第三節(jié)圓的方程

才/課理標灌7

1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.

知汛體系構建必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實課前自修

定義平面上到定點的距崗等于定長的點的集合叫做圓

圓心C(a/)

標準（…椒一4二片，〉。）

方半徑為工

>程

圓心C（-茅-亨|

圓的一般x^+Dx+Ey+F^rf+^-AF>0)

義

定2

半徑EJJ。+爐T尸

方

和

程

圓當獷+EMAC時，方程表示一個點;當4+氏4尸<0時，不表示任何圖形

的

方

程

點與平面上的一點時（叫口與圓C：（#-爐+0-協(xié)2=/之間存在著下列位置關系：

圓的①|MC\>r0點M在山夕卜,H|J>r；

位置②jMCj=f?一點M在圓上,即區(qū)廠a產+（M）2=/；

關系

③jMCjVr㈡點M在幽.即（"a）2+（'-<r2

.對點自測.

I.方程.~+）2+4大+24），+2屋+4—I=0表示圓，則”的取值范圍是（）

A.（一%-2）B.0）

3

C.（-2,0）D.（-2,

3

解析：D由方程表示圓的條件得爐-C2a）2—4（2/+a—1）>0,即3q2+4a—4V0,；?一2Va〈g.

2.圓C：2x+6y=0的圓心坐標為；半徑廠=.

答案：（1,-3）V10

解析：圓Cf+），2—2x+6y=0,轉化為標準方程得（x-1）2+（），+3）2=10,所以圓心坐標為（1,-3）,半

徑為4U.

3.若坐標原點在圓（x—〃?）2+（y+出）2=4的內部，則實數(shù)機的取值范圍為.

答案：（一&,V2）

解析：???原點（0,0）在圓（x—〃7）2+（），+機）2=4的內部，???（（）一〃?）2+（0+川）2V%解騫一或VmV近.

4.若圓的方程為依+2y+S=0,則當圓的面枳最大時，圓心坐標為.

答案：（0,-1）

解析：圓的方程/+產+履+2），+產=0化為標準方程為（獷4）2+（），+1）2=1_苧?.?,=1―94,"=0

時，?最大.此時圓心為（0,-I）.

5.（2024.徐州模擬）已知圓經過點（3,0）和（1.一2）,圓心在直線工+2），-1=0上,則圓的標準方程

為.

答案：（X—1）2+）,2=4

解析：點（3,0）和（1,-2）的中點坐標為（?，等）=（2,-I）,過點（3,（））和（I,-2）的直線的

斜率為號子=1,故該兩點連接的線段的垂直平分線方程為），+l=—（x-2）,即x+y—1=0.聯(lián)立

（x+2y-l=0t解得「二1，即圓心坐標為a,o）.故半徑為3—1=2.所以所求圓的標準方程為（x-1）

（x+y—1=0,ly=0,

常用結論

1.以A（X|,V）,B（x2??）為直徑端點的圓的方程為（A—X1）（X—X2）+（y—>,|）（>一以）=0.

2.圓心在任一弦的垂直平分線上.

H應用

1.以4（3,-I）,B（-2,2）為直徑的圓的方程是（）

X—y-8=0

x—y—9=0

C.『+>2+x+y—8=0

D.A-+>2+x+y-9=0

解析：A由結論1得，圓的方程為3）（x+2）+（y+1）（y—2）=0,整理得f+y2—x—y—8=0,故選

A.

2點M,N是圓/+）?+履+2），-4=0上的不同兩點，且點M,N關于直線x—y+1=0對稱，則該圓的半徑等于

A.2aB

C.3D.9

解析：C由結論2可知直線/：%—），+1=0經過圓心，所以一^+1+1=0,女=4.所以圓的方程為F+32+4x+2y

—4=0,圓的半徑r=」5+持=3,故選C.

'考點?分類精選考點典例研析技法重悟通課堂演練

求圓的方程

［考點一），

（基礎自學過關）

1.圓心在），軸上，半徑長為1,且過點A（1,2）的圓的方程是（）

A.F+（），-2）2=1Bf+（y+2）2=1

C.（X—1）2+（廠3）2=1D.f+（y—3）2=4

解析：A根據(jù)題意可設圓的方程為f+（），一。）2=1,因為圓過點A（1,2）,所以正+（2—。）2=1,解得力

=2,所以所求圓的方程為f+（y-2）2=l.

2.已知圓C的圓心坐標是（0,m）,若直線2x-y+3=0與圓。相切于點A（2,7）,則圓。的標準方程

為?

答案：.0+(j'-8)2=5

解析：如圖所示，由圓心C(0,〃?)與切點A的連線與切線垂直，得音=一;，解得〃?=8.所以圓心坐標為(0,

I22

8),半徑為(2-0)+(7-8)=百.所以圓。的標準方程為爐+(丁一8)2=5.

3.(2022?全國甲卷14四)設點M在直線〃+,—1=0上，點(3,0)和(0,1)均在0M上，則。M的方程

為?

答案：答—1)2+(y+1)2=5

(2a+b—l=0,僅=i,

解析：法一設。M的方程為Cx~a)2+Cy—b)2=r2,則｛(3—a)?+82個2,解得，匕=—1，.?.。用的方程

la2+(1—b)2=7*2,1"=5.

為(x—1)2+(y+1)2=5.

法二設。M的方程為X2十)?十，+/=0(D2H-E2-4F>0),貝UM(一，一勻，

，2x(-^)+(-|)-l=0,(D=-2,

?I94-3D+F=0,解得，E=2,

、1+E+F=O,\F=~3,

，。何的方程為『+)2—2x+2y—3=0,即(x—1)2+(y+1)2=5.

法三設A(3,0),B(0,1),OM的半徑為r,則心,=三=一：，AB的中點坐標為(|,分，JAB的垂直平

分線方程為y—：=3(x—，，即版一〉一4=().聯(lián)立得>―4二°,解得必(匕一]),.?./=|“人I2=(3-

.212/12x+y-l=0,

1)2+[0-(-1)產=5,???OM的方程為(x-l)2+()，+1)2=5.

練后悟通

求圓的方程的兩種方法

求

圓

的

方

程

與圓有關的軌跡問題

0^1?:

(師生共研過關)

[例1](1)點M與兩個定點O(0,0),P(2,0)的距離的比為3：1,則點M的軌跡方程為

(2)已知RSA8C的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),則直角頂點C的軌跡方程為.

答案：(1)(x--)2+/=-(2)(x-1)2+^=4()，W0)

416

卜十V

解析：（1）設點M（x,y）,由題知=3,兩邊平方化簡得21+2k一9工+9=0,即（X—；）2+9=

J(x-2)2+y2

白，所以點M的軌跡方程為（L》2+）2=白

16416

（2）法一設C（x,>'）,因為A,B,C三點不共線，所以yWO.因為AC_LBC,且8C,AC斜率均存在，所以

kAckc=-1，又心c=°-，kBc=所以七一^=—1,化簡得f+）2—2丫一3=0.因此，直角頂點。的軌跡方

Bx+lx—3x+1X—3/

程為（X-1）2+^=4（y#0）.

法二設的中點為由中點坐標公式得。（1,0）,由直角三角形的性質知ICOI=2IABI=2.由圓的定

義知，動點C的軌跡是以。（1,0）為圓心，2為半徑的圓（由于人，B,C三點不共線，所以應除去與x軸的交

點）.所以直角頂點C的軌跡方程為（X—1）2+/=4（）諾0）.

解題技法

求解與圓有關的軌跡（方程）的方法

（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；

（2）定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；

（3）幾何法：利用圓的幾何性質列方程；

（4）代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式求解.

提醒要注意題目設問是求動點的軌跡還是動點的軌跡方程.

E訓練

1.過圓C：（X-3）2+（），+4）2=4外一點尸（X,），）引該圓的一條切線，切點為Q,PQ的長度等于點尸到原點

。的距離，則點P的軌跡方程為（）

A.8x-6y-21=0B.8x+6）—21=0

C.6x+8），-21=0D.6x-8j-21=0

解析：D由題意得，圓心。的坐標為（3,-4）,半徑r=2,如圖.因為IPQI=IPOI,且尸。_LCQ,所

以IPOI2+3=|PC|2,所以/+）2+4=（x-3）2+（>+4）2,即64一8），-21=0,所以點尸的軌跡方程為6x

-8y-2l=0.

2.（2024?煙臺一模）若長為10的線段的兩個端點4,8分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡

為.

答案：以（0,0）為圓心，5為半徑的圓

a+o_

a

n\/.2"，代入

（9=y,U=2y,

+〃=]00,得4f+4）2=100,即f+）2=25,即點M的軌跡為以原點（0,0）為圓心，5為半徑的圓.

與圓有關的最值問題

（定向精析突破）

技法，利用幾何性質求最值

【例2】（2024?紹興一模）已知點（x,y）在圓（x-2）24-（y+3）?=］上

（1）求訂I勺最大值和最小值；

X

（2）求x+y的最大值和最小值；

（3）求J/+y2+2%—4y+5的最大值和最小值.

解：（1）（可視為點（x,y）與原點連線的斜率，（的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的

最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.

設過原點的直線的方程為），=依，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即^^=1,解得2=-2+竽

或2—2—當，

?5

??三的最大值為一2+竽，最小值為一2一竽.

X33

（2）設，=%+>,則y=—x+f,/可視為直線y=-x+f在y軸上的截距，

???x+.y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的

截距.

由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，

即12+\）*=］,解得，=四一1或

V2

的最大值為也一1,最小值為一或一1.

（3）Jx2+y2+2x-4y+5=4-1）?+（y—2）；求它的最值可視為求點（》,y）到定點（—1,2）的距

離的最值，可轉化為求圓心（2,-3）到定點（—1,2）的距離與半徑的和或差.

又圓心到定點（一1,2）的距離為例，

；?3+丫2+2%—4y+5的最大值為癡+1,最小值為g―|.

解題技法

與圓有關的最值問題的三種幾何轉化法

［斜率型卜［形如“=獸形式的最值問題

,［橫距型卜形如"=ax+〃y形式的最值問題

,3巨離型卜形如"二（x-a）2+（.y-A）2形式的最值問題

技法2利用對稱性求最值

【例3】（2024?衡水聯(lián)考）已知A（0,2）,點P在直線x+y+2=0上，點。在圓C：x2+y2-4x-2y=0

上，貝I」I以I+IPQI的最小值是.

答案：2V5

解析：因為圓C：『+）2一以一2）,=（）,所以圓C是以。（2,1）為圓心，半徑廣=遍的圓?設點4（0,2）關于直

m+0,n+2

I--1--+2o=n0>（m=~4,

__解得］__故AY-4,一2）.連接4c交

（n2

m—0，，

圓。于Q（圖略），交直線x+y+2=0于P,此時，IPAI+IP。I取得最小值，由對稱性可知IPAI

+I夕。I=I4了I+IPQI=IA'。I=IA'CI-r=2V5.

解題技法

求解?形如IPMI+IPNI(其中M,N均為動點)且與圓C上動點有關的折線段的最值問題的基本思路：

(1)“動化定”，把與圓上動點的酷離轉化為與圓心的距離；

(2)“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.

技法3建立函數(shù)關系求最值

【例4】(2024?交慶模擬)設點。(x,y)是圓：/+(丁一3)?=1上的動點，定點A(2,0),8(-2,

0),則可?麗的最大值為.

答案：12

解析：由題意，知方=(2—x,—y),而=(—2—x,—>),所以瓦??麗=1+》2—4,由于點P(x,>,)是圓

上的點，故其坐標滿足方程.F+(>-3)2=1,故f=_(y-3)2+1,所以西.方=一(),-3)2+1+9-4=6y

一12.由圓的方程f+(y-3)2=1,易知2WyW4,所以當y=4時，麗?麗的值最大，最大值為6X4—12=12.

解題技法

根據(jù)題中條件列出相關的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)或基本不等式的性質求最值.

E訓練

2

1.(2023?全國乙卷11懣)已知實數(shù)心1y滿足f+y—4x—2)，-4=(),則x—y的最大值是()

A.1+逋B.4

C.I+3V2D.7

解析：C法一由題意，得實數(shù)x,y滿足(x—2)2+(y-1)2=9,表示圓心為點(2,1),耳徑為3的圓.設

x—y=i,則直線x—y—f=0與圓(A—2)2+Cy—1)?=9有公共點，所以圓心到直線x—y—.=0的距離d=

?2一「W3,解得l一3&WfWl+3&.故選C.

法二由題意，得實數(shù)x,y滿足(X—2)2+()，-1)2=9.設x=2+3cos0,y=1+3sin6,8￡[0,2n],則x—y

=1+3cos0-3sin0=1+3>/2cos(0+-)W1+3夜，當0=勺+2而(&￡Z)時取等號.故選C.

44

2.已知動點P(x,)，)滿足r+尸一IxI-I.VI=0,。為坐標原點，則IPOI的最大值是.

答案：魚

解析：方程『+產-IxI—IyI=0可以轉化為(IxI-i)2+(IyI-1)2=1,圖象如圖所示，所以動點P

(x,j)的軌跡為原點和四段圓瓠.由于對稱性，僅考慮圓弧(A—2+(y-1)2=|(“20,)，20),顯然，當點

尸為(1,1)時，I尸OImax=J2.

跟蹤檜測，關健能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習

A級?基礎達標

1.設aER,則“〃>2”是“方程/+產+”—2)，+2=0表示圓”的(

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：A方程1+），2+小一2》+2=0表示圓，則有￡>2+E2—4r=a2+4—8>o,解得。>2或。<一2,則“a>

2”是“。>2或〃<一2”的充分不必要條件，所以“。>2”是“方程/+）?+3—2），+2=0表示圓”的充分不必

要條件.故選A.

2.（2024?宿遷模?擬）圓/+）2+4匯-1=0關于點（0,0）對稱的圓的標準方程為（）

A.f+）2—4x-1=0

Bf+（y-2）2=5

Cf+）2+8x+15=（）

D.（x-2）2+/=5

解析：D由題意可得圓的標準方程為（x+2）2+/=5,所以圓心為（一2,0）,半徑為遙，因為點（一2,0）

關于點（0,0）的對稱點為（2,0）,所以關于點（0,0）對稱的圓的標準方程為（x-2）2+/=5,故選D.

3.點A為圓（x—1）2+）,2=i上的動點，尸A是圓的切線，|幺|=1,則點尸的軌跡方程是（）

A.（x-1）2+y2=4B.（x-l）2+/=2

C.,2=2vD.y2=-Zv

解析：B?/IPAI=1,???點〃和圓心的距離恒為魚，又圓心坐標為（1,0）,設P（x,y）,???由兩點間的距

離公式，得（A—1）2+J2=2.

4.（2024?蘭州模擬）若點（〃+l,a-\）在圓/+》2—2緲-4=0的內部，則。的取值范圍是（）

A.t/>1B.OVaVl

C.-l<a<-D.aVl

5

解析：D由題可知，半徑r=Va2+4,所以把點（。+1,1）代入方程，則（〃+1）2+（a-1）2-

2a（?-1）-4<0,解得aVl,所以a的取值范圍是aV1,故選D.

5.（多選）已知△ABC的三個頂點為A（-1,2）,B（2,I）,C（3,4）,則下列關于△ABC的外接圓圓M的

說法正確的是（）

A.圓M的圓心坐標為（1,3）

B.圓"的半徑為遙

C.圓M關于直線x+y=O對稱

D.點（2,3）在圓M內

解析：ABD設△A3C的外接圓圓M的方程為*+9+。X+￡>+r=0（》+爐一4足>0）,貝"

1+4—0+2E+F=0,（D=-2,

（4+1+2D+E+F=0,解得｛E=_6,所以△ABC的外接圓圓M的方程為f+），2—21—6）葉5=0,即（%—

I）2+（y-3）2=5.故圓M的圓心坐標為（1,3）,圓M的半徑為遙，因為直線x+y=O不經過圓M的圓心

（1,3）,所以圓歷不關于直線x+y=O對稱.因為（2-1）2+（3-3）』1<5,故點（2,3）在圓”內.

6.（多選）已知圓M：『+），一心一1=0,點P（x,），）是圓M上的動點，則下列說法正確的有（）

A.圓M關于直線x+3.y—2=0對稱

B.直線x+），=0與M相交，弦長為g

0=冷的最大值為3

D.『+）2的最小值為9-4V5

解析：ACD圓M的標準方程為(入一2〉2+)2=5,圓心為M(2,0),半徑，=6，圓心M(2,0)在直線

3)，-2=0上，所以圓M關于直線工+3)，-2=0對稱，A選項正確；/(2,0)到直線x+)，=0的距離為4=*=直

〈遍，所以直線x+y=0與圓M相交，弦長為2卜一弓2=2匹^=26,B選項錯誤；，二喜二點畀，表示圓

上的點(x,y)與點(一3,0)連線的斜率，如圖，其最大值為了工==；，C選項正確；『十尸表示圓上

府22V5

的點(.r,y)到原點的距離的平方，其最小值為(遍-2)2=9—4尻D選項正確.故選A、C、D.

7.(2024?石室中學模擬)已知點尸在圓『+)，2=1上，點A的坐標為(6,0),。為原點，則方?通的取值范圍

為.

答案：[30,42]

解析：依題意得一iWxWl,設P(x,y),所以Z5=(—6,0),AP=(x—6,y),所以而下=(—6,

0)?(A-6,y)=一6%十36,所以當工=一1時，萬有最大值42,當x=l時，市L3?有最小值30,所以取值

范圍為[30,42].

8.已知圓心為C的圓經過點4(-1,1)和網一2,-2),且圓心在直線/：工+)，-1=0上

(1)求圓心為C的圓的標準方程；

(2)設點尸在圓C上，點Q在直線I-y+5=0上，求IPQI的最小值.

解：(1)設圓的標準方程為(x-?)2+(y-b)2=r(r>0),

,??圓經過點A(—l,1)和8(—2,—2),

且圓心在直線/：x+y—1=0_t,

22

(一1-a)+(1-Z>)=r，卜=3,

22

(-2—a)2+(-2-b)=rf解得‘b=-2,

(a+b-1=0,=5.

，圓C的標準方程為(x-3)2+(y+2)2=25.

(2)???圓心C到直線工一)，+5=()的=離為d=二哭si=5企>5,???直線與圓C相離,

IPQI的最小值為d-r=5&-5.

B級?綜合應用

9.已知I圓C：(x-V3)2+2=1和兩點A(一，，0),BCt,0)(r>0),若圓。上存在點P,使得

NA尸8=90。，則，的取值范圍是()

A.(0,2]B.[l,2]

C.[2,3]D.[l,3j

解析：D圓C：(x-V3)2+(y-1)2=1的圓心為C(45,1),半徑為1,因為圓心C到O(0,0)距離為

2,所以圓C上的點到。(0,0)的距高最大值為3,最小值為1,又因為NAP8=90。，則以A8為直徑的圓和圓

。有交點，可得IPOI=|MBI=/,所以有1WZW3,故選D.

10.(2024?紹興質檢)等邊△A8C的面積為9b，且△相<?的內心為M,若平面內的點N滿足IMNI=1,則

麗??布的最小值為()

A.-5-2V3B.-5-4V3

C.-6—2A/3D.—6—4A/3

解析：A設等邊aABC的邊長為a,則面積S=f〃2=9百，解得。=6.以A3所在直線為x軸，A8的垂直平分線

為)，軸建立如圖所示的平面直角坐標系.由M為aABC的內心，則M在0C上，且OM=：OC,則A(—3,0),B

(3,0),C(0,3V3),M(0,V3),由IMNI=1,則點N在以M為圓心，1為半徑的圓上.設N(X,>-),

則f+(y-V3)2=1,即f+),2—2、gy+2=0,且V5—1W)W1+V5,又前=(一3一x,—y),NB=(3—x,

一y)，所以海?麗=(x+3)(x-3)=A-+/-9=2V3y-11>2V3X(6一1)-11=一5一28.

11.(多選)設有一組圓Q：(x-k)2+(y—A)』4(2￡R),下列命題正確的是()

A.不論攵如何變化，圓心。始終在一條直線上

B.所有圓Q均不經過點(3,0)

C.經過點(2,2)的圓C人有且只有一個

D.所有圓的面枳均為4兀

解析：ABD圓心坐標為(k,k),左直線)，=x上，A正確；令(3—k)2+(0—左)2=4,化簡騫2S一6女+5=

0,VA=36-40=-4<0,，2F-6A+5=0無實數(shù)根，B正確；由(2~k)2+(2—左)？=%化簡得標一軟+2

=0,VA=16-8=8>0,有兩個不相等實根，，經過點(2,2)的圓Q有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2,得圓

的面積為4兀，D正確.

12.(多選)在平面直角坐標系中，點A(-1,0),B(1,0),C(0,7),動點尸滿足IPAI=V2\PB\,

則()

A.點P的軌濟方程為(工-3)2+y2=8

B.APA8面積最大時，IPAI=2A/6

C.NPAB最大時，IPAI=2V6

D.點P到直線入。的距離的最小值為?

解析：ABD設P(x,y),由I尸4I=&IPBI得，IPAI2=2IPBI所以以一(-1)]2+(>-0)2=

2[(x-1)2+(y-0)2],化簡得(x-3)2+/=8,A項正確：由對A的分析知)e[—2口，2遮],所以△尸4B

的面積S=：IABI.I)，I仁(0,2V2],當△面積最大時，P點坐標為(3,2V2)或(3,—2或)，此

時II=J[3-(-1)]2+(±2A/2-0)2=2V6,B項正確；記圓(x-3)2+>^=8的圓心為。，則。(3,

0),當NPA8最大時，PA為圓。的切線，連接PD(圖略)，則1PAi2=|A。I2一|p。|2=42—(2>/2)2=

8,IPAI=2讓，C項錯誤；直線AC的方程為上一)，+7=0,所以圓心。(3,0)到直線AC的走離為產里、

j72+(-i)2

所以點。到直線AC的距離的最小值為笠^—2&=警，D項正確.故選A、B、D.

13.已知點A為曲線)，=x+：(x>0)二的動點，8為圓(A—2)2+)2=1上的動點，則|ABI的最小值

為.

答案：3

解析：由對勾函數(shù)的性質，可知）ux+1^4,當且僅當x=2時取等號，結合圖象可知當A點運動到（2,4）時能

使點A到圓心的距離最小，最小為4,從而I43I的最小值為4-1=3.

14.已知點P（2,2）,圓C：/+9-8），=0,過點。的動直線/與圓C交于A,4兩點，線段A4的中點為M,。

為坐標原點.

（1）求點M的軌跡方程：

（2）當I。0I=IOMI時，求/的方程及△POM的面積.

解：圓C：f+（）,—4）2=42,故圓心為C（0,4）,半徑為4.

(1)當C,M,P三點均不重合時，ZCMP=90°,所以點M的軌跡是以線段PC為直徑的圓（除去點P,C）,

2Z2

線段PC中點為(1,3),|IPCI(2-0)+(2-4)=V2,故點M的軌跡方程為(工-1)+()，-3)

2=2（了會2,），W2且xHO,yW4）.

當C,M,P三點中有重合的情形時，易求得點M的坐標為（2,2）或（0,4）.

綜上可知，點M的軌跡是一個圓