博弈論模型數(shù)學(xué)建模講義：從基礎(chǔ)到競(jìng)賽應(yīng)用博弈論模型數(shù)學(xué)建模講義一、前言博弈論作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要分支，又稱對(duì)策論、賽局理論，專注于研究具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)剐再|(zhì)的行為中，決策主體的最優(yōu)策略選擇問(wèn)題。在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，博弈論模型常用于解決多主體互動(dòng)決策、資源分配、利益協(xié)調(diào)等復(fù)雜問(wèn)題，其核心價(jià)值在于通過(guò)規(guī)范化的數(shù)學(xué)表達(dá)，揭示決策主體間的相互影響機(jī)制，為實(shí)際問(wèn)題提供科學(xué)的決策依據(jù)。本講義將系統(tǒng)梳理博弈論的核心概念、經(jīng)典模型及數(shù)模應(yīng)用方法，結(jié)合實(shí)例解析建模思路與求解技巧，幫助學(xué)習(xí)者掌握將博弈論思想轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的實(shí)踐能力，滿足數(shù)模競(jìng)賽及實(shí)際研究中的應(yīng)用需求。二、博弈論基礎(chǔ)核心概念2.1博弈的基本要素參與人：又稱局中人，指在博弈中具有決策權(quán)的個(gè)體或組織，記為集合N=1,2,...,n。僅含兩個(gè)參與人的博弈為“兩人博弈”，多于兩個(gè)參與人的為“多人博弈”。策略：參與人在博弈中可選擇的完整行動(dòng)方案，某參與人的所有策略構(gòu)成其策略空間Si，策略組合記為s=s1s2...收益函數(shù)：參與人在特定策略組合下的得失結(jié)果，記為uis，其值由全體參與人的策略共同決定，是博弈模型的核心量化指2.2博弈的分類體系按參與人合作性：分為合作博弈（參與人達(dá)成有約束力的協(xié)議）與非合作博弈（無(wú)約束力協(xié)議），數(shù)模中以非合作博弈應(yīng)用為主。按行動(dòng)時(shí)序：靜態(tài)博弈（參與人同時(shí)行動(dòng)或后行動(dòng)者未知先行動(dòng)者選擇）與動(dòng)態(tài)博弈（行動(dòng)有先后順序，后行動(dòng)者可觀察先行動(dòng)者策略）。按信息完備性：完全信息博弈（參與人知曉所有對(duì)手的特征、策略空間及收益函數(shù)）與不完全信息博弈（信息存在缺失或不確定性）。按策略數(shù)量：有限博弈（參與人策略空間為有限集）與無(wú)限博弈（策略空間為無(wú)限集）。2.3核心均衡概念納什均衡：若策略組合s?滿足對(duì)任意參與人i，其策略si?是對(duì)其他參與人策略組合s?i?的最優(yōu)反應(yīng)，即uisi?s?i?≥uisis?i?子博弈精煉納什均衡：針對(duì)完全信息動(dòng)態(tài)博弈，剔除不可信威脅策略后的納什均衡，確保均衡策略在博弈的每個(gè)階段均為最優(yōu)?；旌喜呗跃猓簠⑴c人以概率分布隨機(jī)選擇純策略的均衡狀態(tài)，純策略均衡可視為混合策略均衡的特例（某一策略概率為1，其余為0）。三、經(jīng)典博弈模型及建模方法3.1完全信息靜態(tài)博弈3.1.1囚徒困境模型模型背景：兩名共同作案的嫌疑人被隔離審訊，面臨“坦白”與“抵賴”兩種選擇，收益矩陣如下（括號(hào)內(nèi)為（嫌疑人A收益，嫌疑人B收益），負(fù)數(shù)表示刑罰年限）：嫌疑人B\嫌疑人A坦白抵賴坦白(8,8)(0,10)抵賴(10,0)(1,1)建模要點(diǎn)：通過(guò)劃線法求解納什均衡，即對(duì)每個(gè)參與人針對(duì)對(duì)手的每個(gè)策略，標(biāo)記其最優(yōu)反應(yīng)對(duì)應(yīng)的收益。最終（坦白，坦白）為唯一納什均衡，體現(xiàn)個(gè)體理性與集體理性的沖突。3.1.2古諾雙寡頭模型模型假設(shè)：兩家企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品，同時(shí)決定產(chǎn)量；市場(chǎng)需求函數(shù)為線性；企業(yè)目標(biāo)是利潤(rùn)最大化。建模步驟：定義變量：企業(yè)1產(chǎn)量q1，企業(yè)2產(chǎn)量q2，市場(chǎng)價(jià)格P=a?bq1+q2，構(gòu)建收益函數(shù)：企業(yè)1利潤(rùn)π1=q1P?c=q1a?c?b求解最優(yōu)產(chǎn)量：對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求偏導(dǎo)并令其為0，得到反應(yīng)函數(shù)，聯(lián)立求解得納什均衡產(chǎn)量q13.2完全信息動(dòng)態(tài)博弈3.2.1斯塔克爾伯格模型模型特征：存在主導(dǎo)企業(yè)（先行動(dòng)）與跟隨企業(yè)（后行動(dòng)），跟隨企業(yè)觀察主導(dǎo)企業(yè)產(chǎn)量后確定自身產(chǎn)量。求解方法：逆向歸納法，先求解跟隨企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)，再將其代入主導(dǎo)企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)，求導(dǎo)得到最優(yōu)產(chǎn)量。均衡結(jié)果：主導(dǎo)企業(yè)產(chǎn)量高于古諾模型均衡產(chǎn)量，利潤(rùn)更高；跟隨企業(yè)產(chǎn)量低于古諾模型，體現(xiàn)先動(dòng)優(yōu)勢(shì)。3.2.2智豬博弈模型核心邏輯：大豬與小豬在食槽前選擇“按按鈕”（需付出成本）或“等待”，食物產(chǎn)出與按按鈕行為相關(guān)，最終形成“小豬等待、大豬按按鈕”的納什均衡，揭示不對(duì)稱實(shí)力下的策略選擇邏輯。3.3零和博弈與非零和博弈3.3.1零和博弈核心性質(zhì)：參與人收益總和恒為零，即uA+uB=0，一方盈利必然以另一方虧求解準(zhǔn)則：極小化極大準(zhǔn)則（Minimax），參與人在最大化自身最小收益的同時(shí)，最小化對(duì)手的最大收益，即maxx經(jīng)典案例：剪刀石頭布、期貨交易（忽略手續(xù)費(fèi)）等。3.3.2非零和博弈核心性質(zhì)：參與人收益總和可變（uA+uB≠0），存在共贏或關(guān)鍵概念：帕累托最優(yōu)，即不存在使某參與人收益增加而其他參與人收益不減少的策略組合。經(jīng)典案例：囚徒困境（合作可實(shí)現(xiàn)帕累托最優(yōu)但非納什均衡）、企業(yè)并購(gòu)協(xié)同效應(yīng)等。四、數(shù)模競(jìng)賽中博弈模型的應(yīng)用步驟4.1問(wèn)題分析與轉(zhuǎn)化識(shí)別核心矛盾：明確問(wèn)題中的決策主體、利益沖突點(diǎn)及約束條件，判斷是否適合構(gòu)建博弈模型。簡(jiǎn)化問(wèn)題邊界：剔除次要因素，聚焦核心互動(dòng)關(guān)系，例如在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題中，可忽略偶然因素對(duì)價(jià)格的短期影響。確定博弈類型：根據(jù)決策時(shí)序、信息完備性等特征，選擇對(duì)應(yīng)的博弈模型框架（如靜態(tài)/動(dòng)態(tài)、完全信息/不完全信息）。4.2模型假設(shè)與符號(hào)定義4.2.假設(shè)制定原則必要性：假設(shè)必須為模型建立所必需，避免無(wú)關(guān)假設(shè)增加模型復(fù)雜度。合理性：基于問(wèn)題背景或常識(shí)制定，如假設(shè)參與人均為“理性人”，以自身收益最大化為目標(biāo)。明確性：采用嚴(yán)格、確切的語(yǔ)言表述，避免歧義，例如“假設(shè)企業(yè)決策無(wú)時(shí)間延遲”“市場(chǎng)需求函數(shù)為線性形式”。4.2.2符號(hào)定義規(guī)范采用統(tǒng)一的符號(hào)體系，變量、參數(shù)需區(qū)分清晰，通過(guò)三線表匯總說(shuō)明，示例如下：符號(hào)含義取值范圍n參與人數(shù)量正整數(shù)s參與人i的策略su參與人i的收益實(shí)數(shù)c參與人i的單位成本非負(fù)實(shí)數(shù)4.3模型建立與求解構(gòu)建收益函數(shù)：結(jié)合問(wèn)題中的量化指標(biāo)（如利潤(rùn)、成本、得分等），將策略組合與收益直接關(guān)聯(lián)，確保函數(shù)形式符合經(jīng)濟(jì)規(guī)律或?qū)嶋H邏輯。選擇求解方法：根據(jù)博弈類型選擇對(duì)應(yīng)算法，靜態(tài)博弈可采用劃線法、反應(yīng)函數(shù)法；動(dòng)態(tài)博弈采用逆向歸納法；復(fù)雜模型可借助數(shù)值計(jì)算或編程求解。驗(yàn)證均衡合理性：對(duì)求解得到的均衡策略進(jìn)行邏輯檢驗(yàn)，分析其在實(shí)際場(chǎng)景中的可行性與穩(wěn)定性。4.4結(jié)果分析與拓展靈敏度分析：探討關(guān)鍵參數(shù)（如成本、需求系數(shù)）變化對(duì)均衡結(jié)果的影響，體現(xiàn)模型的穩(wěn)健性。實(shí)際意義解讀：將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際決策建議，說(shuō)明均衡策略的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)價(jià)值。模型改進(jìn)方向：提出模型的局限性及優(yōu)化思路，如引入不完全信息、考慮重復(fù)博弈等。五、求解工具與編程實(shí)現(xiàn)5.1Python實(shí)現(xiàn)示例（混合策略納什均衡）Python5.2MATLAB實(shí)現(xiàn)示例（演化博弈相位圖）MATLAB六、數(shù)模應(yīng)用實(shí)例解析6.1問(wèn)題背景某地區(qū)兩家新能源企業(yè)同時(shí)決定光伏產(chǎn)品的生產(chǎn)產(chǎn)量，市場(chǎng)需求函數(shù)為P=100?0.5q1+q2，企業(yè)1的單位生產(chǎn)成本為10，企業(yè)2的單位生產(chǎn)成本為15。需構(gòu)建博弈模型，求解兩家企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量及均衡利潤(rùn)，并分析成本差異對(duì)市場(chǎng)格6.2建模過(guò)程問(wèn)題分析：該問(wèn)題屬于完全信息靜態(tài)博弈，參與人為兩家企業(yè)，策略為產(chǎn)量決策，收益為利潤(rùn)，核心是通過(guò)反應(yīng)函數(shù)法求解納什均衡。模型假設(shè)：市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)、產(chǎn)品同質(zhì)、企業(yè)理性決策、成本與產(chǎn)量無(wú)關(guān)。符號(hào)定義：q1,q2分別為企業(yè)1、2的產(chǎn)量；P為市場(chǎng)價(jià)格；c1=10,c2=15為單位收益函數(shù)構(gòu)建：ππ求解過(guò)程：對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求偏導(dǎo)并令其為0，得到反應(yīng)函數(shù)：qq聯(lián)立解得均衡產(chǎn)量q1?=91.67，q2?=78.33，均衡利6.3結(jié)果分析成本優(yōu)勢(shì)轉(zhuǎn)化為產(chǎn)量與利潤(rùn)優(yōu)勢(shì)：企業(yè)1因單位成本更低，均衡產(chǎn)量和利潤(rùn)均高于企業(yè)2。靈敏度分析：若企業(yè)2將單位成本降至12，新均衡產(chǎn)量為q1?=88，q2?=82，利潤(rùn)差距縮小，驗(yàn)證了成本參數(shù)對(duì)均衡結(jié)果七、練習(xí)與思考構(gòu)建三人囚徒困境模型（參與人可選擇“合作”或“背叛”），定義合理