2025年大學(xué)信息安全（信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）試題及答案

（考試時間：90分鐘滿分100分）班級______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個正確答案，請將正確答案填入括號內(nèi)）1.設(shè)a,b是整數(shù)，m是正整數(shù)，若a≡b(modm)，則下列說法錯誤的是（）A.m|(a-b)B.存在整數(shù)k使得a=b+kmC.a和b被m除的余數(shù)相同D.a和b的差一定是m的倍數(shù)2.若a,b互素，且a|c，b|c，則（）A.ab|cB.a+b|cC.c|abD.c|(a+b)3.模10的簡化剩余系是（）A.{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}B.{1,3,5,7,9}C.{2,4,6,8,10}D.{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}4.同余方程3x≡5(mod7)的解是（）A.x≡1(mod7)B.x≡2(mod7)C.x≡3(mod7)D.x≡4(mod7)5.整數(shù)a,b,c滿足(a,b)=1且a|bc，則（）A.a|bB.a|cC.a|(b+c)D.a|(b-c)6.設(shè)p是素數(shù)，a是整數(shù)，若a2≡1(modp)，則（）A.a≡1(modp)B.a≡-1(modp)C.a≡1(modp)或a≡-1(modp)D.a≡0(modp)7.若a,b是正整數(shù)，且(a,b)=d，則存在整數(shù)x,y使得（）A.ax+by=1B.ax+by=dC.ax-by=dD.ax-by=18.模8的完全剩余系中平方剩余的個數(shù)是（）A.2B.3C.4D.59.設(shè)m是正整數(shù)，a是整數(shù)，若(a,m)=1，則a的m-1次冪模m同余于（）A.0B.1C.aD.m10.若p是奇素數(shù)，a是整數(shù)且a不是p的倍數(shù)，則同余方程x2≡a(modp)有解的充要條件是（）A.a的(p-1)/2次冪模p同余于1B.a的(p-1)/2次冪模p同余于-1C.a的p次冪模p同余于1D.a的p次冪模p同余于-1二、多項選擇題（總共5題，每題4分，每題有多個正確答案，請將正確答案填入括號內(nèi)，少選、多選、錯選均不得分）1.以下關(guān)于整除的說法正確的是（）A.若a|b且a|c，則a|(b+c)B.若a|b且b|c，則a|cC.若a|b且a|c，則a|(b-c)D.若a|bc，則a|b或a|c2.下列數(shù)中是素數(shù)的有（）A.2B.11C.15D.193.模12的簡化剩余系可以是（）A.{1,5,7,11}B.{2,4,6,8}C.{1,2,3,4}D.{5,7,11,13}4.同余方程2x≡4(mod6)的解有（）A.x≡2(mod6)B.x≡5(mod6)C.x≡8(mod6)D.x≡11(mod6)5.若(a,m)=1，b是整數(shù)，則同余方程ax≡b(modm)（）A.有唯一解B.解的個數(shù)為1C.解可以通過擴歐算法求得D.無解三、判斷題（總共10題，每題2分，請在括號內(nèi)填入“√”或“×”）1.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則ac≡bd(modm)。（）2.任何整數(shù)都有唯一的素因數(shù)分解。（）3.兩個互素的整數(shù)之和一定與它們都互素。（）4.模m的完全剩余系中任意兩個數(shù)模m不同余。（）5.同余方程ax≡b(modm)有解當(dāng)且僅當(dāng)(a,m)|b。（）6.若p是素數(shù)，a是整數(shù)，則a的p次冪模p同余于a。（）7.簡化剩余系中元素個數(shù)與模m互素的整數(shù)個數(shù)相同。（）8.若a,b是整數(shù)，且(a,b)=1，則(a2,b2)=1。（）9.同余方程x2≡-1(modp)有解當(dāng)且僅當(dāng)p≡1(mod4)。（）10.若a|m，b|m，則[a,b]|m。（）四、簡答題（總共3題，每題10分）1.簡述歐幾里得算法求最大公因數(shù)的步驟，并求(319,377)。2.求解同余方程15x≡9(mod21)。3.證明：若(a,m)=1，則存在整數(shù)b使得ab≡1(modm)。五、綜合題（總共2題，每題15分）1.設(shè)p是奇素數(shù)，證明：同余方程x2≡-1(modp)有解當(dāng)且僅當(dāng)p≡1(mod4)。2.已知a,b,c是整數(shù)，且(a,b)=1，(a,c)=1，證明：(a,bc)=1。答案：一、選擇題1.D2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.B9.B10.A二、多項選擇題1.ABC2.ABD3.A4.AC5.ABC三、判斷題1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題1.歐幾里得算法步驟：用較大數(shù)除以較小數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)（第一余數(shù)）去除除數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)（第二余數(shù)）去除第一余數(shù)，如此反復(fù)，直到最后余數(shù)是0為止。此時的除數(shù)就是最大公因數(shù)。377÷319=1余58，319÷58=5余29，58÷29=2余0，所以(319,377)=29。2.先求15和21的最大公因數(shù)(15,21)=3，因為3|9，同余方程兩邊同時除以3得5x≡3(mod7)。利用擴歐算法求5x≡3(mod7)的解，5和7互素，1=5×3-7×2，所以x≡3×3≡2(mod7)，原方程解為x≡2,9,16(mod21)。3.因為(a,m)=1，根據(jù)擴歐算法，存在整數(shù)x,y使得ax+my=