專題07立體幾何初步

需考點一;簡單幾何體的表面積和體積

1.（2024北京）小明同學在通用技術課上，制作了一個半正多面體模型.他先將正方體交于同一頂點的

三條棱的中點分別記為48C,如圖1所示，然后截去以V48C為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所

示，按照這種方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型.若原正方體的棱長為6,則

此半正多面體模型的體積為（）

圖1圖2圖3

A.108B.162C.180D.189

2.（2024福建）圓柱的底面半徑和高都是1,則該圓柱的體積為（）

3.（2022河北）己知A是球。的球面上一點，過線段的中點Q作垂直于直線O/的平面，若該球被這

個平面截得的圓面的面積為9叫則該球的表面積是（）

A.12KB.3671C.48兀D.326兀

4.（2022河北）已知圓錐的母線長為2,母線與底面所成的角是60“，則該圓錐的體積是（）

A?舞B.nC.VJnD.3兀

5.（2022北）若球。被一個平面所截，所得截面的面積為3冗，且球心。到該截面的距離為1,則球。的

表面積是（）

8兀,,_16幾c

A.■B.16TIC.-----D.8冗

33

6.（2022河北）己知圓錐的底面半徑為1,母線與底面所成的角是60。，則該圓錐的側面積是（）

A.亞況B.27tC.—D.兀

33

7.（2023廣西）已知圓柱的底面積為1,高為2,則該圓柱的體積為（）

A.1B.2C.4D.6

8.（2024浙江）一個棱長為1的正方體頂點都在同一個球上，則該球體的表面積為（）

A.3兀B.2nC.yfjitD.兀

9.（2023吉林）一個棱長為2百的正方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的體積是（）

A.18兀B.187371

C.366兀D.36兀

10.（2024天津）一個圓柱的底面直徑和高都等于球。的直徑，則球O與該圓柱的體積之比為（）.

1I12

A.-B.-C.-D.-

8623

11.（2023浙江）上、下底面圓的半徑分別為人2r,高為3廠的圓臺的體積為（）

A.77tr'B.217rr'C.（5+2"）n,D.（5十\^）也」

12.（2024湖南）已知圓柱的底面半徑為3cm,體積為IgTicn?,則該圓柱的表面積為（）

A.1271cmB.1871cm2C.217rcm2D.SOncnr

13.（2024安徽）在zUBC中，，48=4,BC=3,ZABC=12O\若將A48C繞AC所在的直線旋轉一周，

則所形成的幾何體的體積為.

14.（2024云南）一商場門口有個球形裝飾品.若該球的半徑為1米，則該球的表面積為平方米.

3

15.（2024云南）若一個半徑為;cm的球和一個上，下底面邊長分別為1cm和2cm的正四棱臺的體積相同,

則正四棱臺的高為cm.

16.（2024浙江）上、下底面面積分別為1,4,高為3的圓臺體積為.

雷考點二；空間點、直線、平面的位置關系

1.（2024北京）如圖，在三棱柱48C-44G中，力41底面.48C,。是8c的中點，則直線DC；（）

A.與直線.4C相交B.與直線/C平行

C.與直線44垂直D.與直線是異面直線

2.（2022河北）已知/是一條直線，夕是兩個不同的平面，有以下結論：

①若/"La,a〃/，貝"■!_〃；②若夕，貝

③若///a,/〃夕，則?！ㄏ?④若/_La,/_LQ,貝！J。///.

其中正確結論的序號是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

3.（2024天津）若/，加是兩條不同的直線，。是一個平面，/J_a,則“/_L〃?〃是“〃?〃a”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024北京）在空間中，若兩條直線。與6沒有公共點，則。與力（）

A.相交B.平行C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線

5.（2023遼寧）設/,〃?，〃是三條不同的直線，a,0,7是三個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若/〃〃？，m//nt貝!）/〃〃B.若/〃m//at貝!j/〃a

C.若^1/,貝!D.若I工m,I//at則加〃a

6.（2023黑龍江）如圖，在正方體中，與平行的是（）

C.DCD.B'C'

7.（2022浙江溫州）已知，〃，〃是不同的直線，a,夕是不同的平面，下列命題中，正確的是（）

A.若〃?//夕，n//a,則〃

B.若，〃_La,nLaf則“z_L〃

C.若"，，〃ua,m//p,nilP,則a///

D.若機_La,n!1a,則m_L〃

8.（2023天津）已知空間三條直線〃，bfJ若：alcf貝U（）

A.6與c?平行B.〃與c相交

C.6與c異面D.6與c平行、相交、異面都有可能

9.（2023廣東）已知a和”是兩個不同平面，A'.ailp,和川沒有公共點，則力是8的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2023江蘇）已知直線/〃平面。，直線"U平面a,貝！|/與〃?不可能（）

A.平行B.相交C.異面D.垂直

雷考點三；異面直線所成角

1.（2024浙江）在正四面體48C0中，E是的中點，尸在6C的延長線上，CF=BCt則異面直線/E

和OE所成角的正弦值為（）

A.1B.正C.1D.巫

3355

2.（2022河北）如圖，在正方體川?CQ-44GA中，￡是棱4力的中點，則異面直線。￡和CA所成角的

余弦值是（）

3.（2024云南）如圖，在正方體48CQ-44GA中，異面直線8G與8a所成的角等于（）

4.（2024湖南）如圖，在正方體力8。-44￡。中，異面直線與AQ所成的角為（）

5.（2023湖南）如圖，在正方體力44GA中，異面直線力。與用。所成的角為（）

6.（2023云南）在正方體48CZ）-44GA中，異面直線力。與4。所成角的大小為（）

7.（2023安徽）如圖，在正方體力38-44GA中，直線CA與4G所成的角是（）

8.（2023河北）如圖,在正方體/也⑺-48c2中，點￡/分別是棱4）,CC的中點，則異面直線4七與8尸

所成角的大小為

曲目考點四;直線與平面所成角

1.（2024湖南）如圖，48為圓柱底面直徑，8c為母線，若AB=BC,則4C與圓柱底面所成角的大小

2.（2023江蘇）如圖，正方體力4CO-4AGA中，直線4"與平面W8CQ所成角的正切值為（）

3.（2023河北）如圖，在三棱柱力灰?-44G中，所有的棱長都相等，側棱底面則直線的

與平面BCGB、所成角的正弦值為（）

4.（2023安徽）如圖，在直三棱柱44G中，ABAC.若AB=AC=\,AAX=y/2,則6c與平面AAiC}C

所成的角的大小為一

5.（2024浙江）已知一個各棱均相等的四面體成,4-48,則棱,4〃與平面"CD的夾角的余弦值為

6.（2023四川）如圖，在正方體力BCD—4BCR中,直線8。與平面48CQ所成角的正切值為.

7.（2023湖南）如圖，在正方體4BCQ-44GA中，E是的中點，則直線與平面/BCO所成角

的正弦值為____________

^目考點五；二面角

1.（2023河北）如圖，在四棱錐P-48CO中，底面48co為矩形，△PCQ是等邊三角形，平面2。。_1底

面44c。，40=3,四棱錐尸-/48C。的體積為18石，E為尸C的中點.平面與平面48CQ所成二面

角的正切值是（）

A.2B.石c.V2D.1

2.〔2024浙江)如圖，在底面邊長為2的菱形的四棱錐，-48CZ)中，P/l=PB=2,平面P4B工平面48CD,

Z^C=60°,設E是棱/>8上一點，三棱錐的體積為;.

(1)證明：PCLABx

(2)求BE；

⑶求二面角E-CD-A的正弦值.

3.(2024浙江)如圖，在四棱錐夕-48。。中，底面力灰力為正方形，側面P/O_L底面力BCD,點M在

線段PD上且AD=2DM=2,ZADP=60".

⑴求證：/M_L平面PCD1

(2)求三棱錐M-的體積；

⑶求二面角的A7—8C—/正切值.

4.（2023浙江）如圖，在三棱錐尸一月8c中，尸力_L平面48C,AC1BCfPA=AC=\tBC=O.

⑴求三棱錐P-48。的體積；

（2）求證：平面21C_L平面列?C；

⑶設點。在棱P4上，AD=CD,求二面角。-4C-4的正弦值.

5.（2023浙江）如圖，在三棱柱48C—48'C'中，已知CB_L平面力=2,且44J,38',HC_L48.

⑴求44'的長;

⑵若。為線段力。的中點，求二面角/-"C-Q的余弦值.

6.(2023湖南)如圖所示，平面48/芭1平面"C'O,四邊形力以加為矩形，BCHAD,ABLAD,

AE=AD=2AB=4tBC=2.

(1)求多面體ABCDEF的體積；

(2)求二面角/-的余弦值.

K考點六；立體幾何解答題

1.(2024北京)如圖，在三棱錐尸一月8。中，分別是44*8的中點.

(1)求證：/M//平面CQE；

(2)求證：AB，CE.

請先寫出第(1)問的解答過程，然后閱讀下面第(2)問的解答過程.

證明：（2）因為力C=BC,Q是//的中點，

所以①.

因為44_LH,由（1）知，PAUDE,

所以②_________

所以③.

所以48,CE.

在第（2）問的解答過程中，設置了①?③三個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只

有一個符合邏輯推理.請選出符合邏輯推理的選項，并填寫在橫線上（只需填寫"A"或"B"）.

空格序號選項

(A)ABVCD(B)AB=CD

②(A)ABA.DE(B)PA”平面CDE

③（A）力A_L平面04C(B)/A_L平面6石

2.（2024福建）如圖，四棱錐S-48C。的底面是正方形，切1底面力8。。.

（1）若SQ=44=1,求四棱錐S-的體積

（2）求證：8CJ.平面SCO

3.(2024湖北)《九章算術》是我國古代數(shù)學名著中的瑰寶，該書中將底面為矩形且有一條側棱與底面

垂直的四棱錐稱為“陽馬”,在如圖所示的陽馬中，PDL底面/BCD,點E是PC的中點，連結

DE,BD、BE.

(1)證明：以),月。,8兩兩垂直；

(2)設陽馬夕-4?。。的體積為匕，四面體E-〃C。的體積為匕，求?的值.

2

4.(2024安徽)如圖，四棱柱48C。-48cA中，底面43c。是菱形，底面力BCO,點產為。2的

中點.求證：

⑴直線平面4C；

(2)平面BDD、±平面PAC.

5.(2023廣西)《九章算術》是我國古代數(shù)學專著，書中將底面為直角三角形，側棱垂直于底面的三棱

柱稱為“墊堵〃.如圖，在墊堵力8?！?4G中，已知力C=8C,且點N,P分別是48,4G，BC邊

的中點.

⑴求證：平面MNC；

(2)求證：CMJ_平面/股/.

6.(2024云南)如圖，在四棱錐〃-48c。中，四邊形48CO是矩形，PDLDA.PDLAB.

(1)證明：PD1BD；

(2)若4O=2,/D4P=g,三棱錐O-P8c的體積為生叵，求4與平面尸8。所成角的正弦值.

33

7.（2024新疆）如圖，在四棱錐夕一力4CQ中，PALAB,PALADt/力40=45°,PA=AB=HC=2.

(1)證明：PA1CD；

(2)求三棱錐尸-48。的體積.

8.(2023安徽)如圖，在三棱錐尸-48C中，底面力8。是正三角形，M是8c的中點，PMJ.底面力4c.

(2)若44=2,4=3,求三棱錐P-48c的體積.

9.(2024湖南)如圖，四棱錐尸-48C。的底面是正方形，21d.平面力8CQ,AB=\fPB=O.

⑴求四棱錐P-4