第九章圖形的相似拔尖檢測

限時(shí):90分鐘滿分：120分

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列各組線段中，是成比例線段的是（）

A.a=3cm,b=5cm,c-14cm,8cm

B.6/=6cm/b=8cm,c=3cm,d=4cm

C.a=3cm,Z?=5cm,c=9cm,d=12cm

D.a=2cm,人=3cm,c=6cm,（1=12cm

2?已知f44,貝寧蕓的值等于（）

A.B.C.qD.

3.生活中到處可見黃金分割的美.如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的腰部以

下a與全身b的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感,若圖中8為2米,

則a約為（）

A.1.37米B.0.76米C.1.22米D.1.24米

4.如圖，平行于BC的直線QE把"BC分成面積相等的兩部分，則常的值為

r\iy

()

A.1D?2C.V2-1D.y[2+1

5.如圖，E,E分另（J為矩形ABC。的邊AQ,CO上的點(diǎn),NBEF=90。，貝帽中

①，②，③，④四個(gè)三角形中，一定相似的是（）

A.①和②B.①和③C.②和③D.③和④

6.如圖，已知在口ABC。中，E是。C邊的中點(diǎn),連接BD,BE,AE,AE父BD

于點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BD=2DFB.AF=2BF

C.S^ABF=2SHDEFD.SAADF=S^BEF

A

onKe

G

（?6?）（K7?）

7.如圖，△ADC是由等腰直角三角形EOG經(jīng)過位似變換得到的，位似中心在工

軸的正半軸，已知EO=1,。點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0］，位似比為12,則兩個(gè)三角

形的位似中心P點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.停,0

B.（I,0）C.（0,0）D.&,0

8.如圖，E為"8。。的對角線4c上一點(diǎn)，AC=5,=1,連接OE并延長至

點(diǎn)F，使得EF=DE,連接BF,則BF=（

57

A-B3C-

22D.4

（第8題）（第9?）

9.如圖，在△ABC中1NACB=90。，AC=BC,A。是角平分線.點(diǎn)E從點(diǎn)A出

發(fā)，沿方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接“，點(diǎn)E在BC上,且NC"=45。,設(shè)

AE=x,FD=y,y關(guān)于1的函數(shù)圖象過點(diǎn)（（），2-啦），則該圖象上最低點(diǎn)

的坐標(biāo)為（）

?3123?

A.(],$-也)B.(2/2_C.(2,3-2啦)D咨3-2啦)

10.在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,0),

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),延長C8交x軸于點(diǎn)4，作正方形43QC,延長CB

交x軸于點(diǎn)42，作正方形A2&C2C1,,按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2026

個(gè)正方形的面積為()

小2026⑶4048

A.5?⑸B.5.團(tuán)

4()5()

二、填空題(每題3分，共18分)

H.若m干-n4?，則tn的值為.

12.秋天紅透的楓葉，總能牽動(dòng)人們無盡的思緒，所以詩人杜牧說：“停車坐愛

楓林晚，霜葉紅于二月花"，如圖是兩片形狀相同的楓葉圖案，則x的值為

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0),D(3,()),△AbC與△DEF位似,

原點(diǎn)O是位似中心.若A3=1.5,則DE=

14.如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖"它是

由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形

ABCD.直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E,F,記正方形ABCD的面積

為Si,正方形MNPQ的面積為S?.若BE=kAE(k>l),則用含k的式子表示

15.P是ZkABC邊上的任一點(diǎn)(P不與A,B，。重合)，過點(diǎn)P的一條直線截△A3C,

如果截得的三角形與03。相似,那么我們稱這條直線為過點(diǎn)。的"BC的

“相似線”.如圖,RSABC中,ZC=90°,ZB=30%當(dāng)點(diǎn)尸是邊BC上一

個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)(P8〉PC),過點(diǎn)。的“8C的啡似線“最多有條.

16.如圖，在正方形A8CQ中，“尸。是等邊三角形,BP,CP的延長線分別交

AD于點(diǎn)E,尸，連接BD,DP,8。與C尸相交于點(diǎn)H.給出下列結(jié)論：①

AE=^FC；②/PDE=15°；③f鬻；?DE2=PFFC.其中正確的是

.(填序號(hào))

三、解答題(共72分)

17.(9分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△人3c和△。七尸的頂點(diǎn)分別為A(1,()),

8(3,0),C(2,1),。(4,3),E(6,5),F(4,7).按下列要求畫圖：

⑴畫出△A3C以點(diǎn)。為位似中心，在y軸異側(cè)放大2倍后得到的“出。，并寫

出點(diǎn)Ci的坐標(biāo)；

⑵畫出3c關(guān)于不軸的對稱圖形△A2B2C2.并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；

⑶指出△A2&C2經(jīng)過哪些變換，可以與△力EF拼成一個(gè)正方形.

18.（10分）如圖，在A48C中，ZACB=90°,CD1AB,垂足為Q,AC=5,

BC=12.

（1MC,AB,CD,BC這四條線段是否是成比例線段？請說明理由.

⑵在圖中還能找出成比例的其他四條線段嗎（線段可以重復(fù)）？若有，清寫出一種

情況，并說明理由.

19.（12分）如圖①是屹立于河南省新鄭市南關(guān)雙洎河南岸的北宋古塔——鳳臺(tái)寺

塔，距今已有900余年，為倉頡造字之地.如圖②，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組用自

制的菱形測角儀ABCD測量塔高，其邊長為5（）cm,較長的對角線DB的長

為80cm,0為對角線的交點(diǎn)，當(dāng)測角儀的頂點(diǎn)D,A與塔頂避雷裝置頂端

的點(diǎn)E在同一條直線上時(shí)，系在頂點(diǎn)A處的鉛垂線AG過點(diǎn)。和頂點(diǎn)C，交

地平線R7于點(diǎn)G,經(jīng)測量得到尸G=26m,OG=].5m.

（1）求鳳臺(tái)寺塔石尸的高（包括頂部高為2m的避雷裝置）；

⑵據(jù)鳳臺(tái)寺塔的簡介知，該塔不包括避雷裝置的高度為19.1m,結(jié)合計(jì)算結(jié)果,

提出一條改進(jìn)測量方法的合理化建議.

20.（12分）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC，點(diǎn)E,“分別在邊A8,A。

上，。E與C歹相交于點(diǎn)G.CD2=CGCF,ZAED=ZCFD.

⑴求證：AB=CD；

⑵延長AD至點(diǎn)M,連接CM,當(dāng)Cr=C"時(shí)，求證：EAAB=ADMD.

21.（14分）如圖，在RSA8C中，/。=90。，/1。=16,8。=12.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)

B出發(fā)，沿線段BA以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q

從點(diǎn)4出發(fā)，沿折線AC-CB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)

P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

⑴A8=；

⑵當(dāng)點(diǎn)。在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示線段CQ的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以點(diǎn)4,P,。為頂點(diǎn)的三角形與相似，求

/的值;

(4)設(shè)。是應(yīng)的中點(diǎn)，當(dāng)OQ與△48C的一邊垂直時(shí)，請直接寫出i的值.

22.(15分)⑴如圖①，在"BC與△QC8中，ZBAC=ZCDB,AC與QB相交

于點(diǎn)P,PB=PC,求證：2ABgdDCB；

(2)如圖②，將圖①中的△OC8繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OCB,當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)

。在線段陰的延長線上時(shí)產(chǎn)。與AC相交于點(diǎn)M.若45=2,BC=3,ZABC

二60。，求CM的長；

⑶如圖③，在(2)的條件下，連接CC并延長，與的延長線相交于點(diǎn)N,連接

,求ZiAMN的前R.

答案

一、1.B2.A3.D4.C5.D6.D7.A

8.B【點(diǎn)撥】如圖，延長。b交A3的延長線于點(diǎn)G.???四邊形ABCD是平行四

邊形,：.DC//AB,DC=AB.：.ZDCE=ZGAE,ZCDE=ZAGE.：./\DEC

CEDEDCDEDCCE1

^^AGEAa，AE=GE=GA'-AC=51CE=1??AE=4a，GE=AG=AE=4-

DEDE1.EF1..DCDC1八］

又?：EF=DE瓦二:=",?歷二??,布'

.世?包_歿__1.典_旭_3\7??/r_/「.2az

??BG-yFG-BG-yAG-EG-4^?乙G-/G,??△8GFZXAGE.

BFFG3

’而二的二1=4'?,?8”=3.

G

9.B【點(diǎn)撥】?：ZACB=90°,AC=BC,：.ZCAB=

NCR4=45。.又?.?A。是角平分線，???NCA。二

/84。=22.5。.設(shè)AC二AC二桃，：.AR=\)AC2+RC2

=啦/九如圖，在AC上取點(diǎn)Q,使AQ=OQ,??.ZQDA=ZQAD=22.5°.

ZCQD=45°=ZCDQ.：.易得CQ=CD=坐QO=^AQ.：.AQ=小CQ.：.

yl2CQ+CQ=m,解得。。二(g?l)〃z.???CO=(6?I)"?.：/。"二45。二

/CAB,ZCEF+ZBEF=ZACE+ZCAE，:.ZBEF=NACE,△ACEs

(yl2m-x)x廠(血機(jī)-x)xl

---=(2-5)m—--—.???)，關(guān)于A的函數(shù)圖象過點(diǎn)(()，2?隹)，

???(2-6n=2-\2解彳導(dǎo)〃?=I.'),=2?啦■(g?x)x二12?g+2-近二

(X*)2+--；?該圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(坐，9.

10.D【點(diǎn)撥】延長C2及交工軸于點(diǎn)A3..??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(0,2):04=1。。=2.設(shè)正方形的面積從左到右依次為5i心，…，S2026，…，

S〃根據(jù)題意彳導(dǎo)AO〃8C〃CIA2〃C2&/.易得NBAAI=ZBIA\A2=ZB2A2A?,.

易知NA84i=乙4山漢2二90。，???△8A4SZ\8IAIA2.在RsAOO中，根據(jù)勾

月殳定理，彳導(dǎo)4。=[。屋+。。2二#,?,.A8=BC=A。=小.，S1=5.易得

△BAAH色ODA.\^^=^r=^..\A]B=^,.*.A]C=BC+=

/\i5UL)ZLL

???52=(羋)2=5乂住)2易知42B1=￥???A2G=8ICI+A281=40+48=

由此可得Sn=5X

(3、2X2026-2,3-4050

???S2026=5x(jJ=5x(jJ.故選D.

二、11.312.1113.4.5

Ic+1

14.------；【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作8P交尸石

(hD~

的延長線于點(diǎn)G.：.ZGAE=ZPBE,ZAGE=

AQAP1

/BPE,?'.△AGEsABPE.；?言=隹=工.設(shè)AG二

DrH匕K

1,則BP=k???易知AN=DM=BP=k/：/NMP=45°#AZAMG=45。.易彳導(dǎo)

22222

AM=AG=l.：.MN=k-1.VSi=AD=AMMD=k+1zS2=MN=(k-

Si標(biāo)+1

1匕

S2~(k-I)2'

15.4【點(diǎn)撥】①當(dāng)公共角為NA時(shí)，不存在；②當(dāng)公共角為時(shí)，過點(diǎn)P作

P￡>_LBC,交48于點(diǎn)。，如圖①.???/。尸8=ZC=90°,ZB=ZB，:ABPD

sXBCX；過點(diǎn)『作/7)_LA。于點(diǎn)。，如圖②.???//7)8=ZC=90°,/B=

NB,③當(dāng)公共角為NC時(shí)，連接A尸，如圖③.丁NB二

30。，???AB=2AC.設(shè)AC=〃，則43=2〃，ABC=\)AB2-AC2='：P

與

是邊BC上一個(gè)三等分點(diǎn),PB>PC,：?PC=；BC=坐a；?靠二~~二坐強(qiáng)

二^^:乎.:?冬二器.又，「ZC=ZCz/.AACP^ABCA;過點(diǎn)P作PD//

AB,交AC于點(diǎn)D,如圖④.???PO〃A8，，易得△CQPs/\CAA綜上可知，

過點(diǎn)P的"BC的相似線“最多有4條.

16.①②④【點(diǎn)撥】①??.四邊形ABCQ為正方形，8。為對角線，，/ABC二

ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,BC=CD,AD//BC,NDBC=45?！福篈PBC

是等邊三角形，???PB=PC=BC,ZPBC=ZPCB=6O0.：.ZABE=ZABC-

4PBC=30°.J在RSABE中，AE=；EB.易知EB=FC.：.AE=：FC故結(jié)論①

正確；

②?：NDCP二ZBCD-ZPCB=30°,PC=BC=CD,AZCDP=1(180°-Z

DCP)=1x(18()0-300)=750..*.ZPDE=ZCDA-ZCDP=90°-75。=15。.故

結(jié)論②正確；

③如圖過點(diǎn)H作HTLCD于點(diǎn)T,HK1BC于點(diǎn)K.?：

NBCO=90。，，四邊形C77/K為矩形,：.KH=CT.在

RQCHT中，NHCT=30。，???CH=2〃r由勾股定理，

彳導(dǎo)CT=yjcH-HT1=yj(2HT)2-HT1=5HT,：?KH=/HT.：.SADHC=1

呼：二坐;故結(jié)論

CDHT,SABHC=^BCKH=。?小，/二CD.HT.,^^

NOAO/JCD乙

③不正確；

?*：ZDBE=ZPBC-ZDBC=60°-45°=15°,

:?/DBE=/PDE=15°.

又丁ZDEP=/BED,：./\EDP^/\EBD.

???DE：EB=PE：DE,即DEr=PEEB.

又?:EB=FC,PB=PC,：.PE=PF,：.DE2=PF?尸C故結(jié)論④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論是①②④.

三、17.【解】⑴如圖,AAiBjCi即為所求，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-4,-2）.

（2）如圖，△A2&C2即為所求，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（?4,2）.

（3）如圖，利用“282c2關(guān)于X軸的對稱圖形“由。，向下平移1個(gè)單位長度,

再繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使B2A2與FD重合，可以與△￡>￡/拼成一個(gè)正方

形.（答案不唯一）

18.【解】（1）AC.AB.CD.8C這四條線段是成比例線段.

在RM48C中,S^ABC=^ACBC=^ABCD,

.AC_CD

,,AB二BC，

即AC.AB.CD,5c這四條線段是成比例線段.

⑵示例：AC,A。，A8,AC這四條線段是成比例線段.

在RtAABC中，AC=5,BC=12，，由勾股定理，得AB=13一?第二%

由⑴易知CD=^^喈

在RIAAQC中，AC=5,=，，由勾股定理，得AQ=：|，,笫二號(hào)，

???普二笫zAC,AD,AB,AC這四條舜殳期比例線段.

r\Lyr\v

19.【解】⑴如圖，延長DB交EF于點(diǎn)H,

由題意易得"尸二。6=1.5m,HO=FG=26m,/EHD=90。.

,/四邊形ABCD是菱形，

E

???ZAOD=90°,DO=^BD=40cm=0.4m.卜、

ADH=HO+DO=26+0.4=26.4(m).

d.....7給口

在RtAAOD中，AD=50cm=0.5m,fr------------------

???OA=^AD2-OD1=\jo.52-0.42=().3(m).

?：/EHD=ZAOD=90°,ZADO=ZEDH,：.AAOD^/\EHD.

,EHAO.EH0.34石廣〃…

??麗二麗…百二而，解得上”=19.8m.

：.EF=EH+HF=19.8+1.5=2I.3(m).

因此鳳臺(tái)寺塔EF的高為21.3m.

⑵一條改進(jìn)測量方法的合理化建議：多次測量求平均值，可以減少誤差(答案不

唯一).

20.【證明】(1):5二CGC尸，.?.怒二當(dāng).

又「ZDCG=/DCF,AACDG^ACFD.

：.ZCDG=ZCFD.

,?ZAED=ZCFD,：.ZCDG=/AED.:.ABHCD.

又?..AQ〃BC,???四邊形A8CQ是平行四邊形.???AB=CD

(2y：CF=CM,：.ZCFD=ZM.VZAED=ZCFD,

：.NAED=NM.

*：AB//CD,：.NA=ZCDM.：./XAED^^DMC.

.」EAD

**DM=DC'

即AEDC=ADDM.

9：AB=DC,：.EAAB=ADMD.

21.【解】(1)20

(2)CQ=AC-AQ=\6-2t.

⑶如圖①，當(dāng)NAQP=90。時(shí)，易知△AQPS^AC/?,

.AQ_AP

FC二麗.

9：AB=20,BP=2t,.*.B4=20-2t.9：AQ=It,

,2/20-2t40

,,后二，-，解得/二豆；

如圖②，當(dāng)NAPQ=90。時(shí)，易知"PQSAACB,

.AQAPan2t20-2/50

??A廠恁，即前二解侍々9

綜上所述,若以點(diǎn)A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與“8C相似，，的值為辟喏.

:?OQ

//BC.

???易知△AOQS/VIBC,.??塞二第二?。是外的中點(diǎn)，.?.OP=OA=;出

2r1()-z20-

1°-力??亢=~W，解得亍;如圖④,當(dāng)QO-LAB時(shí)，N0OA=90°.VZC

二90。，NA=NA,???△AOQSA4C8..??笫二茂,即-小二寺，解得/二；

如圖⑤，當(dāng)OQ_L8C時(shí)????ACJL8C,???。?！?。.???易知“0。6/\8"....黑

OB

=~AB'

9：BQ=AC+BC-2i=16+12-2f=28-2t,BO=BP+PO=