第一章有理數(shù)

思維導圖

1.大于0的數(shù)叫正數(shù)，在正數(shù)的前面加上負號””的數(shù)叫負數(shù).

2.數(shù)0既不是正數(shù)，又不是負數(shù).

3.在同一問題中，分別用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反的意義.

4.人們常用正負數(shù)來表示一對具有相反意義的量.

5.有理數(shù)的分類：

6.數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.

7.相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù),。的相反數(shù)是0.

8.絕對值：(1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一?個負教的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.數(shù)

a的絕對值記作同.

(2)幾何意義：?個數(shù)。的絕對值就是數(shù)軸上衣示數(shù)〃的點與原點的距離.

9.有理數(shù)的大小比較

比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法;(2)法則比較法:正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；

兩個負數(shù)，絕對值大的反而??；⑶作差比較法.(4)作商比較法;(5)倒數(shù)比較法.

易錯總結

易錯點1化簡多重符號

1.化簡關鍵規(guī)則：核心是“奇負偶正”：數(shù)清負號個數(shù)，奇數(shù)個負號結果為負，偶數(shù)個則為正。正號可直

接忽略，不影響結果。例如，((6))有3個負號(奇數(shù))，結果為6；+(+(2))實際只有1個負號，結果為2。

2.易錯注意事項

別漏數(shù)負號：多層括號易漏算，可逐層拆解，如［(4)］先算內層(4)=4,再算外層4。

區(qū)分符號與數(shù)值：化簡只變符號，數(shù)字大小不變，如(|3|),先得|3|=3,再化簡為3。

例題1.化簡：

【分析】本題考查了化簡多重符號，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵.

根據(jù)化簡多重符號的法則計算即可得解；

易錯點2帶“非”字的有理數(shù)的分類

1.分類易錯點總結

混淆“非正”“非負”與“正負”：非正數(shù)包括負數(shù)和0,非負數(shù)包括正數(shù)和0,不可漏掉0。如“非正有

理數(shù)”W負數(shù)，還含0。

誤將“非整數(shù)”等同于分數(shù)：非整數(shù)是整數(shù)以外的有理數(shù)，即分數(shù)（包括正分數(shù)、負分數(shù)），注意不包含

整數(shù)。

2.注意事項總結

明確“非”的范圍：“非”表示“不”，如非負數(shù)是“不是負數(shù)”，即正數(shù)和0,需包含邊界值0。

分類不重不漏：按“非”字分類時，先確定對立面，再包含0,如非負整數(shù)=正整數(shù)+0,避免遺漏或重復。

例題2.把下面各數(shù)填在相應的大括號里（將各數(shù)用逗號分開）：

負整數(shù)集合{…}

正數(shù)集合{…}

非負整數(shù)集合{…}

【答案】見解析

【分析】本題考查了正數(shù)，負數(shù)，整數(shù)，分數(shù)，有理數(shù)，以及無理數(shù)的概念.要注意的是本題中的5是無

限不循環(huán)小數(shù)，為無理數(shù).

易錯點3利用分類討論數(shù)學思想化簡絕對值

1.易錯點總結

臨界點遺漏：化簡目時，未明確”二〃這一臨界點，只討論和〃</?,忽略此時絕對值為0。

分類條件錯誤：判斷符號時邏輯顛倒，如田+3|中，誤將x>3寫成x23,導致分類重疊。

2.注意事項總結

先找零點：令絕對值內表達式為0,求出所有臨界點，以此劃分區(qū)間，確保不重不漏。

按區(qū)間定符號：在每個區(qū)間內確定表達式正負，再去絕對值，如x<2時，|.r+2|=（x+2）,避免符號錯誤。

例題3.請利用絕對值的性質，解決下面問題：

【答案】（DT，1

（2）3或-3或1或一1

（3）1

【分析】（1）直接根據(jù)絕對值的性質求解即可；

（3）分〃，4c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)或兩個正數(shù)，一個負數(shù)或三個都為

負數(shù)四種情況討論即可.

（2）解：由題意得：a,h,。三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)或兩個正數(shù)，一個負

數(shù)或三個都為負數(shù).

=1;

④當m從c三個數(shù)都為負數(shù)時，

=1.

易錯點4絕對值的幾何意義

1.易錯點總結

混淆距離與正負：誤將I。打理解為?！ǖ恼?，實際它表示數(shù)軸上”與〃兩點的距離，恒非負。如|35|

是2,而非2。

忽略多解情況：|川=3表示x到原點距離為3,解為±3,易漏寫其中一個解。

2.注意事項總結

緊扣“距離”本質：任何數(shù)的絕對值是它到原點的距離，多個數(shù)時是兩點間距離，與方向無關。

明確解的完整性：絕對值方程或不等式需考慮所有滿足距離條件的數(shù)，如■2|=1,解為尸3和尸1,避免

漏解。

例題4.（1）同學們知道，正數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，在這一

學習過程中，主要體現(xiàn)的數(shù)學思想有

兒數(shù)形結合思想

B.轉化思想

C.方程思想

D.分類討論思想

回答下列問題：

【分析】（1）按照正數(shù)，負數(shù)，零三種情形解答，體現(xiàn)了分類的思想，解答即可.

（2）根據(jù)題意，分類解答即可.

本題考查了分類思想，絕對值的非負性，應用非負性求最小值，一元一次方程的應用，熟練掌握非負性是

解題的關鍵.

【詳解】（1）解：按照正數(shù)，負數(shù)，零三種情形解答，體現(xiàn)了分類的思想，

故選：D.

故工的值為±2.

故y的值為1.

故當工的值為1,取得最小值，且最小值為0.

易錯訓練

一、單選題

1.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

【答案】。

【分析】本題考查了化簡多重符號，相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反

數(shù)，據(jù)此進行逐項分析，即可作答.

C、與之不滿足相反數(shù)的定義，不是相反數(shù)；

45

故選：D

A.1個B.2個C.3個0.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查了負數(shù)的識別，化簡多重符號，先根據(jù)化簡多重符號的法則求出對應的數(shù)的結果，

再根據(jù)負數(shù)是小于。的數(shù)即可得到答案.

故選：8.

A.7個3.6個C.5個0.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類.解題的關鍵是熟練掌握絕對值的化簡，符號化簡，乘方運算法則，

有理數(shù)的分類.化簡符號，根據(jù)有理數(shù)的分類進行解答即可.

故選：C.

二、填空題

【分析】本題考查了多重符號的化簡方法.應該注意：在一個數(shù)前面添加一個“+”，所得的數(shù)與原數(shù)相

同；在一個數(shù)前面添加一個"一"，所得的數(shù)就成為原數(shù)的相反數(shù).對于一個數(shù)前面有多個符號的情況，

可以先將該數(shù)前面的所有"+”去掉，再根據(jù)“一”的數(shù)量進行判斷：若“一”的個數(shù)為偶數(shù)時，則結果取

“一”;若“一”的個數(shù)為奇數(shù)時，則結果取“一”.

【答案】3-3-3-3

【分析】本題主要考查了化簡多重符號，熟練掌握相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，進

行解答即可.

故答案為：3；

故答案為：-3；

故答案為：-3；

故答案為：-3.

【答案】4

【分析】本題主要考查了非負整數(shù)的判定，根據(jù)非負整數(shù)是大于或等于0的整數(shù)解題即可.

一共4個.

故答案為：4.

三、解答題

7.化簡下列各數(shù)：

【答案】⑴-2

⑵-5

⑶3.4

(4)8

(5)-9

【分析】本題考查了相反數(shù)中多重符號的化簡，多重符號的化簡：與個數(shù)無關，有奇數(shù)個“一”負,

有偶數(shù)個“一”號結果為正.

(1)根據(jù)多重符號的化簡法則求解，即可解題；

(2)根據(jù)多重符號的化簡法則求解，即可解題；

(3)根據(jù)多重符號的化簡法則求解，即可解題；

(4)根據(jù)多重符號的化簡法則求解，即可解題；

(5)根據(jù)多重符號的化簡法則求解，即可解題.

8.把下列各數(shù)分別填入相應的集合里.

⑴非負有理數(shù)集合：｛-｝；

⑵負數(shù)集合：｛…｝；

⑶分數(shù)集合：｛-｝.

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的兩種分類方式是解答本題的關鍵.有理數(shù)可分為整

數(shù)和分數(shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負整數(shù)；分數(shù)分正分數(shù)和負分數(shù).有理數(shù)也可分為正有理數(shù)，零和負有理

數(shù)，正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù)，負有理數(shù)分為負整數(shù)和負分數(shù).根據(jù)有理數(shù)的分類求解即可.

9.把下列各數(shù)填在相應的大括號里.

正整數(shù)：｛___________｝；

非正數(shù)：｛___________｝；

負分數(shù)：｛___________｝；

有理數(shù)：.

【分析】本題考查了正整數(shù)、非正數(shù)、負分數(shù)、有理數(shù)的定義，根據(jù)定義直接求解即可，解題的關鍵是熟

悉正整數(shù)、非正數(shù)、負分數(shù)、有理數(shù)的定義，熟練掌握此題的特點并能熟練運用.

10.同學們，我們在本期教材中曾經學習過絕對值的概念：在數(shù)軸上，表示一個數(shù)。的點與原點的距離叫

做這個數(shù)的絕對值，記作同.

回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示2和7的兩點之間的距離是數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是_；

⑵數(shù)軸上表示x與-1的兩點A和B之間的距離可記作二如果這兩點之間的距離為2,那么x為一；

【答案】(1)5.4；

【分析】此題考查了絕對值函數(shù)的最值，數(shù)軸，兩點間的距離及相反數(shù)的知識，綜合的知識點較多，難度

一般，注意理解絕對值的幾何意義是關鍵.

(1)根據(jù)題意所述，運用類比的方法即可得出答案.

故答案為：5,4；

???這兩點之間的距離為2.

11.“分類討論”是一種重要數(shù)學思想方法，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解問題的過程，請仔細閱讀，

并解答題目后提出的四個問題.

解：由題意得：JA,c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù).

請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

【答案】⑴-1或-7

⑵i2或0

⑶1

【分析】本題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法法則；

12.綜合與實踐：

【背景知識】

PQ

―?~?_?_?——?_?_i_I—?

-3-2-101234

圖1

請閱讀以上材料，完成下列問題：

【問題情境】

如圖2所示，在數(shù)軸上原點。表示數(shù)是0.點A在原點的左側.所表示的數(shù)是。，點A到原點距離為2；點8

在原點的右側，所表示的數(shù)是〃，點A到點8距離為6,點。為數(shù)軸上任意點，所表示的數(shù)是％.

AOB

_____1__?-------1------------------->

圖2

-------------°—

備用圖

【解決問題】

⑴〃=b；

⑷對于數(shù)軸上的三點，又給出如r定義：若當其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2