第一章預(yù)備知識(shí)（高效培優(yōu)單元測(cè)試?強(qiáng)化卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第一部分（選擇題共58分）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。）

1.已知集合人={-1,123},8=30<xve},則（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,2}D.{T1,2}

【答案】C

【解析】A={-1,1,2,3},B={AjO<x<e},所以ADB={1,2}.

故選：C.

2.下列語(yǔ)句不是全稱量詞命題的是（）

A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零B.素?cái)?shù)都是奇數(shù)

C.高一（I）班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D.凡是過(guò)去，皆為序章

【答案】C

【分析】由全稱命題的定義，全稱命題為含有全稱展詞的命題，由此對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得到答

案.

【解析】命題“任意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零"，含有全稱量詞，故A是全稱量詞命題；

B中命題可改寫(xiě)為：任意的素?cái)?shù)都是奇數(shù)，含有全稱量詞，故B是全稱量詞命題;

C中命題可改寫(xiě)為：高一（1）班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，不含全稱量詞，C不是全稱量詞命題；

D中命題可改寫(xiě)為：所有已經(jīng)發(fā)生的事，都是過(guò)去的事，含全稱量詞，故D是全稱量詞命題.

故選：C.

3.不等式的解集是（）

x+1

7

A.x—<x<-\-B.{Mx<-2}C.x--<x<-]D.{.dx>-l}

2

【答案】C

【分析】解分式不等式，首先移頂，通分，整理為一2r■+7《（），再轉(zhuǎn)化為二次不等式，即可求解.

x+\

【解析】由原不等式可得3—=?0o生?40,即[（2X+7）,?）〈0,解得一建X<一],

x+1x+1X+1W02

7

故原不等式的解集為

故選：C.

4.已知集合4={2.9}.4={病.2}.若人二乩則實(shí)數(shù)〃?的值為（）

A.3B.2C.±72D.±3

【答案】D

【分析】由集合相等得加=9,解方程即可求解.

【解析】因?yàn)榧先?{2,9},4=k/2},且A=8,所以渥=9,解得〃?=±3.

故選：D

5.已知〃、Z?eR,則"曲>""是的（）條件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念判斷即可.

【解析】當(dāng)。=一2/=一1時(shí)，滿足曲但av/?<0,

所以由ab>b2不能得到a>b>0.

當(dāng)〃>。>0時(shí)，由不等式的基本性質(zhì)得">從，

所以由a>b>0能推IIIab>b2.

所以“"〉從"是的必要不充分條件.

故選:B.

6.已知-3Wa+H-2,IWaM",則％+b的取值范圍是（）

A.[—3,0]B.[—5,3]C.1-5,0]D.[—2,5]

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解.

【解析】因?yàn)?。+人=2（〃+勿+（4—份，又一3<。+〃《—2,\<a-b<4,所以3〃+人的取值范闈是[一5,0].

故選：C.

7.已知若^+丁也之1，亙成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

a1-a

I、

A.二，+8B.；司C.I（）lD.（0,4]

[4；

【答案】A

【分析】利用恒成立等價(jià)條件轉(zhuǎn)化，再利用不等式即可求得結(jié)果

【解析】因?yàn)镺vavl,所以。十321恒成立等價(jià)」“2。（1一。）恒成立，

a\-a

又〃"Fj=}.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

故，4

4

故選：A

8.某公司共有50人，此次組織參加社會(huì)公益活動(dòng)，其中參加A項(xiàng)公益活動(dòng)的有28人，參加B項(xiàng)公益活

動(dòng)的有33人，且A,A兩項(xiàng)公益活動(dòng)都不參加的人數(shù)比都參加的人數(shù)的三分之一多1人，則只參加A項(xiàng)

不參加8項(xiàng)的有（）

A.7人B.8人C.9人D.10人

【答案】D

【分析】設(shè)A,B兩項(xiàng)公益活動(dòng)葫參加的有X人，得出僅參加A,B項(xiàng)和兩項(xiàng)公益活動(dòng)都不參加的人數(shù)，

列出方程，即可求解.

【解析】如圖所示，設(shè)A,8兩項(xiàng)公益活動(dòng)都參加的有工人，

貝丁僅參力口A項(xiàng)的有（28一八）人，僅參力口3項(xiàng)的有（33—入）人，

A,8兩項(xiàng)公益活動(dòng)都不參加的有人，

由題意得X+（28-X）+（33—X）+（；X+I）=50,解得X=18,

所以只參加A項(xiàng)不參加8項(xiàng)的有28-18=10人）.

故選D.

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.下列說(shuō)法正確的有（）

A.某校高一年級(jí)視力差的學(xué)生可以構(gòu)成一個(gè)集合

B.集合人=｛1），=9+1｝與集合8=｛（乂），）卜，=/+1｝是相同的集合

C.由1,m，;，-3,0.5這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素

D.在平面直角坐標(biāo)系中，第【I象限或第IV象限內(nèi)所有的點(diǎn)（乂），）組成的點(diǎn)集，可以表示成集合

（（x,y）l^<0,x,yeR）

【答案】CD

【分析】A選項(xiàng)：集合中元素需要具備確定性，而視力差標(biāo)準(zhǔn)不確定；B選項(xiàng)：點(diǎn)集和數(shù)集無(wú)法相等；C選

項(xiàng)：集合中相同的元素算做1個(gè)；D選項(xiàng)：可以判斷出工和丁異號(hào).

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,視力差標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以某校高一年級(jí)視力差的學(xué)生不能構(gòu)成集合，故選項(xiàng)A錯(cuò)

誤，

對(duì)于選項(xiàng)B,其中集合力=｛Xy=V+i｝是數(shù)集，集合8=｛（x,y）|y=Y+i｝是點(diǎn)集，

所以集合人=｛1丁=/+1｝與集合8=｛（乂），）"=/+1｝不是同一集合，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閁=0.5,由集合中元素的互異性知這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素，所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)榈诙虻谒南笙迌?nèi)的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)異號(hào)，即孫<0,

所以第II象限或第IV象限內(nèi)所有的點(diǎn)（x,y）組成的點(diǎn)集，可以表示成集合｛（%刈邛vOdywR｝,故選D

正確，

故選：CD.

10.使不等式2h2+依-?<0對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立的一個(gè)充分條件是（）

O

A.A:=0B.A=1C.A:=—1D.-3<k<0

【答案】ACD

【分析】先求出不等式2米2+3-?<0對(duì)一切實(shí)數(shù)工都成立時(shí)％的取值范圍，然后再看各個(gè)選項(xiàng)是否在這個(gè)

O

取值范圍內(nèi).

3

【解析】當(dāng)左=0時(shí)，此時(shí)不等式變?yōu)??<0,這個(gè)不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立.

O

3

當(dāng)上工。時(shí)，不等式2履2+依-?<0是一個(gè)二次不等式，要使其對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立，則二次函數(shù)

O

），=2"的圖象需開(kāi)I」向卜.，且與X軸無(wú)交點(diǎn).開(kāi)||向卜?：二次項(xiàng)系數(shù)2Z0,即ho.與X軸無(wú)交

O

點(diǎn)：判別式△=公一4、2攵*（一：）<0.此種情況，解得_34<0.

O

綜合兩種情況

不等式2kx2+kx-^<0對(duì)?切實(shí)數(shù)x都成立時(shí)k的取值范圍是-3?VO.

O

分析各個(gè)選項(xiàng)：

A選項(xiàng)：2=0滿足-34<0,所以&=0是不等式成立的一個(gè)充分條件.

B選項(xiàng)：&=1不滿足-3440,所以k=1不是不等式成立的充分條件.

C選項(xiàng)：攵=-1滿足-34W0,所以左二-1是不等式成立的一個(gè)充分條件.

D選項(xiàng)：-34<0滿足-3440,所以-3<4〈0是不等式成立的一個(gè)充分條件.

故過(guò)：ACD.

11.若孫）'滿足f+>'2一外=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.孫>1

【答案】BC

【分析】利用基本不等式和重要不等式逐個(gè)計(jì)算判斷即可.

【解析】因?yàn)樵L4史辿［工此互（a,〃eR）,

I2）2

所以Y+y2一盯=［可變形為，（x+y1_］=3孫K3”!刃，

解得-2Kx+yK2,

當(dāng)且僅當(dāng)>=>=_1H寸，x+y=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

22

由一+爐一與,=1可變形為（/+y）-1=孫V，,

解得丁+y242,當(dāng)且僅當(dāng)x=），=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確;

由/+/一沖=］可變形為/+/=（），+］22孫，所以孫W1,所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={削工=2",〃€2},4={123,4},則的真子集個(gè)數(shù)

為?

【答案】7

【分析】由交集的運(yùn)算可得AC|8={1,2,4},即可得到結(jié)果.

【解析】對(duì)于集合A={Mx=2","eZ},當(dāng)〃=0是，x=l,當(dāng)〃=1時(shí)，x=2,

當(dāng)〃=2時(shí)，x=4,所以4。8={1,2,4},

則其真子集的個(gè)數(shù)為23-1=7.

13.若關(guān)于1的不等式爾2-爾-1<0的解集是R,則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是—

【答案】-4</w<0

【解析】當(dāng)〃7=0時(shí)，原不等式為TvO,符合題意：當(dāng)機(jī)工0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式爾2-心-1<0的解

集為R,只需，：<°’24c解得-4vmv0.綜上，-4<m<0.

△-m+4m<0.

14.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足,+曰=2,且不等式工十二<〃?2—〃?有解，則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍

xy4x

是.

【答案】（-8,7）52,+oo）

【解析】由于1+1=；，：+4］［，+t］=:〔2+6十年］之；（2+2俱百］=2,當(dāng)且僅當(dāng)

4K2（4x）\xy）214xyJ2（y4x-y~

工=&￥=1,即x=l,y=2時(shí)取等號(hào)，而不等式x有解，所以加一機(jī)>2,即

4T廠4x

（m-2）（m+l）>0,解得〃z<-1或成>2.

三、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

15.（13分）

用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希⑴袛嗨怯邢藜€是無(wú)限集.

⑴由大于-3且小于9的偶數(shù)組成的集合；

⑵所有被5除余2的整數(shù)所構(gòu)成的集合；

⑶平面直角坐標(biāo)系中第四象限的全體點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的集合；

【解析】（1）{-2,0,2,4,6,8},有限集.（5分）

（2）A={x|x=5A+2,AwZ},無(wú)限集.（10分）

（3）A={（x,y）|x>0,y<0,xeR,yeR},無(wú)限集.（15分）

16.（15分）

已知命題P：VxGR?ax2+av+1>0;命題9：3—1<x<1>a<0.

⑴若〃為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若P,夕中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立，分。=。，4工。分類求解.

（2）由存在量詞命題真求出命題“，再利用兩個(gè)命題一真一假求出范圍.

【解析】（1）VXGR,加+以+1>0,而"0；

〃>0

則j<0，（4分）

解得0<。<4,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（0,4）.（7分）

（2）3-1<X<1,2x+a<0<=>a<-2x,Hij-2<-2x<2,因止匕a<2,（10分）

即命題4：a<2,由（1）知，命題P：0<a<4,

由P,4中有且僅有一個(gè)為真命題，得〃真4假或〃假4真，（12分）

若P真4假，則2<。<4；若P假9真，則

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-。,0卜［2,4）.（15分）

17.（15分）

某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測(cè)算，其生產(chǎn)的總成本），（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系

式為、，=（*+3000,且當(dāng)年產(chǎn)曷是100噸時(shí)，總成本為6000萬(wàn)元.平均成本二號(hào)成彳:.

總產(chǎn)里

⑴求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；

⑵若企業(yè)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為90萬(wàn)元，當(dāng)年利潤(rùn)不少于3000萬(wàn)元時(shí)，則該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最小值應(yīng)為多

少噸？（利潤(rùn)=銷售額?成本）

【分析】（1）由題意可知，當(dāng)x=100時(shí)，產(chǎn)6000,由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可；

（2）由題意可知，年利潤(rùn)乙=—2/+90.丫—3000,^-—J2+90X-3000>3000,求出大的取值范圍即

1010

可.

【解析】（1）當(dāng)年產(chǎn)量是100噸時(shí)，總成本為6000萬(wàn)元，

3

所以6OOO=axlOO2+3OOO，解得□=?，

所以丁=6產(chǎn)+3000/>0，

3,

所以生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本為「_而月+300°_343000>,l3x3000（6分）

——-----------=—十-----WJ/-----=OU

xX10XVioJC

當(dāng)且僅當(dāng)工=磔，即x=100,

10x

所以當(dāng)年產(chǎn)量為100噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，最低成本為60萬(wàn)元.（8分）

（2）由題意可知，年利潤(rùn)乙=901-￥=90刀一（5/+300（））=-噂/+904一300。，

x2+90x-3000>3000,-300x+20000<0,（12分）

解得：1004x4200,

所以該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最小值應(yīng)為100噸.（15分）

18.（17分）

已知集合A={WL1<X<3-2〃},5=1X|X2-2X-8<0}.

⑴若。=0,求AcB;

（2）若AUA=A，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍：

⑶若xe4是犬€A的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【分析】（1）利用交集運(yùn)算即可；

（2）利用子集關(guān)系，再分兩類空集和非空集討論即可；

（3）把充分不必要關(guān)系轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，再求參數(shù)范圍.

【解析】⑴當(dāng)4=0時(shí)，A={A|-I<A-<3},5={^|X2-2X-8<0}={X|-2<X<4）,

所以4nB={x|TWxW3}.（4分）

（2）因?yàn)锳=W〃-1WxW3-2n},8={目-2Wx?4},

所以由AU3=8,得AqB,（6分）

4

①當(dāng)A=0時(shí)，a-l>3-2</,解得滿足題意；（8分）

a-1<3-2a

i4

②當(dāng)時(shí)，則,a—\>—2,解得—<a<—,

23

3-2a<4

綜上，a>~,故實(shí)數(shù)4的取值范圍為-；，+8).(12分)

(3)由xwB是xwA的充分不必要條件，可得,

XA={x|?-l<x<3-2tz},8=何-2"?4},

a-\<3-2a?

則?。一1?-2②,且②③式等號(hào)不同時(shí)成立，解得。工一1,

3-2〃24③

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(f-1].分)

19.117分)

已知函數(shù)y=cix'+bx+c.

2

(1)關(guān)于x的不等式加+Ux+c<0的解集為向-1。<3},求關(guān)于方的不等式反2-a(e-2)x-3a>0的解集;

⑵已知4>0力>0,當(dāng)x=2時(shí)，y=2ab+c,

①若存在正實(shí)數(shù)。，b,使不等式/+3]-〃-專>0有解，求/的取值范圍；

4b16aM日t竹

②求;--+一；的最小值.

b-2a-1

【分析】(1)由根與系數(shù)的關(guān)系求出〃,b,c關(guān)系，代入所求不等式，分類討論解集；

(2)由條件得一+：=】，再利用基本不等式求解問(wèn)題.

ab

【解析】(1)因?yàn)殛P(guān)于x的不等式加+加+c<0的解集為

a>0,八

￡7>0

所以，-1+3=—,即<〃=—2d,(3分)

a

c=-3a

-1x3=-,

a

所以不等式力『一a(c-2)x-3/20可轉(zhuǎn)化為一2。小一a(-3a-2)x-3a2>0,

又〃>0,所以2/—(3i+2)x+3aW0,B|J(2x-3a