微專題?,幾何法求空間角與距離

幾何法求空間角與距離主要是轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離，進(jìn)而

轉(zhuǎn)化為求解三角形的邊、角問題.

一、幾何法求空間角

[0U1]（1）在直三棱柱A8CA出Ci中，ABJ.BC,AB=BC=AA},D,E分別為AC,3c的中點(diǎn)，則異面直

線G。與幼￡所成角的余弦值為（）

A出

?3

C.叵

10

（2）如圖，已知正四棱錐/MBCO底面邊長為2,側(cè)棱長為4,W為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線8M與底面ABC7）所

成角的正弦值為（）

.V14

AV

C-

（3）如圖所示，在三棱錐S-A8C中，△SBC,△48C都是等邊三角形，且8C=2,SA=?則二面角&8cA的

大小為.

答案：(1)D(2)D(3)60°

解析：（1）設(shè)A8=2,取4囪的中點(diǎn)F,連接GF,DF,DE,則當(dāng)/=/出，因?yàn)?。，E分別為AC,8c的中

點(diǎn)，所以O(shè)E〃/W,DE=-AB.因?yàn)锳Ii〃48,Ah=AB,所以DE〃81尸=￡）區(qū)所以四邊形?！?尸為平行

四邊形，所以DF〃&E,所以NG。尸為異面直線G。與SE所成的角或補(bǔ)角.因?yàn)?B_L8C,AB=BC=AAt=2,

。,七分別為人C,的中點(diǎn)，所以0產(chǎn)=8逐=J12+22=V5,GF=5+22=遙,CiD=J（V2）瓜,

所以cos/GO尸=槳=*=粵.故選D.

DF7s10

（2）作PO_L底面48C。于O,連接。C,因?yàn)檎睦忮FP-A8CD底面邊長為2,故OC=&,又側(cè)棱長為4,故

PO=JpC2-OC2=g.又M為側(cè)棱PC中點(diǎn)，取OC的中點(diǎn)F,連接MF,BF,則M尸$0,且M尸，平面

「BC

ABCD,故是8M與平面A8CZ）所成的角，且M"=三尸。=".又cosN8cM=三=三.在△BCM中，由余弦定

22PC4

理有BM=JBC2+CM2-28C?CMcos48cM=逐.在△中，5仙/加3?=竺=厘=叵.故直線與底面

\BM2V66

4BCZZ所成角的正弦值為等.

（3）如圖所示，取的中點(diǎn)。，連接A。，SD,因?yàn)椤魅?C,△SBC都是等邊三角形，所以SB=5C,AB=

AC,因此有AQ_L4C,SQJ_BC.所以NAOS為側(cè)面S8C與底面ABC所成的二面角的平面角.又因?yàn)?C=2,所以

SD=JSB2-BD2=J4-1=V3,AD=JAB2-BD2=^4-1=73,而SA=g,所以△SD4是正三角形，所以

ZADS=60°,即二面角S-BC-A的大小為60°.

點(diǎn)評幾何法求空間角主要分為3個(gè)步驟：①作（找）南；②證明這個(gè)角就是要求的角；③計(jì)算.其中作（找）角

是關(guān)鍵，對于異面直線所成的角，一般是通過平移一條直線直至與另一條直線相交，從而得到所求角的平面角；

對于線面所成的角，一般是在直線上找一點(diǎn)，作平面的垂線，連接斜足與垂足得到直線在平面上的射影，直線與

它在該平面上的射影所成的角就是所求角的平面角：對于平面與平面所成的角（二面角），一般可通過定義法、

垂面法、垂線法等得到所求角的平面色.

、訓(xùn)練

1.在三棱柱ABCABiG中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)。是BG與BC的交點(diǎn)，則4。與平面BBGC

所成角為正弦值是（）

解析：C取8c的中點(diǎn)E,連接。E,AE,如圖.依題意三棱柱為正三棱柱，設(shè)棱長尤2,則AE=

V3,DE=\,因?yàn)?。，E分別是8G和8C的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃CG,所以。E_L平面A8C,所以DE_LAE,所以

AD=JAE?十。EZu>/jrpfnz.因?yàn)锳E_LRC,AE±DE,所以AE_L平面BBIGC,所以N'ADE是AD

與平面BB6C所成的角，所以sin4DE=^=冬所以4）與平面BSGC所成角的正弦值是

AD22

G

D

Xl^E

B

2.在正四棱錐P-ABCO中，W為棱A8上的點(diǎn)，且P4=AB=2AM,設(shè)平面E4D與平面PMC的交線為/,則異面直

線/與BC所成角的正切值為.

答案：與

解析：連接CM并延長交。A的延長線于點(diǎn)N,則點(diǎn)N為平面與平面PMC的公共點(diǎn)，所以/即為直線PM

因?yàn)?C〃AO,所以NPNO或其補(bǔ)角為異面直線/與8C所成角，取D4的中點(diǎn)0,連接0P,則0P_LA。，設(shè)尸A

=AB=2AM=2,則。4=1,0P=?0N=3,所以tan/PNO=^=苧，所以異面直線/與4C所成角的正切值

為W

二、幾何法求距離

【例2】（1）如圖，在四棱錐/MBCO中，P8_L平面ABCQ,PB=AB=2I3C=4tABLBC,則點(diǎn)C到直線PA

的距離為（）

A.2V3

C.V2

（2）如圖所示，在長方體/WCQ-4由Ci小中，AD=AAi=2f/W=4,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)石到平面AC。

的距離為（）

D、_C,

4GT7

二*

AEB

A.I

D.V2

答案：（1）A（2）B

解析：（1）如圖，取PA的中點(diǎn)M,連接8W,CM,因?yàn)椤?_L平面A3CO,又3CU平面4BC。，所以

PB±BC,又因?yàn)锳8_L8C,PBCAB=B,PB,A8U平面R4B,所以BC_L平面P48,又PAU平面B4&所以

BC1PA,BCtPB,因?yàn)镸是PA的中點(diǎn)，PB=AB,所以8M_LPA,又BC_LP4,BMCBC=B,BM,BCU平面

BCM,所以玄_L平面BCM,又CMU平面8cM，所以CM_LPA,即CM為點(diǎn)C到直線PA的距離.在等腰

中，BM=gPB=26,在RIABCM中，CM=jBM2+Bd8+4=243,故點(diǎn)C到直線PA的距離為

2Vs.

(2)設(shè)點(diǎn)￡到平面AC。1的距離為〃，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱A3的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面ACS的距離等于點(diǎn)4到平面

AC。的距離的一半，又平面AC。過6。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)6到平面AC。的距離等丁點(diǎn)。到平面ACA的距離，由

==

等體積法匕).ACDI=%IMCD，所以扛ACDt'2h^S^ACD'DD],SA4a)=；X2X4=4,DD\2,在△ACDi中，AD\=

2V2,AC=CDi=2y[5,所以S4皿=32魚xj(2西)？一(四)”=6,M1X6X2/?=1X4X2,解得〃即點(diǎn)

￡到平面AC。的距離為泉

點(diǎn)評(1)求點(diǎn)線距一般要作出這個(gè)距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面積法求解；

(2)求點(diǎn)而距時(shí)，若能夠確定過點(diǎn)與平面垂直的直線，即作出這個(gè)距離，可根據(jù)條件求解，若不易作出點(diǎn)而距，

可借助于等體積法求解.

、訓(xùn)練

1.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐/M8CQ中，側(cè)棱PA_L底面ABC。，NABC=90。，PA=AB=BC=2,

AD//BC,則AD到平面PBC的距離為.

答案：女

解析：因?yàn)槿薕〃BC,4/W平面P8C,8CU平面P8C,所以AD〃平面P8C,所以人。到平面P8C的距離等于點(diǎn)

A到平面P8C的距離，因?yàn)閭?cè)棱P4_L底面A6CQ,所以A4_LA3,PA上8C,因?yàn)镹/WC=90。，AB±BC,因?yàn)?/p>

PADAB=A,所以8C_L平面B4B,所以BC1.PB,因?yàn)槭珹=AB=8C=2,所以尸B=2a,設(shè)點(diǎn)八到平面P8C的

距離為d,則由Vw/M8c得。A.SAA8C=YS""，所以：X2X：X2><2=；dX：X2魚X2,得仁企，

所以A。到平面PBC的距離為傘.

2.如圖，在直三棱柱A6C-A|8iCi中，A6=4,AC=BC=3,〃為/W的中點(diǎn).

ADB

(1)求點(diǎn)。到平面4A3田的距離：

(2)若A8|_LAC，求二面角A]?CD?C的余弦值.

解：(1)由八C-4C,。為人A的中點(diǎn)，得8J_八氏又C￡>J_/Ui,AiAC八4一八，故?！╛1平面人]八所以點(diǎn)C

到平面AABBi的距離為CO=\BC2-BD2=y[5.

（2）如圖，取線段4閏的中點(diǎn)G,連接。則。￡）I〃A4I〃CG.

又由（1）知CO_L平面448S,故CQ_L4|O,CDIDD,,所以乙4。。1為所求的二面角Ai-CQ-G的平面角.

因?yàn)闉锳C在平面4/W3上的射影，又已知人歷_LAC,由三垂線定理的逆定理得ABI_LAI。，從而

NAiABi,NAiDA都與N41A/3互余，

因此NAIABI=NAOA,所以RsAMQSRQ/九人必，因此絲1=皿，即人/=A￡M由?=8,得A%=2魚.

ADAA^

從而AQ=/力否+力。2=2百，所以在Rs4?！?gt;1中，cos/A]O￡）i=迫=g=漁.

\AtDAtD3

即二面角4-CQ-G的余弦值為￡

跟蹤檢測I:關(guān)催能力分層施練素養(yǎng)重提升……I課后練習(xí)

A級?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知平面a,直線加，〃，若〃ua,貝I]是“機(jī)J"a”的（）

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C由〃Ua,加_1_〃，不一定得到加_La；反之，由〃u%m_La,可得若〃Ua,則“加_1_〃”是

的必要不充分條件.

2.如圖，在斜三棱柱/WCA由Ci中，NB/1C=90。，BCilAC,則G在底面/18C上的射影，必在（）

A.直線AB上B.直線BC上

C.直線AC上D.△人8c內(nèi)部

解析：A連接AG（圖略），由AC_LA8,AClBCi,ABQBCt=B,得AC_L平面48G.YACU平面ABC,，平

面八〃GJ?平面ABC,，G在平面八8C上的射影H必在兩平面的交緩人B上.

3.（2024?九省聯(lián)考）設(shè)a,p是兩個(gè)平面，切，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a_L°,m〃a,I//p,則〃?_L/

B.若/〃匚a,/cp,m//l,則a〃p

C.若anp=m,/〃a,/〃仇則〃?〃/

D.若m_La,/±P，m//l,則a_Lp

解析：C如圖，在正方體ABCQ-A山iGDi中，對于A：設(shè)平面a為平面A8CQ,平面。為平面AODNi,/〃=

BiG,i=BC,m〃a,，〃仇a±p,但〃?〃/,故A錯(cuò)；對于B：〃?=BC,平面a為平面ABC。，l=ADt平面P為

平面ADQIAI,此時(shí)mUa,/up,m//1,但a與0不平行，B錯(cuò)；對于D：平面a為平面ABCQ,平面0為平面

4BCDi,w=A4i,l=BBi,此時(shí)m_La,/ip,m//l9但a與。平行不垂直,D錯(cuò).

4.如圖，設(shè)平面aG平面p=PQ,EGJ■平面a,H/_L平面a,垂足分別為G,，.為使PQ_LG〃，則需增加的一個(gè)條

件是（）

A.石/J_平面aB.Er_L平面p

C.PQLGED.PQLFH

解析：B因?yàn)镋GJ_平面a,PQU平面a,所以EGJLPQ.若平面。，則由尸Qu平面仇得EFJ_PQ.又EG與

為相交直線，所以PQJ_平面所以夕QJ_G”.

5.（多選）如圖，在三棱錐V-A8c中，VO_L平面A6C,OWCD,VA=VB,AD=BD,則卜列結(jié)論中一定成立的是

（）

A./4C—

B.ABLVC

C.VC1VD

D.S&VCD'^—5AABCyo

解析：ABD???VO_1_平面ABC,ABU平面ABC,：.VO1AB/：VA=VB,AD=BD,，W)_LA8.又「VOAVO=

V,???/18J_平面VCD又〈COU平面VC。，???人8_1（7。.又:4。=8。，：.AC=BCt故A正確；?□，。^平面上。，

：.AB±VC,故B正確；VSAvco=|vaCD,SAABC=^AB-CD,VCD-AB=ABCVO,故D正確.由題中條件無法

判斷VCLVD,故選A、B、D.

6.（多選）如圖，在長方體ABCQ-A出GDi中，AA]=AB=4,BC=2,M,N分別為棱Gd，CC的中點(diǎn)，貝1J

A.A,M,N,8四點(diǎn)共面

B.平面ADM_L平面CDD\C\

C.直線BN與所成的角為60。

D.BN〃平面AQM

解析：BC如圖所示，對于A中，直線八A7,ZW是異面直線，故4,M,N,〃四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤;

對于B中，在長方體中，可得AQ_L平面COQiG,所以平面4QM_L平面CO5G,故B正確;

44

對于C中，取CO的中點(diǎn)O,連接B。，ON,則8|M〃80,所以直線BN與SM所成的角為NN80(或其補(bǔ)角).

易知△BON為等邊三角形，所以/N8O=60。，故C正確；

對于D中，因?yàn)锽N〃平面A4DQ,顯然用V與平面AOM不平行，故D錯(cuò)誤.

7.已知/AC8=90。，P為平面A8C外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到NACB兩邊AC,8C的距離均為V5,那么點(diǎn)P到平面

48c的距離為.

答案：魚

解析：如圖，過點(diǎn)P作。。平面ABC于。，則夕。為點(diǎn)。到平面ABC的距離.再過。作。從1_A。于￡,OFVBC

于E連接PE,PF,則PE_LAC,PFtBC.所以PE=PF=?所以。F=。凡所以CO為N4CB的平分線，即

NACO=45。.在RSPEC中，PC=2,P￡=V3,所以CE=1,所以O(shè)E=1,所以P0=JPE2~OE2=

J(V3)2-l2=V2.

8.如圖，在四棱錐P-/WCQ中，底面ABC。為矩形，平面尸4。_1_平面ABC。，PALPD,PA=PD,E,產(chǎn)分別為

AD,PB的中點(diǎn).

(1)求證：PE1BC；

(2)求證：平面PA8_L平面PCQ；

(3)求證：EF〃平面PCD

證明：(1)因?yàn)橐?。。，石為AO的中點(diǎn)，

所以PEVAD.

因?yàn)榈酌?8CD為矩形，

所以BC/7AD,所以尸EJ_8C

(2)因?yàn)榈酌?BC。為矩形，所以力8_LAD

又因?yàn)槠矫鍼A。J"平面ABC。，平面尸4。0平面4BCO=AZ),ABU平面4BCD,

所以A6_L平面PAD,

因?yàn)镻DU平面PAO,所以A8_LP。.

又因?yàn)镻A_LP。，ABQPA=At

所以PD_L平面PAB.

因?yàn)镻DU平面PCD,

所以平面R4B_L平面PCD.

（3）如圖，取PC的中點(diǎn)G,連接/G,DG.

因?yàn)镋G分別為P&PC的中點(diǎn)，

所以FG〃BC,FG=：BC.

因?yàn)樗倪呅?8C。為矩形，且七為4。的中點(diǎn)，

所以DE//BC,DE=-BC.

2

所以。E〃/G,DE=FG.

所以四邊形。EFG為平行四邊形.

所以EF//DG.

又因?yàn)镋FU平面PCD,QGU平面PCD,

所以EF〃平面PCD.

B級?綜合應(yīng)用

9.在空間四邊形人8C。中，平面/WO_L平面8c。，且D4_L平面A8C,則△ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

解析：B作交BD于E,'??平面ABO_L平面BCQ,，人后,平面^。。，BCU平面BCD,：,AE±BC,

而。AJ?平面ABC,8CU平面ABC,：.DA±BC,又：AEn/lO=A,.?.8C_L平面/WO,而人8U平面A8Q,

：.BC±AB,即△A8C為直角三角形.

10.（2022?全國乙卷7題）在正方體481Goi中，E,尸分別為AB,8c的中點(diǎn)，則（）

A.平面8]E/_L平面BDDi

B.平面3]ERL平面4BO

C.平面Si七尸〃平面AiAC

D.平面〃平面AC。

解析：A如圖，對于選項(xiàng)A,在正方體A3CQ-AiSGQi中，因?yàn)榘菏謩e為AB,6c的中點(diǎn)，所以EF〃AC,

又AC_L8O,所以EFLBD,又易知。。|_1_￡八BDCDD、=D,從而E/LL平面8。。，又EFU平荀&EF,所以平

面&EFJL平面BDDi,故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B,因?yàn)槠矫鍭山。CI平面8￡）。1=8。，所以由選項(xiàng)A知，平面

平面4B。不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,由題意知直線AA與直線SE必相交，故平面B行/與平

面44c不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對子選項(xiàng)D,連接4囪，BC易知平面ABC〃平面4G。，又平面4BC與平

面BE廣有公共點(diǎn)Bi,所以平面4G。與平面8石尸不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.

II.（多選）如圖，四棱錐尸-4BCZ）的底面為矩形，尸DJL底面A8CQ,AD=\,PD=AB=2,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn),

過A,D,七三點(diǎn)的平面a與平面PBC的交線為/,則（）

A./〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直線PA與I所成角的余弦值為R

D.平面a截四楂錐2ABe。所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為|

解析：ACD如圖，取PC的中點(diǎn)F,連接EF,DF,則即A,D,E,r四點(diǎn)共面，即/為E”，對于

A,EF//AD,所以￡/〃平面P4O,即/〃平面PAD故A正確；

對于B.由E尸〃4。，若〃平面PCQ,則必有AE〃。立即四邊形AOPE為平行四邊形，則AD=￡F,矛盾,

故B錯(cuò)誤;

對于CE4與/所成的角，即QA與E尸所成的角，即幺與4。所成的角，由尸D_L底面人BCO,所以PO_L人。,

cosZPAD=^=^,故C正確;

AP5

對于D,連接6。，丫巴八枚八三以"至形A8cn=qx2X2=g,VABCDEF=VA-BDE^VD-BCFE=^X1X24~XX1,

但"=舉=之，故D正確.

VABCDEF75

12.（2024?成海模擬）如圖，在四棱錐S-ABCO中，底面四邊形ABCO為矩形，S4_L平面ABC。，P,。分別是線

段6S,A。的中點(diǎn)，點(diǎn)式在線段S￡＞上.若AS=4,AD=2,AR1.PQ,則A/?=

答案：?

解析：如圖，取S4的中點(diǎn)E,連接PE,?！?：54_1平面48。。，48U平面ABC。，：.SA1AB,而AB_LA。，

ALH】34=A,Al),3AU平面SA",.?./W_L平面SAO,故■平面34),又A"U平面3A/J,/.

?.?4R_LPQ,PEOPQ=P,PE,PQU平面PEQ,平面PEQ,?.?EQU平面PEQ,：.ARLE(2yVE,Q分別

為SA,4。的中點(diǎn)，：,EQ//SD,則4RJLSQ,在Rs4S。中，45=4,八。=2,可求得SO=2A,由等面積法可

得AR*,

13.如圖，矩形A8CO中，AB=\,BC=chPAJ_平面人ACO,若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)。滿足PQJ_DQ,則。

答案：2

解析：如圖，連接AQ,取A。的中點(diǎn)。，連接。Q.

???24_1_平面48。。，：,PALDQy又PQ_L。。，,。。，平面PAQ,???OQ_LAQ..??點(diǎn)Q在以線段AD的中點(diǎn)。為圓

心，4。為直徑的圓上，又???在上有且僅有一個(gè)點(diǎn)。滿足PQJ_OQ,???8。與圓。相切（否則相交就有兩點(diǎn)滿

足垂直，矛盾），???OQ_LBC,,:ND!/BC,，OQ=A8=I,：,BC=AD=2t即a=2.

P

14.在四棱錐2A8CZ）中，平面A8CO_L平面PCQ,底面ABCO為梯形，AB//CD,ADLPC.

（1）求證：AZ）_L平面PDC；

（2）若M是棱PA的中點(diǎn)，求證：對于棱BC上任意一點(diǎn)凡M尸與PC都不平行.

證明：（1）在平面尸CD中過點(diǎn)。作。H_LDC,交PC于H,

因?yàn)槠矫?WCOJ_平面尸CO,DHU平面PCD,平面/WCOn平面PCD=CD,

所以。"J_平面ABCQ,

因?yàn)锳DU平面ABCD,

所以DHLAD,

又AQ_LPC,且PCno”=H,

所以AD_L平面PCD.

（2）法一假設(shè)棱8C上存在點(diǎn)F,使得M尸〃PC,顯然尸與點(diǎn)C不重合,

所以P,F,右四點(diǎn)共面于a,

所以“Ua,PMCa,

所以BERTUa,A^PMUa,

所以a就是點(diǎn)4,B,C確定的平面，所以P￡a,

這與RABCO為四棱錐矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即問題得證.

法二假設(shè)棱8c上存在點(diǎn)F,使得M尸〃PC,

連接4C,取其中點(diǎn)M

在△叫C中，因?yàn)镸,N分別為P4,C4的中點(diǎn)，所以MN〃PC,

因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)只有一條直線和已知直線平行，所以M尸與MN重合，

所