第四章三角函數(shù)、解三角形

第4節(jié)簡(jiǎn)單的三角恒等變換

經(jīng)學(xué)習(xí)導(dǎo)航站

口核知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)

考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)★★★☆☆

考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值★★★☆☆

【知識(shí)拓展】和差化積與積化和差★★★☆☆

考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用★★★☆☆

(星級(jí)越高，重要程度越高)

婷限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯

考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)★★★☆☆

2COS4X-2COS2X+1

【典例】化簡(jiǎn)

1:(1)2tan(A)sin2(5%)

【變式訓(xùn)練】1(1)2式1+sin4+12+2cos4等于()

A.2cos2B.2sin2

C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2

(1+sin0+cos0)(sin-cos

(2)已知Ovev兀，貝Ij

V2+2cose

考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值★★★☆☆

角度1給角求值

2TC

【典例】2⑴(2()25?蘭州調(diào)研)計(jì)算:一竺W=()

2cos—cos—

Jo

A.2B-i

2

c-lD-2

(2)計(jì)算:(l+tan13°)(l+tan17°)(l+tan28°)-(l+tan32。)=.

角度2給值求值

【典例】3(1)(2023?新高考I卷)已知sin(a-/?)=icosasin4則

36

cos(2a+2夕)=()

A；B.i

99

C--D--

99

(2)(2024?新高考H卷)已知a為第一象限角，成為第三象限角，tana+tan￡=4,tan

atan夕=&+1,貝I」sin(a+為=.

【知識(shí)拓展】和差化積與積化和差★★★☆☆

1.教材母題人教A必修一P225【典例】8與P226練習(xí)T4,T5題給出了兩組公

式：

⑴積化和差公式：

①sinacos^=|[sin(a+jff)+sin

②cosasin￡=扣in(a+￡)-sin(a/)]

③cosacos^=|[cos(a+^)+cos(a/)]

@sinasiny?=--[cos(a+^)-cos(a-p)]

2

(2)和差化積公式：

@sin卅sin^=2sin^^cos

8+3.0-<p

②sinJ-sin^=2cos-----sin-----

22

0+(p8—(P

③cos9+cos3=2COS-----cos

2--------2

④cos夕一cos夕=-2sin^^sin

2.應(yīng)用上述公式可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的積與和的相互轉(zhuǎn)化.

【典例】(2025?廈門模擬)已知cos(140°-?)+sin(110°+?)=sin(130°-?),則tan

a=()

AW

AB增

33

C.V3D-V3

角度3給值求角

【典例】4(1)(2025?九江模擬)已知a,夕￡(0弓),cos(a/)二*tanatari4=[,則

a+BK)

A.-B.-

3

C.-D

6T

(2)(2025?天津模擬)銳角“滿足a+2^=y,tan|tan.=2-4則a和夕中的較小角

等于，

【變式訓(xùn)練】2⑴(2024奉安模擬)若cos償+2a)-4sin2a=-2,則lan2a=()

A-2

C.2

(2)(2025?成都診斷)已知cos(a+2/?)4,tan(a+/?)tan六-4,寫出符合條件的一個(gè)由a

6

的值為

考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用★★★☆☆

【典例】5已知函數(shù)/）邛詞,_%）+乎

⑴求函數(shù)?在區(qū)間旨雪上的最值;

（2）若cos咤?！旯?2冗）,求/（2￡+9的值.

【變式訓(xùn)練】3已知火K）=sin（2%—g）+2V5sin（x-：）cos[+乎）.

⑴求尼）的值；

⑵若銳角a滿足#a尸手,求sin2a的值.

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

一、單選題

1.（2023?新高考II卷）已知。為銳角,cos它竽，則sin白（）

42

A.UB.3

88

C.B

44

2.(2024?寶雞模擬)sin15°cos45°+sin105°sin135°=()

A.1B.它

22

C.—D.l

2

3.(2025?江西紅色十校聯(lián)考)已知a為銳角，且tana+tanQ+a)=l,則

sin2a+l..

---------------()

cos2a

B-3

C-2D3

4.（2025?呼和浩特聯(lián)考）若?為銳角，且sina（V3tan50°-1）=1,則a=（）

A.10°B.20°

C.70°D.80°

5.（2025?湖北重點(diǎn)高中聯(lián)考）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之

父”，他倡導(dǎo)的“（）.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.黃

金分割比廣亨=0.618,現(xiàn)給出三倍角公式cos3a=4COS3Q-3cosa和二倍角公式

sin2a=2sinacos。，則，與sin18。的關(guān)系式正確的為（）

A.r=—sin18°B.r=2sin18°

2

C./=V5sin18°D.r=4sin18°

6.（2025?廣東名校大聯(lián)考）設(shè)sin20°=/?,cos20。=幾則黑黑一丁熹行二（）

171

AA—B--

nn

D--

c.m-m

7.(2025?龍巖模擬)已知0<//<?<pcos(?+^)=1,sin(a/)W，則tan?tan”的值為

13

-氏-

A.25

5

C2

-

3D.

8.己知?r）=sinF+sin~（x+a）+sii「&+6）,其中a/為參數(shù),若對(duì)Vx￡R,於）恒為定值,

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.滿足題意的一組火少可以是a$"片

36

C.a邛=it

D.滿足題意的一組因0可以是。三邛罟

二、多選題

9.（2025?岳陽(yáng)質(zhì)檢）計(jì)算下列各式,結(jié)果為，的是（）

A.sin15°cos15°B.cos2150-sin215°

rtan300D1+tan15。

C'l-tan2300^'1-tan15°

10.(2025?湖州調(diào)研)已知tana-tan歸an?-玲，其中々工軟女￡2)且尸詈(〃?￡2),

則下列結(jié)論一定正確的是()

A.sinasinfi-0B.sin(<z-/?)-0

C.cos(a-^)=1D.sin2a+cos2/?=l

11.（2025?濟(jì)南質(zhì)檢）己知COS（Q+6）=￥，COS2Q=*其中出夕為銳角，以下判斷正

確的是()

A.sin2?=—B.cos(a-4)二里芻