2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)??將軍你飲馬最值模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)講義

模型介紹

一、兩條線(xiàn)段和的最小值。

基本圖形解析：

(-X已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最?。?/p>

(1)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m兩側(cè)：

A

?m

B

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)同側(cè)：

/B

B

m

A、K是關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

2、在直線(xiàn)m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè)：

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在夕H?］：

B'

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

r

mA

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型B'

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，

使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線(xiàn)m,n的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)

PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

二、求兩線(xiàn)段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

基本圖形解析：

1、在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；

(1)點(diǎn)人、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

AB交直線(xiàn)m于點(diǎn)

P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P，A—<AR,

而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m異側(cè)：

A

A飛、、、、、Bf

\?、、

'/!、、

B

解：過(guò)B作關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

連接AB'交點(diǎn)直線(xiàn)m于P.此時(shí)PB=PB',PA-PB最大值為AB'

era例題精講

考點(diǎn)一、兩定一動(dòng)模型

【例I】如圖，在^ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)D,垂足為E,M為DE上任意一點(diǎn)，刖=3,4C=

4,8C=6,則^AMC周長(zhǎng)的最小值為()

》變式訓(xùn)練

【變式1-1].如圖，Rs"C中，AC=3C=4,點(diǎn)。，￡分別是AB,AC的中點(diǎn),在CD上找一點(diǎn)P,使PA+PE最

小，則這個(gè)最小值是()

2^2C.275D.4

【變式I-2].如圖，在矩形ABCD中，=5,4。=3,動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足旌PAB=^S^ABCD,貝!1點(diǎn)P到人B兩點(diǎn)距離

O

之和PA+PB的最小值為

【變式1-3].如圖，NAO4的邊04與x軸正半軸重合，點(diǎn)。是04上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(5,0)是。4上的一定點(diǎn)，

點(diǎn)M是0N的中點(diǎn)，ZAOB=3()。，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

考點(diǎn)二、一定兩動(dòng)模型

【例2】.如圖，在Rtz\/18C中，N4C3=90。，AC=3,BC=4,AB=5,AO平分NOW交8C于。點(diǎn),E、尸分另lj

是人。，AC上的動(dòng)點(diǎn)，貝」ICE+E廠(chǎng)的最小值為

》變式訓(xùn)練

【變式2-1】,如圖，在RIAABC中，NA=90。，ZB=60°,BC=4,若E是8C上的動(dòng)點(diǎn)，尸是八C上的動(dòng)點(diǎn)，則

AE+E/的最小值為

【變式2-2].如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZDAC的平分線(xiàn)交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)

點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是

【變式2-3].如圖，四邊形ABCD中，/BAD=130°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使^AMN

周長(zhǎng)最小時(shí)，則N4MN+/AMW的度數(shù)為

考點(diǎn)三、線(xiàn)段差最大值模型

【例3】如圖，在4ABC中，A8=AC,AC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M,AB=\2an.△BMC的周

長(zhǎng)是20cm,若點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上，則%-P8的最大值為.

》變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（,，-2）,點(diǎn)。在直線(xiàn)y=-x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|以-

乙

【變式3-2】.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線(xiàn)MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=16,3到MN的距離BD=\0,CD=S,

點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)，則-尸身的最大值等于.

【變式3-3].如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)4c=6,B/）=8,點(diǎn)E為AA邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)BO上一動(dòng)點(diǎn)，

連接PC.PE,求PC-尸￡的最大值.

模型四、造橋選址模型（即動(dòng)線(xiàn)段類(lèi)型）

【例4】.如圖，在矩形A8CO中，48=5,BO4,反/分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、。在EF上.且滿(mǎn)足P。

=2,則四邊形4尸QA周長(zhǎng)的最小值為

》變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)4C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6,

4）,E為C。的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P。=2,要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)

應(yīng)為

【變式4-2].如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E、尸是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且E”二加，連接CE、CF,則

△CE/7周長(zhǎng)的最小值為.

【變式4-3].在直角坐標(biāo)系中，矩形Q4C8的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,8分別在x軸、），軸的正半軸上,0A=

3,08:4,。為邊。8的中點(diǎn)，線(xiàn)段EF在邊0A上移動(dòng)，保持EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E,

尸的坐標(biāo).

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在RSA8C中,NACB=9。。，AC=6,BC=8,4D是N8AC的平分線(xiàn).若乙。分別是A。和AC上的

動(dòng)點(diǎn)，貝（JPC+PQ的最小值是（）

口?爭(zhēng)

A』B.4C.5

5

2.如圖，正方形ABEF的面積為4,aBCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形AREF外，在對(duì)角線(xiàn)BF上有一點(diǎn)P，使

PC+PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（

C.12D.8+2^3

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RSOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,?）,點(diǎn)。的坐標(biāo)

4.如圖，在正方形A8CO中，4B=8,AC與8。交于點(diǎn)0,N是A0的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上,且8M=6.P為

對(duì)隹線(xiàn)BD上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為（）

5.如圖，在正方形A8CQ中，點(diǎn)￡,尸將對(duì)角線(xiàn)AC三等分，且AC=12,點(diǎn)。在正方形的邊上，則滿(mǎn)足PE+PF

C.6D.8

6.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3,0）,點(diǎn)C是），軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BC?AQ最

7.如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=130°,ZB=ZD=90°，在BC,CQ上分別找一點(diǎn)M,N,使三角形AMN

周長(zhǎng)最小時(shí)，則NMAN的度數(shù)為

8.如圖,在△ABC中，ZACB=90°fAC+BC=14,tan5=0.75，點(diǎn)。，E分別是邊4B,BC上的動(dòng)點(diǎn),則DC+OE

的最小值為

9.如圖，在。ABCD中，點(diǎn)M、N分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，"=3,8C=6,NQ=60。,在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，8M+MN的最小值為

D

BN

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為2的線(xiàn)段CD(點(diǎn)。在點(diǎn)c右側(cè))在X軸上移動(dòng)，A(0,2),B(0,4),連

II.如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線(xiàn)人。上的動(dòng)點(diǎn)，且48=6,則BP-PE的最大

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4,5),點(diǎn)Q(0,2),當(dāng)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形ABC在.v軸上滑動(dòng)時(shí)，

AQ+PC的最小值為

13.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,/A=60°,￡是邊AD的中點(diǎn)，k'是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EG=EF,且NGE*

14.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，線(xiàn)段MN在對(duì)角線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，若。。的面積為2n,MN=1,則4AMN周長(zhǎng)

的最小值為

15.如圖拋物線(xiàn)y=A2+2X-3與x軸交于A(yíng)、4兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)。、

E、產(chǎn)分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，連接，皿"則。石+OF的最小值為

16.如圖，正方形ABCO邊長(zhǎng)為4,DE=\,M,N在BC上，且MV=2.求四邊形AMNE周長(zhǎng)的最小值.

17.(1)如圖1,。。平分NAOB,點(diǎn)。是射線(xiàn)0A邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P、2分別在射線(xiàn)0C、08上運(yùn)動(dòng)，已知。。二10,

ZA0C=30°,則DP+PQ的最小值是；

(2)如圖2,在菱形A8CQ中，48=8,ND4B=60。，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)，

求EF+8F的最小值；

(3)如圖3,在矩形ABCD中，48=8,4。=4,點(diǎn)M是A8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)

出MN+BN的最小值.

18.(1)如圖①，點(diǎn)P為直線(xiàn)/上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,4是直線(xiàn)/外同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，連接力,P8,4九若48二2,

則R\-PR的最大值為.

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=A。，N8A。=90。，對(duì)角線(xiàn)AC1BD,垂足為點(diǎn)O,OA=2OC,點(diǎn)E為

OC中點(diǎn),點(diǎn)尸在A(yíng)8上，且BF=3A