函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：恒成立問題、能成立問題、導(dǎo)數(shù)新定義問題專項訓(xùn)練

考點目錄

恒成立問題能成立問題

導(dǎo)數(shù)新定義問題

考點一恒成立問題

1.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）若當(dāng)x>0時，V^-lnx-2>0,則a的取值范圍為（）

A.卜2,+00）B.[4,叫C.[4,+00）D.（4,+00）

2.（24-25高二下?新疆烏魯木齊?期末）若不等式e'+2x-l24at+21n（4at+l）恒成立，則。的值為（）

A.2B.1C.ID.；

3.（24?25高三上?福建廈門?階段練習(xí)）已知不等式ate'-INhu+x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

4.（24?25高二下?陜西榆林?期末）已知函數(shù)/（x）=c'-er-2shu,若/卜，叫+/（17）〉0恒成立，則〃的取值范

圍是（）

5.（24?25高二下?浙江杭州?期末）設(shè)函數(shù)/（x）=（4-a）（lnx-6）,若/⑴之。恒成立,則的最小值是（）

A.2-21n2B.In2C.1D.3-2ln2

6.（24-25高二下?湖北武漢?期末）關(guān)于x的不等式e2fhuYx?I2必對恒成立，實數(shù)a的取值范圍為

（）

1,I「1）

A.--,0B.--,+a?

L2」L2J

C.（一8,0]D.[0,+8）

7.（24-25高二下海南?？?期末?多選）若lnx-k4+l?0對xw（0.+8）恒成立，則￡的值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

8.（24?25高三上?湖北武漢?階段練習(xí)?多選）若對于x>0,不等式21M+2x+2?a（d+2x）恒成立，則關(guān)于整數(shù)。

的取值下列正確的有（）

A.1B.2C.3D.4

9.（24-25高二下?江蘇南京?期中）若XW（0、M）,對。+1-加-0恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為.

X

若恒成立，嗚

10.（24-25高二下?河南南陽?期末）設(shè)函數(shù)/（x）=（e、-a）ln（x-b）的最小值

為.

11.（24?25高二下?四川自貢?期末）若關(guān)于x的不等式ln（x+a）-隊S0在定義域內(nèi)恒成立，則?佗最大值

0

為.

12.(24-25高二下?甘肅白銀?期末)已知函數(shù)/。)=。欣+而川-].

⑴當(dāng)"1時，求曲線)，=〃、)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/㈤NO對xw(0,+oo)恒成立，求。的取值集合；

?Ifj

⑶設(shè)中2…x”=l,玉＞0，i=1,2,3,…證明：XYQ+Y)~2-

13.(24-25高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-o(x+l).

(1)若直線r+y+3=。是函數(shù)“幻的一條切段，求實數(shù)〃的值：

(2)對于xe(0,+8),不等式/⑴之Inx成立，求實數(shù)。的取值范圍.

14.(24-25高二下?福建三明?期末)已知函數(shù)/(x)=21nx-2ax,g(x)=ar-2x-2(aeR).

⑴若a=；，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若aeZ,且不等式/(x)?g(x)在(0,+8)上恒成立,求。的最小值.

15.(24-25高二下?江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)="K-l『+ln(2x,Y2),a￡R

⑴當(dāng)l<x<2時，r(x)<o,求。的最大值；

(2)證明：曲線y=/(x)的圖象是軸對稱圖形；

(3)若/(x)WO,求〃的取值范圍.

16.(24-25高二下?河南南陽?期末)已知困數(shù)/(x)=/+x2-xlna(。＞0且。工1)

⑴求/")的極小值：

(2)當(dāng)時，/卜)在x=l處切線的斜率為e+1,^g(x)=xf(x)-x3+x2+—

X

(i)判斷g(x)零點個數(shù)并說明理由：

(ii)函數(shù)萬(.￥)=仁11竺一仕一2■主1,若對任意的正實數(shù)X,都有"x)?g(x)恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

17.(2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=能(。＞0,且"1).

(1)當(dāng)a=c時，證明：/(丫)＞1+丫.

(2)若不等式吐12/(x)恒成立，求a的值.

18.(24?25高二下?福建福州?期末)已知困數(shù)/(工)=爐-1

⑴若g(x)=/(x)+x，求證:g(x)在R上單調(diào)遞增;

(2)若/(x)>ax在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍;

(3)求證：/[/(x)]=x在(。,+8)上有且只有1個解.

19.(2024?河北?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=x+】nx-1.

⑴若f(x)4依-左對Br>0恒成立，求A的值；

(2)若玉使|/(xj|=|/(x2)|=a成立，求證：x>

考點二能成立問題

1.(24?25高二下?四川成都期末)已知函數(shù)/(x)=e，-at-〃3>0),若存在唯一的/使得/(/)=。，則。的值為

()

A.yB.1C.D.e

2.(24-25高二下?河南鄭州?期末)已知/(x)=51-(e-l)x-ehu,g(.r)=-(x+l)-+6T,若“6(0,+8),

3x2eR,使得/aj<g(x；)成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

(2(e2l「e?)'e?'

e-OD.---

12)(2」L2]12J

3.(24?25高二下訥蒙古包頭?階段練習(xí))已知不等式。c'(x+2)<x+l(x>-2)恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值

范圍為()

(12^|「12)CD

A.—B.—C.—D.

\3eej|_3eeJ^3e2)

4.(24?25高二下?廣東廣州?期末)設(shè)函數(shù)/(x)=2xe'-ar+a,其口。<1,若存在唯一的整數(shù)小,使得

/(x0)<0,則。的取值范圍是()

A'H,1]B.卜”)C.俵,1)口.層目

5.(24?25高二下?北京?期末)若函數(shù)/(x)=?lnx+G-44存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)〃的取值范圍是()

\

(1「11(1)「1

A.--r,+8B.--r，+8C.一寸,+8D.一

6.(24?25高二下?陜西商洛?期末)已知存在兩個正實數(shù)〃?，〃(〃?>〃)，使,則實數(shù)。的取值范圍為

()

A.(e,+oo)B.(-00,e]C.(0,e)D.[e,+8)

7.(24?25高二下?河北石家莊?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)=；F-4X+；,函數(shù)8(口=.一一26+I,若對于

VX1€[1,2],3X2€[0,1],使/a)Ng(w)成立,則實數(shù)力的取值范圍是__________.

8.(24?25高二下?河南南陽?期末)已知函數(shù)=g(x)=a\nx-x(a<0),若對任意的用?1,3],總存在

使得/&)"(切，則。的取值范圍是________.

_e_

9.(2025?湖南益陽?三模)設(shè)實數(shù)/(x)=2xlnx,g(x)=ax-4f*e(0,+oo)使/(x)Vg(x)成立，則實數(shù))的取值

范圍.

10.(24-25高二下?江西?期末)若關(guān)亍x的方程辦=竺業(yè)上在區(qū)間(1,+8)上有解，則。的取值范圍是

ear+l

11.(24-25高二下?四川廣元?期末)已知函數(shù)./(x)=；V-x2.

⑴求函數(shù)/(x)的圖象在x=3處的切線方程；

⑵若f(x)<m在xw[0,3]上有解，求；?的取值范圍.

12.(2025個用?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/a)=a「eXaeR)的極小值為--.

e

⑴求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

⑵若方＞0,且存在xe(0,+8),使得/EYlnx成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

13.(24-25高二下?江蘇無錫?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=〃e+e-、為偶函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求m的值及“X)最小值；

(2)關(guān)于x的不等式"(力4-+6-1在(0,+司上恒成立，求實數(shù)人取值范圍；

⑶存在%?1,+8),使得/(%)＜3&%-冰；成立，其中。＞0,求實數(shù)a的取值范圍.

2

14.(24-25高二下?河南鄭州?期末)己知函數(shù)/(%)=蘇-g+2)x+lnx(awR),g(x)=x--.

x

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)問；

⑵若％€((),+8),3x2e[-2,-l],使得/a)4g(x2),求實數(shù)。的取值范圍.

2

15.（24-25高二下?河南南陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)/*）=。/一（（7十2）.丫十111工（461＜）名"）二%一一.

X

⑴求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若v”（0,+oo）,即引-2,-1],使得/&）4g伉）,求實數(shù)。的取值范圍.

16.（24?25高二下?江蘇南京期末）已知曲線y=/（#=+3-爾+辰+i在點（oj（o））處的切線的斜率為3,且當(dāng)

x=3時，函數(shù)/（x）取得極值.

⑴求函數(shù)的極值：

（2）若存在x?0,3],使得不等式/（x）-〃?W0成立，求〃，的取值范圍.

17.(24?25高二下?廣東廣州?期中)已知困數(shù)=(a+2)x+2alnx?￡R).

⑴若4>0,討論函數(shù)/")的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-(a+2)x,若至少存在一個與w[c,4],使得/(%)>g(x°)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.(24?25高二下?北京延慶?期末)已知函數(shù)/(x)=x+1n(—x+。)，其中a>0.

⑴當(dāng)。=2時，寫出/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(》)的極大值為0,且對V.re(-8,0],/(x)N履2(%<0)成立，求實數(shù)女的最大值;

(3)若過原點至少存在1條直線與曲線V=/(x)相切，求。的取值范圍.

考點三導(dǎo)數(shù)新定義問題

1.(23?24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中)對于三次函數(shù)/(力=/+縱2+以+“4。())，給出定義：/⑺是y=/(x)的

導(dǎo)函數(shù)，/"(x)是/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，若方程/〃(力=0有實數(shù)解方,則稱點(/，/(%))為函數(shù)J，=/3的“拐點”.經(jīng)

過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)

/\1312,5⑺/11/2、(2023)/、

以幻=/丁+3x--,呵蜀+g(麗卜…+g〔麗＞()

A.2022B.2023C.2024D.2025

2.(23-24高二下?江蘇常州?期中)設(shè)/(x)定義在R上，若對任意實數(shù)匕存在實數(shù)天,修，使得

)(占)―/(&)_/?)成立,則稱/(幻滿足，，性質(zhì)T"，下列函數(shù)滿足“性質(zhì)T”的有()

A.f(x)=x3-3xB.f(x)=ex-'C./(x)=sin2xD.fW=—^—

x+\

3.(24?25高三上?湖南?階段練習(xí))定義/(x)=/'(x)的實數(shù)根x為/(x)的“堅定點”，己知。＞0,且。工1,則下列

函數(shù)中，不存在“堅定點''的是()

A./(.r)=rtsiiuB./(v)=Ina.r

C.f(x)=x3+2x2+ax+aD./(.￥)=eai

4.(24?25高二上?陜西榆林?期末)已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若存在/使得/(/)=/'(%),則稱馬是

/(x)的一個“巧值點”.下列四個函數(shù)中，沒有“巧值點”的是()

A./(x)=ln(x+l)B.

C./(x)=sin.rD./(x)=cosx

5.（2025?江西南昌?一模）我們約定：若兩個函數(shù)的極值點個數(shù)相同，并且圖象從左到右看，極大值點和極小值點

分布的順序相同，則稱這兩個函數(shù)的圖象“相似已知/（x）=e'-ge^+G-lf,則下列給出的函數(shù)其圖象與

丁=/（1）的圖象“相似”的是（）

A.y=x2B.y=-x2C.y=x3-3xD.y-+3x

6.（24?25高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）定義滿足方程/'（x）+/（x）=l的解與叫做函數(shù)/（x）的“自足點”，則下列四

個函數(shù)：①/（%）=丁-X+3；②g（x）=x+L③力（x）=ku；④p（x）=e，-sinx+3,則存在“自足點”的函數(shù)共

有（）個.

A.IB.2C.3D.4

7.（24?25高二下?云南?期中?多選）若存在機(jī)，使得/"）之〃?對任意KG。恒成立，則函數(shù)/（x）在。上有下界，其

中小為函數(shù)/（外的一個下界：若存在“，使得對任意xw。恒成立，則函數(shù)/（x）在。上有上界，其中

M為函數(shù)/（工）的一個上界.如果一個函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.下列說法正確的是（）

A.-2是函數(shù)/（幻=》+人》＜0）的一個下界

x

B.函數(shù)/（x）=xlnx+2x有下界，無上界

c.函數(shù)/'（幻=￡有下界，無上界

X

D.函數(shù)/（幻=串有界

x+2

8.（2025?山東濰坊?二模?多選）曲線的曲率定義如下：若/'（X）是./（X）的導(dǎo)數(shù)，/"（x）是/'（》）的導(dǎo)數(shù)，則曲線

小)|

?=/（工）在點（x,7（x））處的曲率左1

則（)

A.曲線N=cosx上不存在曲率大于1的點

B.曲線），=/+x在點卜處的曲率最大

C.曲線》2+q=心,＞（））在點（0,2）處的曲率為3

D.曲線y=1nx在點（%,lnxj與（12，皿々）（工尸￡）處曲率相等，則中?＜；

9.(23?24高二下?遼寧?階段練習(xí))定義：設(shè)二元函數(shù)z=/(xj)在點(%,打)的附近有定義，當(dāng)V冏定在外而人在

.%處有改變量■時，相應(yīng)的二元函數(shù)z=/(x,y)有改變量加=/(/+-,%)-/(%,%),如果！5f存在，那么

L-Vv

稱此極限為二元函數(shù)z=/(x,y)在點(%,盟)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作￡(%,為).若z=/(x,y)在區(qū)域。內(nèi)每一個點

(xj)對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是一個關(guān)于x,y的二元函數(shù)，它就被稱為二元函數(shù)z=/(xj)對自

變量xfl勺偏導(dǎo)函數(shù)，記作已知網(wǎng)又j)=犬+/一個，若尸(x,y)=l,則￡(用力+月,(工,丁)的取值集合為_

10.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點O,若存在以。為頂點的角。，使得對于曲線

G上的任意兩個不同的點兒以恒有乙104Ka成立，則稱角a為曲線G的相對于點。的“界角”，并稱其中最小

r-1

xc+lrr>0

的“界角”為曲線G的相對于點。的“確界角”.已知曲線C：》=12,八(其中。是自然對數(shù)的底數(shù))，O為坐

——X'+U<0

116

標(biāo)原點，曲線。的相對于點。的“確界角”為夕，則尸二

ii.(2025?河北?模擬預(yù)測)若存在正數(shù)人對任意的為,/6。，|/H)-/a2),Hga)-g(x2)恒成立，則稱函

數(shù)/⑴，g(x)在加上具有性質(zhì)

⑴判斷函數(shù)g(x)=x4在12,2]上是否具有性質(zhì)“”(1[并說明理由：

⑵若函數(shù)/(M=2x-sinx,g(x)=-cosx在(吟上具有性質(zhì)“也⑻”，求人的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(X)與g(x)=xe'-lnxT在(0,+8)上具有性質(zhì)“M⑴”,且存在a,b?0,+3),”方，使得

f(a)=f(b)t求證：盤+而>2.

12.（24?25高二下?江蘇常州?期中）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個多項式困數(shù)近似表示，

具體形式為：/?（4/伉）+/（%）（入7。）+號1（、7。）2+...+/乎6%）4-（其中/⑺⑴表示/（力的

〃次導(dǎo)數(shù)〃N3,〃wN.）,以上公式我們稱為函數(shù)/（工）在x=x0處的泰勒展開式.當(dāng)今=0時泰勒展開式也稱為麥克

勞林公式.比如e'在x=0處的麥克勞林公式為：/=1+》+工/+打+…由此當(dāng)x2（）時，可以非

2!3!??!

常容易得到不等式寸之1+公'21+》+:/,6。1+.丫+:/+4;..請利用上述公式和所學(xué)知識完成下列問題：

226

⑴寫出sinx在x=0處的泰勒展開式；

（2）根據(jù)泰勒公式估算cos；的值，精確到小數(shù)點后兩位；

⑶若"力吟”1恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)層。0.9）

k2；2

13.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間。上的導(dǎo)函數(shù)為/'（X）,且/'（X）在。上存在導(dǎo)函

數(shù)/"⑴（其中/"（工）=[/'（切）.定義：若區(qū)間。上/"3＞。恒成立，則稱函數(shù)/（x）在區(qū)間。上為凹函數(shù).

⑴判斷函數(shù)/（x）=W在區(qū)間（0,+8）上是否為凹函數(shù)？并說明理口；

⑵是否存在實數(shù)%使得函數(shù)8k）=；訛2'-3/（皿._]迎-|）在區(qū)間（0,+“）上為凹函數(shù)？若存在，求實數(shù)〃的

取值范圍；若不存在，請說明理由.

（3）設(shè)AwZ且左＞0,對于任意的xe（0,+8）,不等式匕處上?＞—L成立，求k的最大值.

Xx+1

14.(24?25高二下?湖南衡陽?期末)已知困數(shù)/")的導(dǎo)數(shù)為/'(X),/'(X)的導(dǎo)數(shù)為八⑼的二階導(dǎo)數(shù)，記作

,r(x).若函數(shù)/(X)在包含%的某個開區(qū)間(。⑷上具有二階導(dǎo)數(shù)，那么

8(力=/(/)+/1^"_/)+￡^(工_/)2,我們把g(x)稱為函數(shù)/(x)在x=x。處的二階擬合函數(shù).

⑴寫出函數(shù)J，=e'在x=()處的二階擬合函數(shù)°(x),并證明/2°(幻對xe[0,+oo)恒成立；

(2)若e'+cosx2ar+2對xe[0,+oo)恒成立，求a的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)g(x)=(x-2V+〃?(..1『(切＞0)的兩個零點為Xj吃，g(x)在x=l處的二階擬合函數(shù)為〃(力，證

明：〃(不)有兩個零點七，/，且不+々＜丫3+.9.

15.(24?25高二下?浙江杭州?期末)設(shè)函數(shù)/(%)定義在區(qū)間/上,若對任意不七，…，￡￡/，有

則稱“X)為/上的下凸函數(shù)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)占=/=-=工?若函數(shù)/(1)在區(qū)間/上存

n