺周期7的測量值為o

?夏乘切丞勿砸旗砂■

精確度高

絕對值

費600

特4()0

斯200

拉0.0020.040.0

時間?

絕對值

九八"微3特59斯.70拉

乙

(2)實驗中用游標卡尺測量擺球直徑如圖丙所示，則擺球直徑為

23cm

0510

丙

⑶得到多組擺線氏L及相應的周期7后，作出了圖像，如圖丁所示。根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可

得當?shù)刂亓铀俣萭=m/Y(又取2.14,結果保留二位有效數(shù)字)八

(4)查表可知寧德地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2,則本實驗的相對誤差為%(垢果保

留兩位有效數(shù)字)。

［答案］(1島(2)2.00

(3)9.96(4)1.7

［解析］(1)易知磁化小球在最低點時距離手機最近，此時手機測得的磁感應強度最大，測得

第I個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為3一個周期內(nèi)磁化小球兩次經(jīng)過最低

6

龍當物理

點，則單擺周期r的測量值為7=一二=上一。

N—1N—1

2

(2)由圖丙可知，擺球直徑為d=20mm+OXO.1mm=20.0mm=2.OOcm。

1/d4n2

(3)根據(jù)單擺周期公式可得7=2冗其中/?=-=1.00cm,整理可得△=―(L+r),

1g2g

4兀24.0—0

對比圖丁可得圖線斜率氏=——=----------------s2/m,解得當?shù)刂亓铀俣萭=9.96m/s2。

g1.00-(-0.01)

渺?—cj直Q96—979

(4)本實驗的相對誤差為「一-----—X1()()%=1.7%。

g其9.79

例4某班同學組織春游爬山，在山頂發(fā)現(xiàn)一棵合抱古樹，他們想知道這棵古樹的樹圍。由

于未帶卷尺，只備有救生繩(質量不計且不可伸長)，于是他們利用單擺原理對古樹的樹圍進

行粗略測量。他們用救生繩繞樹一周，截取長度等于樹干周長的一段(已預留出打結部分的長

度)，然后在這段救生繩的一端系一個小石塊。接下來的操作步驟為：

I.將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；

H.移動小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個小于5°的角度，然后由靜止釋放，使

小石塊在同一豎直面內(nèi)擺動；

III.從小石塊經(jīng)過平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1

次經(jīng)過平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過平衡位置，測出這一過程所用的總時間為94.20So

⑴根據(jù)步驟小，可得小石塊擺動的周期「=s(『取3.14)。

(2)經(jīng)百度查得該地區(qū)的重力加速度為9.79m/S2,可估得該古樹的樹圍C=(結

果保留兩位有效數(shù)字)

(3)若空氣阻力的影響可不計，同時小石塊擺動的周期T測量結果準確，考慮到該山的海拔較

高，則該古樹樹圍的測量值(填二y域“=")真實值。

［答案］(1)4.71(2)5.5(3)>

［解析］(1)從小石塊經(jīng)過平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機中的''秒表”軟件計時(記

41—1

為第1次經(jīng)過平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過平衡位置，共經(jīng)歷〃=-----=2()個周期，總

2

時間為解得「=’=4.71So

n

1/V-g4.712X9.79

(2)根據(jù)單擺的周期公式7=2匕解得擺長為/=「=----------m=5.5m,擺長即

4n24X3.142

為古樹的樹圍，即C=/=5.5m。

(3)山頂?shù)暮０屋^高，所以實際重力加速度較小，而計算所使用的重力加速度偏大，所以該古

樹樹圍的測量值「真實值。

7

龍當物理

課時作業(yè)

1.(2025?八省聯(lián)考河南卷)學生.實驗小組利用單擺測量當?shù)氐闹亓铀俣?。實驗器材?鐵架

臺、細線、擺球、停表、卷尺等。完成下列問題：

1

圖I

(1)實驗時，將細線的一端連接擺球，另一端固定在鐵架臺上。點，如圖1所示。然后將擺球

拉離平衡位置，使細線與豎直方向成夾角。(興5°),釋放擺球，讓單擺開始擺動。為了減小

計時誤差，應該在楞球擺至.(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。

(2)選取擺線長度為100.0cm時,測得擺球擺動3()個完整周期的時間⑺為60.60s。若將擺

線長度視為擺長，求得重力加速度大小為m/s2c(取"2=9.870,結果保留三位有

效數(shù)字)

(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗，相關數(shù)據(jù)匯總在卜表中，在坐標紙上作出擺線長度⑺

和單擺周期的二次方(")的關系曲線，如圖2所示。

/(m)?s)TV)

0.80054.173.26

0.90057.543.68

1.00060.604.08

1.10063.554.49

1.20066.344.89

8

龍當場理

設直線斜率為億則重力加速度可表示為8=(用〃表示)。由圖2求得當?shù)氐闹亓?/p>

速度大小為m/sk結果保留三位有效數(shù)字)。

(4)用圖像法得到的重力加速度數(shù)值要比(2)中得到的結果更精確，原因是

答案：⑴最低點(2)9.68(3)4112A9.87(4)見解析

解析：(1)擺球經(jīng)過最低點時速度最大，在相等的距離誤差內(nèi)引起的時間誤差最小，測出的周

期誤差最小，所以為了減小測量周期的誤差，應該在擺球擺至最低點時開始計時。

(2)根據(jù)題意可知小球擺動的周期丁='=2.02s,擺長￡=100.0cm=l.00()m,根據(jù)單擺

30

4n2Z

周期公式有7=2Ji上解得重力加速度g=—^-=9.68m/s20

(3)根據(jù)單擺周期公式有T=2n其中廠為擺球半徑，整理可得/=±-爐一八可知/-

Jg4"

產(chǎn)圖線的斜率人充則重力加速度可表示為g=4n2k,由圖2求得當?shù)氐闹亓铀俣却?/p>

、I.16-0.76、

小為g=4n2X--------m/s2=9.87m/s2o

4.75-3.15

(4)用圖像法得到的重力加速度數(shù)值要比(2)中得到的結果更精確，其原因是用圖像法處理數(shù)據(jù)

時，無論是否考慮擺球的半徑，圖像斜率均為號，即對g的測量沒有影響。

4n2

2.實驗小組的同學在實驗室做“用單擺測量聿力加速度的大小”的實驗。

(1)下列最合理的裝置是o

鐵夾

一林件棉繩

L鐵球

(2)為使重力加速度的測量結果更加準確，下列做法合理的有。

A.測量擺長時，應測量水平拉直后的擺線長

B.要使擺球在同一豎直面內(nèi)運動，不能做圓錐擺運動

C.擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大

D.測量周期時，應該從擺球運動到最高點時開始計時

(3)某同學課后嘗試在家里做用單擺測量重力加速度的實驗。由于沒有合適的擺球，于是他找

到了?塊雞苗大小、外形不規(guī)則的大理石塊代替小球講行實驗。

9

龍當場理

如圖1所示，實驗過程中他先將石塊用細線系好，結點為M，將細線的上端固定于。點。然

后利用刻度尺測出0歷間細線的長度/作為擺長，利用手機的秒表功能測出石塊做簡詣運動

的周期。

在測出幾組不同擺長/對應的周期T的數(shù)值后，他作出的圖像如圖2所示。

T%2

%UVX-1_.0^J0_______9_9.L0

圖I圖2

①該圖像的斜率為。

1

A.gB.-

g

4n2P

②由此得出重力加速度的測量值為m/s2。(n取3.14,計算結果保留三位有效數(shù)字)

③實驗中，該同學測量擺長時使用細線長，而非懸點到石塊重心之間的距離，這對重力加速

度測量結果的影響是：測量值真實值。(填或“v”)

答案：(1)D(2)BC(3)?C②9.86③二

解析：(1)根據(jù)單擺模型可知，為減小空氣阻力的影響，擺球應使用密度較大、體積較小的鐵

球；為使單擺擺動時擺長不變化，擺線應用不易形變的細絲線，懸點應該用鐵夾固定。故選D。

(2)測量擺長時，應在擺線豎直拉直時測量，故A錯誤；要使擺球在同一豎直面內(nèi)運動，不能

做圓錐擺運動，故B正確擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大，如擺角太大,

單擺運動將不能再看作簡諧運動，單擺周期公式不再適月，故C正確；測量周期時，為減小

測量誤差，應該從擺球運動到最低點時開始計時，故D錯誤。

(3)@由題圖1可知，設M點到石塊重心的距離為d,根裾單擺的周期公式可得7=2兀1之

4n24n2d4n2

整理得尸=——/+——，故該圖像的斜率為A=—,故選C。

ggg

4.04n2

②由題圖2可知，k=-------------XIO2s2/m=4s2/m,又％=----,解得g=又2=9.86

99.0-(-1.0)g

m/s2o

4JT24冗2d

③由上述分析有戶=——/+——，可知d是否等于零，即/是否為擺長，并不影響好/圖

gg

像斜率，而題中用斜率計算重力加速度，故重力加速度的測量結果不受影響，測量值=真實

值。

10

龍當物理

3.(2024?安徽省高三下模擬)在用單擺測量重力加速度的實驗中:

(1)某同學組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用亳米刻度尺最得從懸點到擺球最頂端的

長度Ao=97.00cm,再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖甲所示，則擺球直徑d=

cnio

III1111ii11

If［「「「「「

o1()

甲

(2)實驗時，他利用如圖乙所示裝置記錄振動周期，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放

置?激光光源與光敏電阻，光敏電阻與某自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值〃隨

時間/的變化圖線如圖丙所示，則該單擺的振動周期為T=s。

A/A!A/

JM-J-

O0.2461.2452.246ik

為

⑶根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)可得重力加速度8=m/s2(n取3.14,結果保留三位有效數(shù)

字)。

答案：(1)2.()3(2)2.000(3)9.66

解析：⑴由圖甲可知，擺球直徑為d=20mm+3X0.1mm=20.3mm=2.03cm。

(2)根據(jù)光敏電阻的特性以及單擺運動的規(guī)律，結合圖丙可知，該單擺的振動周期為7=2.246

s-0.246s=2.000So

d203

(3)單擺的擺長為Z=Lo+a=97.00cm+—cm=98.02cm,根據(jù)單擺的周期公式有7=2

1/4Ji2Z

“得重力加速度g=,代入數(shù)據(jù)解得g=9.66m/s2o

叔仔

4.(I)某同學在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，測量擺長。用米尺測得擺線長度為

99.50cm,用游標卡尺測得小鐵球的直徑如圖甲所示，則擺球的直徑為cm。

(2)用停表測量單提的周期。把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，當單擺穩(wěn)定時，投

球到達(選填“最高”或“最低”)點時開始計時，并計數(shù)為零。單擺每經(jīng)過這點時

計一次數(shù)，當數(shù)到100次時，如圖乙所示，所用的時間為s,則單擺的周期為

11

龍當場理

⑶他計算得出的重力加速度為m/s3又取3.14,結果保留兩位小數(shù))，比實際的重

力加速度要大，其原因是o

A.擺球太重B.擺角太小

C.開始計時時停表過遲按下D.實驗中全振動次數(shù)計少了

答案：(1)1.04(2)最低97.51.95

(3)10.37C

解析：(1)由題圖甲可知，擺球的直徑為1cm+4X0.1mm=1.04cm。

(2)擺球在最低點時速度最大，為減小時間測量誤差，故應從擺球到達最低點時開始計時，并

計數(shù)為零。單擺每經(jīng)過這點時計一次數(shù)，當數(shù)到100次時，單擺全振動的次數(shù)為50次，由題

975s

圖乙可知，所用的時間為1分37.5秒，即97.5s,故單擺的周期為r=-7『=l.95So

50

1()4

(3)由(1)(2)可知，該單擺的擺長為/=99.50cm+—cm=100.02cm,周期為T=l.95s,

1/4了2/4n27

根據(jù)單擺做簡諧運動的周期公式7=2冗1,解得g=[^=10.37m/s2o由可知,

g值與擺球質量太大、擺角太小無關，故A、B錯誤；若開始計時時停表過遲按下，使記錄

時間變小，次數(shù)不變，故單擺的周期測量值比實際值小，則g的測量值比實際的重力加速度

要大，故C正確；若實驗中全振動次數(shù)計少了，記錄時間不變，則單擺的周期測量值比實際

值大，則g的測量值比實際值要小，故D錯誤。

5.(2023?新課標卷)一學生小組做“用單搜測量重力加速度的大小”實驗。

(1)用實驗室提供的螺旋測微器測顯擺球直徑。首先，調節(jié)螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微

螺桿和測砧相觸時，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖a所示，該

示數(shù)為mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數(shù)如圖b所示，該示數(shù)為mm,

則擺球的直徑為nun。

12

龍當場理

(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖c所示，其中角度盤需要I固定在桿上的確定點0處，擺線在角

度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示

數(shù)為5°時，實際擺角5°(填“大于”或“小于”)。

(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50cm,則擺長為cm。實驗中觀測到從擺球

第I次經(jīng)過最低點到第61次經(jīng)過最低點的時間間隔為￡4.60s,則此單擺周期為

s,該小組測得的重力加速度大小為m/s2o(結果均保留3位有效數(shù)字，"2取/870)

答案：(1)0.007(0.006、0.007>0,008均可)20.033(20.032、20.033、20.034均

可)2().026(2().024、20.025、2().026、20.027、20.028均可，須對應前兩空的差值)

(2)大于(3)82.51.829.83

解析(1)題圖a中示數(shù)為d()=0mm+0.7X0.01mm=0.007mm,題圖b中示數(shù)為4=20

tmn+3.3X0.01mm=20.033mm,則撰球的直徑為。=4—d0=20.026mm。

(2)如圖所示，Ch為懸點，AB〃OO「A和B是角度盤上示數(shù)為5°的位置。由題意知，角度

盤固定在桿上O點時，ZAO1O=5°,由圖可知，將角度盤固定在O點上方，示數(shù)為5°時,

實際擺角/BOQ>NAOQ=5。。