第三章一元一次方程（舉一反三講義）全章題型歸納

【滬教版五四制2024】

■題型歸納

【基礎(chǔ)鞏固】....................................................................................1

【題型I一元一次方程的定義】..................................................................1

【題型2—元一次方程的解】....................................................................3

【題型3等式的基本性質(zhì)】......................................................................4

【題型4解一元一次方程】......................................................................7

【能力提升】....................................................................................9

【題型5根據(jù)一元一次方程解的關(guān)系求參數(shù)】.....................................................9

【題型6整體思想求一元一次方程的解】.........................................................11

【題型7一元一次方程的應(yīng)用】.................................................................13

【思維拓展】...................................................................................17

【題型8解含絕對值的一元一次方程】...........................................................17

【題型9利用一元一次方程解決規(guī)律問題】......................................................20

【題型10含字母系數(shù)的一元一次方程的解法】....................................................22

舉一反三

【基礎(chǔ)鞏固】

【題型1一元一次方程的定義】

【例I】（2425七年級上?河南?期末）若方程（|川一1）/+血％-%+2=0是關(guān)于工的一元一次方程，則〃？

的值為（）

A.1B.1或一1C.-1D.2

【答案】C

【分析】本題考查根據(jù)一元一次方程的定義.求參數(shù)的值.根據(jù)一元一次方程的定義.得到|m|-1=0且加一

1工0,進行求解即可.

【詳解】解：（|m|-l）x2+mx-x+2=0,整理，得：（|m|-l）x24-（m-l）x+2=0,

團方程為一元一次方程，

0|m|-1=0且m—1工0,

解得：m=-1；

故選C.

【變式11】（2425七年級上?甘肅白銀?階段練習(xí)）下列方程是一元一次方程的是（）

A.2x4-3y=9B.x2-2A=4C.-=1D.-x-1=3x

JX2

【答案】D

【分析】本題主要考查一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A.2x+3y=9有兩個未知量，該方程不是一元一次方程，故不符合題意；

B.好-2無二4木知量的最高次項是2,該方程不是一元一次方程，故不符合題意；

含有分式，不是整式方程，該方程不是一元一次方程，故不符合題意；

CX.

D.1=3%是一元一次方程，故符合題意；

故選：D.

【變式12］關(guān)于x的方程-3m=0是一元一次方程，則m=.

【答案】1

【分析】此題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的整

式方程叫一元一次方程.根據(jù)一元一次方程的定義可得m=1.

【詳解】解：團關(guān)于x的方程"巾-3m=0是一元一次方程，

由題意得：m=1.

故答案為：1.

【變式］在已知下列方程：&x-2=-@③：%一④2⑤⑥

13Xt0.3x=1,N=51,2%-3=0,x=6,

x+y=0,其中是一元一次方程的有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】C

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義（只含一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1,

且為整式方程）逐一判斷各方程即可，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?x-2=|,右邊為分式，不是整式方程，不符合題意；

@0.3x=l,僅含未知數(shù)，次數(shù)為1,且為整式方程，符合題意；

③;二5%-1,僅含未知數(shù)，次數(shù)為1,且為整式方程，符合題意；

?2X2-3=0,僅含未知數(shù)x,次數(shù)為2,不符合題意：

⑤％=6,僅含未知數(shù)公次數(shù)為1,且為整式方程，符合題意；

@x+y=0,含未知數(shù)不、y,不符合題意；

綜上，符合條件的有②③⑤，共3個，

故選：C.

【題型2一元一次方程的解】

【例2】（2425七年級上?安徽合肥?期末）若％=2是關(guān)于工的一元一次方程ax-b-4=0的解，則1-4a+2b

的值是.

【答案】-7

［分析】本題主要考查了一元一次方程的解，代數(shù)式求值，先把x=2是代入方程”-h-4=0得2Q-b=4,

再將代數(shù)式1-4Q+2b變形得1-2（2。-①，然后代入計算即可，掌握方程的解，代數(shù)式求值是解題的關(guān)

健.

【詳解】解.：0%=2是關(guān)于X的一元一次方程ax-b-4=0的解，

02a—b-4=0,即2a—b=4,

01-4a+2d=1—2（2Q—b）

=1-2x4

=1-8

=-7,

故答案為:-7.

【變式21】（2425七年級上?天津河西?期末）4=3是下列哪個方程的解（）

A.5x—2=4x+1B.5x-2=4x—1

C.5x+2=4x—1D.5x+2=-4x-1

【答案】A

【分析】本題主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值成為解題的關(guān)鍵.將％=3

代入各項逐項判斷即可.

【詳解】解：當(dāng)x=3時，

A.5x—2=13=13=4%4-1,符合題意；

B.5x-2=13#：ll=4x—1,不符合題意；

C.5x+2=17011,不符合題意；

D.5%+2=17=-13=—4%—1,不符合題意.

故選；A.

【變式22］（2425七年級下?全國?單元測試）已知x=2是關(guān)于x的方程：。+無=。?（%+1）的解，則a的值是

()

94

A.-B.-C.1D.-2

35

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的解：滿足一元一次方程的未知數(shù)的值叫一元一次方程的解.

把《=2代入方程計算即可求出a的值.

【詳解】解：把X=2代入+%=Q?（%+1）,得;Q+2=Q（2+1）,

解得：a=4，

故選B.

【變式23】（2425七年級下?福建泉州?期中）整式ax+b的值隨著x的取值的變化而變化，如表是當(dāng)x取不

同的值時對應(yīng)的整式的值：

X-10123

ax-\-b-8-4048

則關(guān)于x的方程一辦-b=-4的解是.

【答案】x=2/2=x

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解知識點，掌握等式的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.將-a無變形

為a%+b=4,觀察表格數(shù)據(jù)可得答案.

【詳解】解：回-ax-b=-4,

Bax+b=4,

由表可知，當(dāng)x=2時，ax+b=4,

回關(guān)于x的方程-ax-b=-4的解是％=2.

故答案為：x=2.

【題型3等式的基本性質(zhì)】

【例3】（2025?安徽滁州?三模）已知a,力，。均為非實數(shù)，且:。一白力二：前則下列結(jié)論正確的是（）

3124

A.若c=3b,則a=4cB.若a=b?則b=c

C.若b>0,則4a<3cD.a+c=—(3a—b+4c)

【答案】B

【分析】本題考杳等式的性質(zhì)及完全平方公式，正確記憶等式的性質(zhì)并正確做出判斷是解題關(guān)鍵.根據(jù)等式

的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】解：A.若c=3b,則b=[c,代入;Q—白匕=：c,

33124

ZQI111

憊"石X/=[C,

M=Jc,故A錯誤，不符合題意；

B.若a=b,則4——-b=-c,

3124

助=c,故B正確，符合題意；

C.0-a---b=-ct

3124

l11,

丐ra。一尸=丑，

04a-3c=b,

勛>0,

回4a-3c>0,

04G>3c,故C錯誤，不符合題意；

D.淤Q(mào)——-b=-c?

3124

屋a--c=-b,

3412

04G—3c=b,

0a4-c=-^(3a—b+4c),

012a+12c=3a—b+4c,

06=—9a—8c,

134a-3c-9a-8c,

團由1Q-口=(c得不出Q+c='(3a-b+4c),故D錯誤，不符合題意；

故選：B.

【變式31]已知8血+3〃+2=4巾+7九，利用等式的性質(zhì)比較m與日的大小關(guān)系：m幾(填

或“=”)

【答案】v

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)健.

【詳解】解：87n+3n+2=4m+7n,

得4m-4n=-2,

兩邊除以4,

得m—n=—1<0?

所以m<n.

【變式32】（2425七年級下?浙江杭州?期末）若商品的進價為如售價為b,則毛利率p=-0>a）,把這

個公式變形成已知p,a,求力的公式，應(yīng)為（）

A.b=B.b=pb+aC.b=D.b=

PRi-pi+p

【答案】C

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

將已知的毛利率公式進行等式變形，得出。的表達式即可.

【詳解】解?：回P=1，

-b=b—a

p-b-b=-a

b（p—1）=—a

=—

i-p

故選：C.

【變式33】（2425七年級上?內(nèi)蒙占烏蘭察布?期末）下列變形：①如果小=3%那么a=3：②如果2=匕

CC

那么a=b；③如果2=<那么a=b；④如果a=b,那么2=/-.其中正確的是.（填序號）

abcz+lc2+l------

【答案】②③④

【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析即可.

【詳解】解：①如果Q2=3Q,那么當(dāng)Q,0時，a=3,故①不正確；

②如果￡=&那么a=h,故②王確；

③如果;3那么。=從故③正確；

④如果a=b,那么島二島，故④正確.

故答案為：②③④.

【題型4解一元一次方程】

【例4】（2425七年級上?安徽六安?期中）小強在解方程”-3%-1=2%+《時，將"-3%"中的抄漏了，

得出x=4,則原方程正確的解是（）

442

A.x=--B.x=-C.x=-D.x=4

【答案】A

【分析】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的應(yīng)用，能求出k的值是解此題的關(guān)鍵.小強漏抄

負(fù)號后解得的x=4可求出k的值，再代入原方程求解即可.

［詳解】小強將方程抄為3x-l=2x+k,解得％=4,

則將％=4代入錯誤方程得：3x4-1=2x4+k,

解得：k=3.

原方程為：一3%-1=2%+3,

移頂?shù)茫阂?%-2%=3+1,

即一5%=4,

解得：x=-1.

故選:A.

【變式41］（2425七年級下?山西臨汾?期中）若代數(shù)式4%+5與2%+3的值互為相反數(shù)，則％等于（）

44a

A--3B.-C.-1D.-

【答案】A

【分析】本題考查相反數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)得到（4%+5）+（2%+3）=0,解方程

即可解答.

【詳解】解：（3代數(shù)式軌+5與2》-3的值互為相反數(shù)，

0（4%+5）+（2%+3）=0,

解得％=_*

故選:A

【變式42】（2425七年級上?廣東深圳?期中）按如圖所示的程序進行計算，若輸入x的值是3,則輸出），的

值為1.若輸出），的值為3,則輸入x的值是（）

A.7B.C.7或一1D.-7或1

【答案】A

【分析】本題考查了程序框圖的含義，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解程序是解題的關(guān)鍵.根據(jù)輸入x的值

是3,則輸出），的值為1,得到?=1,求得〃，具體化后，分別令式子值為3,求得x的值，符合范圍的

就是所求.

【詳解】解：???輸入x的值是3,則輸出），的值為1,

???=1,解得：h=1,

當(dāng)無>一1時，y=

當(dāng)x<-l時，y=-3x+2,

當(dāng)），=±呆=3時，解得：x=7>-l,符合題意；

當(dāng)），二一3工+2=3時，解得：x=-^>-1,不符合題意；

故選:A.

【變式43】（2526七年級上?全國裸后作業(yè)）方程±+/+???+?訴=2024的解是______.

ZX4,4XoZUZ^rXZUZo

【答案】x=8104

【分析】本題考查了解一元一次方程，將方程變形為^第=2024,即可得到答案，正確的運算是解題的關(guān)

AUA?5

鍵.

【詳解】解：以+提+~+赤丁

x,11

=—(----+------F???H-----------)

44x22x31012x10131

^111111

4(1-2+2-3+，"+1012~1013)

X11

二彳（廠1013）

x1012

=-(----)

4v10137

253

W13X

-2-53-x=2024,.

1013

x=8104,

故答案為：x=8104.

【能力提升】

【題型5根據(jù)一元一次方程解的關(guān)系求參數(shù)】

【例5】(2425七年級下?吉林長春?階段練習(xí))若關(guān)于%的方程3%+2=2%-5的解與方程式3%+2)=卷+

久又一1)的解互為相反數(shù)，則k的值為.

【答案】2

【分析】本題考查方程的解的問題及參數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是分別求出兩個方程的解，根據(jù)互為相反兩個

數(shù)和為0,列新方程求解.

分別解出兩個方程的解用含攵的字母表示，再根據(jù)互為相反數(shù)列式即可得到答案.

【詳解】解：由題意得：解方程3父+2=2%一5,

解得％=-7；

解方程33%+2)=悌+|(x-1),

解得％=等;

團兩個方程的解互為相反數(shù)，

23-kz”

???——F(-7)=0A,

解得:k=2；

故答案為：2

【變式51](2425七年級上?新疆阿克蘇,期末)若方程％+3=0的解與關(guān)于％的方程3x+2=k-12的解相

同，則k的值為.

【答案】5

【分析】本題考杳同解方程，求出》+3=0的解，將解代入3x+2=k-12中，求出土的值即可.

【詳解】解：以+3=0,

0%=-3,

把x=-3代入3X+2=k一12,得：3x（-3）+2=k-12,

解得：k=5；

故答案為：5.

【變式52】關(guān)于x的方程5m+軌=1+2%的解比關(guān)于x的方程2x+5m=7m的解大2,則〃z的值為（）

A.--B.-C.-D.--

7777

【答案】A

【分析】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次的步驟是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)題意解方程5m+4%=1+2%和2x+5m=7m,得亨—m=2,解方程即可；

【詳解】解：解方程5m+4%=1+2%得%=手，

解方程2X+5?n=77n得為=?n,

根據(jù)題意得空-m=2,

解得m=-*

故選：A.

【變式53】（2425八年級上?貴州銅仁?期中）時于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相

同的解，則稱這兩個方程為“相似方程〃；若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程

⑴判斷方程6-4（1-x）=2x與%V=-4是否為“相似方程”，并說明理由；

Xi乙

⑵已知關(guān)于x,y的二元一次方程y=mx+6和y=x+47n是"相伴方程"，求正整數(shù)m的值.

【答案】（1）是，理由見解析

（2）m=2或zn=3

【分析】本題考查了新定義一一“相似方程""相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程.熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容，是解題的關(guān)鍵.

（1）先分別算出方程6-4（1-乃=2%與基=-4的解，再結(jié)合“相似方程”進行判斷，即可作答.

（2）因為關(guān)于x,1y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是"相伴方程"，所以mx+6=%+4m,整理得

x-4m6=4^―,結(jié)合x,y,/〃均為整數(shù)，則Tn】=0,m=2,m=—1>?n=3,因為〃i為正整數(shù)，

T71—1771—1234

據(jù)此即可作答.

【詳解】（1）解?：方程6-4（1-x）=2%與方程桀=-4是“相似方程〃，理由如下：

解方程6-4(1一x)=2x得

x=-1,

解方程1=一4得

ArI4U

X=-1?

檢驗：％=-1是該分式方程得解.

回方程6-4(1-x)=2%與方程第=-4是“相似方程〃

(2)解：=mx+6和y=x4-4nl是"相伴方程

團7nx+6=x+4m

4m—62

x=--------=4------------

m—1m—1

取，y,-均為整數(shù),

07/1—1=±1,Hl-1=±2,

團血1=0,TH2=2,血3=-1，血4=3,

乂加為正整數(shù)

團m=2或m=3

【題型6整體思想求一元一次方程的解】

【例6】(2425七年級卜??山西呂梁?期中)在解一元一次方程時，有時根據(jù)方程的表面特點，巧妙利用整體

法，可以達到簡化計算的效果.

例如：在解方程5G無+9-76.1+9+2=-0%+：)時，把G%+g看作一個整體.

令機="+(原方程變?yōu)?m-7m+2=-m,

移頂，得5m—7m+m=-2,

合并同類項，得一瓶二一2.

系數(shù)化為1,得m=2,

故：x+：=2,解得

閱讀以上材料，請用同樣的方法解方程：2025(8%+3)-2024(8%+3)-5=2(8x+3).

【答案】％=-1

【分析】本題考查了解?元一次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵.把8%+3看作一個整體，再按照解一元

一次方程的方法求解即可.

【詳解】解：2025(8%+3)-2024(8萬+3)-5=2(8%+3)

令a=83+3,則原方程變?yōu)?025a-2024a-5=2a,

移頂?shù)茫?025Q-2024a-2Q=5,

合并同類項得：一a=5,

系數(shù)化為1得：a=-5,

故取+3=-5,

解得：x=-l.

【變式61]整體法解方程團5(4%+6)-^(x-l)=2(x-l)-i(4x+6).

【答案】X=-詈

【分析[本題考查了解一元一次方程的應(yīng)用，注意用了整體代入思想，即把■+6和％-1分別當(dāng)作一個整體

來合并.移項、合并同類項、去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化成1即可.

【詳解。解13將4%+6,”一1都看成整體進行移項、合并同類項，得?(4%+6)=?。-1).

44

去分母，得21(4%+6)=11(%-1).

去括號，得84%+126=11%一11.

移項、合并同類項，得73%=-137.

系數(shù)化為1,得不=-皆.

【變式62】(2526七年級上?全國?課后作業(yè))整體法解方程：4{2(x+2)-[|(2x+4)+5]]=l.

【答案】％=審

【分析】此題是一道材料信息題，主要考查了解一元一次方程，理解并應(yīng)用材料中介紹的換元法是解本題的

關(guān)鍵.

利用換元法，先設(shè)Q=2%+4,原方程可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元一次方程，解出Q后再代入求出工的值.

【詳解】解：設(shè)。=2尢+4,原方程可轉(zhuǎn)化為4,一?。+5)]=1,

去括號，得4Q-2Q-20=1,

移頂，得4a-2a=1+20,

合并同類項，得2a=21,

兩邊都除以2,得。=日，

所以2x+4=?,

解得％=v-

4

【變式63】(2425六年級上?上海?階段練習(xí))若關(guān)于x的一元一次方程總"+3=2%+匕的解為％=-3,則

Z0Z4

關(guān)于y的一元一次方程喘^(1-y)=-2y-1+b的解為.

【答案】y=4

【分析】本題考查了一元一次方程的解法，將方程/(1一')二一2＞一1+6變形得募(1一、)+3=

2(1-y)+b,設(shè)1一y=x,可得方程感(1-y)+3=2(1-y)+b的解即為方程表"+3=2x+b的解,

即得1一丫=一3,據(jù)此即可求解，掌握換元法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程募(1一丫)=-2、-1+匕變形得，表(l-y)+3=2(l-y)+b,

設(shè)1-y=%,

則方程募(1一y)+3=2(1-y)+b的解即為方程/x+3=2x+b的解，

田方程焉％+3=2x+8的解為x=-3,

2024

01—y=-3,

團y=4,

團一元一次方程感(1-y)=-2丁-1+b的解為y=4,

故答案為：y=4.

【題型7一元一次方程的應(yīng)用】

【例7】(2425七年級上?遼寧鐵嶺?期末)春節(jié)將至，中央廣播電視總臺《2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會》發(fā)布官方

吉祥物形象"巳升升"，祝福全球華人在新的一年如意康宇，好事連連.“巳升升〃吉祥物擺件也隨之熱銷，某

超市用18000元從廠家購進了300個“已升升"擺件，升以每個8。元的價格銷售，銷售了一部分后正值元旦

促銷，該超市將剩下的"巳升升〃擺件在原售價的基礎(chǔ)上打9折繼續(xù)銷售，并且全部售完.已知這批“巳升升〃

擺件獲得的總利潤是4560元.

⑴求每個"巳升升"擺件的進價是多少元？

⑵請你算一算打9折前共售出多少個“巳升升”擺件？

【答案】⑴60元

（2）120個

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程.

（1）用購買金額除以數(shù)量，即可得到進價；

（2）設(shè)打9折前共售出x個"巳升升"擺件，根據(jù)這批“巳升升"擺件獲得的總利潤是4560元列方程可解得答

案.

【詳解】（1）解?：團某超市用18000元從廠家購進了300個“巳升升〃擺件，

回每個“巳升升〃擺件的進價是18000+300=60（元）；

答：每個“巳升升”擺件的進價是60元；

（2）解：設(shè)打9折前共售出x個“巳升升〃擺件,

根據(jù)題意得：80%+80x0.9（300-%）=18000+4560,

解得％=120,

回打9折前共售出120個“巳升升”擺件.

【變式71】某服裝廠生產(chǎn)一種型號的服裝，已知3米長的布料可做2件上衣或3條褲子，一件上衣和一條褲

子為一套，現(xiàn)在庫內(nèi)存有這種布料600米，那么一共能加工服裝套.

【答案】240

【分析】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用.

設(shè)一共能加工服裝工套，根據(jù)題意列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)一共能加工服裝式套，

根據(jù)題意可得住+|卜=600,

解得％=240,

團一共能加工服裝240套.

故答案為；240.

【變式72］又到了春暖花開的時節(jié)，淮安外國語學(xué)校一年一度的〃踏青節(jié)〃即將拉開帷幕.“煙花三月下?lián)P州”,

美麗的瘦西湖成了同學(xué)們的首選目標(biāo).國家旅游勝地"五星級〃風(fēng)景區(qū)瘦西湖的團體參觀門票價格規(guī)定如下

表：

購票人數(shù)（人）”5051—100101?150150以上

參觀門票價格（元/人）50454035

去年我校七（1）、（2）兩班共103人（其中（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)）去參觀瘦西湖，如果兩班都

以班級為單位分別購票，則一共需付4860元.

⑴你認(rèn)為有沒有最節(jié)約的購票方法？如果有，可以節(jié)約多少元錢？

⑵你能確定兩班各有多少名學(xué)生嗎？

⑶如果本校初一（3）班共45人也一同前去參觀，那又如何購票最合理呢？共需多少元錢？

【答案】⑴有，可以節(jié)約740元錢

（2）1班有58人，2班有45人

⑶購買151張，總票價為5285元

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)確等量關(guān)系，要注意考慮全面，購票最省

錢的辦法就是團體購票.

（1）最節(jié)約的辦法就是團體購票，節(jié)省的錢=4860-團體票價；

（2）分有兩種情況：若1班和2班人數(shù)都在51?100之間；若1班人數(shù)是51?100,2班人數(shù)是1-50；分

別計算，即可求解；

（3）先計算出148人的團體票價，再計算出151人的團體票價，即可求解.

【詳解】（1）解:有.可以節(jié)約4860—103x40=740（元）.

（2）解：設(shè)1班有x人，則2班有（103-切人，根據(jù)題意，有兩種情況：

若1班和2班人數(shù)都在51?100之間，

45（%+103-％）=4635W4860（不符合題意，舍去）；

若1班人數(shù)是51?100,2班是1-50,

45%+50（103—X）=4860,

解得：x=58,

則103-3=45,

答：1班有58人，2班有45人；

(3)解：若3班也去，則三個班團體購票最合理，三個班的總?cè)藬?shù)有148人，總票價=148X40=5920元.

若買151張票，總票價為151x35=5285元，

05920>5285,

團最合理的方法是購買151張，總票價為5285元.

【變式73】如圖是某市民健身廣場的平面示意圖，它是由6個正方形拼成的長方形，已知中間最小的正方形

(1)若設(shè)圖中最大正方形8的邊長是x米，請用含工的代數(shù)式分別表示出正方形產(chǎn)、E、C的邊長

(2)觀察圖形的特點可知，長方形相對的兩邊是相等的(即MN=PQ,MQ=PN)請根據(jù)以上結(jié)論，求出x的

值

(3)現(xiàn)沿著長方形廣場的四條邊鋪設(shè)下水管道，由甲、乙工程隊單獨鋪設(shè)分別需要10天、15天完成，如果

兩隊從同一位置開始，沿相反的方向同時施工2天后，因甲隊另有任務(wù)，余下的工程由乙隊單獨施工，還

要多少天完成？

【答案】(1)F的邊長為(xl)米；C的邊長為小米；E的邊長為(x2)米；(2)7;(3)10

【分析】(1)若設(shè)圖中最大正方形B的邊長是x米，最小的正方形的邊長是1米，從圖中可看出F的邊長

為(xl)米，C的邊長為等，E的邊長為(xll),即可得到答案；

(2)根據(jù)長方形相對的兩邊是相等的(如圖中的MN和PQ).請根據(jù)這個等量關(guān)系，求出x的值；

(3)根據(jù)工作效率x工作時間=工作量這個等量關(guān)系且完成工作，工作量就為1,可列方程求解.

【詳解】解：(1)若設(shè)圖中最大正方形B的邊長是x米，最小的正方形的邊長是1米.

團F的邊長為：(xl)米，

團C的邊長為：言■米，

回E的邊長為：xll=(x2)米：

(2)0MQ=PN,

0xl+x2=x+l±l,

解得：x=7,

取的值為7：

（3）設(shè)余下的工程由乙隊單獨施工，還要x天完成.

0（六）*x=l,

解得：x=10.

答：余下的工程由乙隊單獨施工，還要10天完成.

【點睛】本題考查理解題意能力和看圖的能力，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求

解是解題的關(guān)鍵.

【思維拓展】

【題型8解含絕對值的一元一次方程】

【例8】已知關(guān)于4的絕對值方程2||元一1|一2|=a有二個解，則°=..

【答案】4

【分析】首先去絕對值符號得到次-1|-2=±ga,然后分情況再次去絕對值符號共得到四種情況1=

[a+2、％—1=—G（I+2）、％—1=（—：Q+2）、％—1=—（―[a+2）,然后用含a的代數(shù)式表示出方程

的解，再根據(jù)方程有三個解，所以可得：，3+9。二一1一：。或3-：。=-1+：。，求出Q=4或一4,再根

據(jù)絕對值的非負(fù)性可得a=4.

【詳解】解：一2|=a,

.-.||x-l|-2|=1a

|x-1|-2=±1a,

當(dāng)k一1|一2=：Q時，

移項得：|x—1|=ga+2,

二％-1=±GQ+2）,

若％-1=：Q+2,

解得：x=[a+3,

若x-1=-Qa+2),

解得：x=—^a—1；

當(dāng)卜一1|一2=一3a時，

移項得：|x-l|=-1a+2,

x-1=±：a+2),

若x-1=(一7+2)，

解得：x=-1a+3,

若x—1=_(_1+2),

解得：x=—1：

?,?%="+3或-3a+3或-T°一1或；0-1，

?.?方程有三個解，

3+：a=-1一:a或3-;a=-1+：a,

2222

二a=-4或4,

???2\\x-1|-2|=a

a>0,

???a=4.

故本題答案為：4.

【點睛】本題考查了解含有絕對值的一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是正確理解絕對值的意義并根據(jù)絕對值

的定義去掉絕對值符號，把方程轉(zhuǎn)化為一般形式的方程.

【變式81］解方程|嗡制=4-7%.

【答案】％=看或%=-3

【分析】本題主要考查了解絕對值方程，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：|畸總=4-7%,

根據(jù)絕對值的意義，得：寫君=4-7%或?qū)?=-4+7，

U?U/U.U4

解得：x=Z或％=-3.

6

【變式82］解方程：|3x+l|-|l-x|=2.

【答案】一：4xV1時，x=px<一1時x=-2

【分析】令3%+1=0,1—X=0,得％=—%x=l,根據(jù)這兩個數(shù)進行分段，去絕對值符號求工值.

【詳解】

解：①當(dāng)?shù)?1時，3%+1+1-無=2,

x=0,不存在；

②當(dāng)一1《3V1時，3%+1+%-1=2,x=

③當(dāng)xV-g時，—3%—1—1+%=2,x=-2,

???|3%+1|一|1-x|=2的解是一:4％V1時，x=^；%<—，時工=一2.

【點睛】本題主要考查了含絕對值符號的一元一次方程的解法，解題的方法是令每個絕對值部分為0,將高勺

值分段去絕對值解方程.

【變式83】已知關(guān)于x的方程|忱-100|-150|二Q有三個解，貝Ja=.

【答案】150

【分析】本題主要考查了含絕對值符號的一元一次方程.根據(jù)題意得：a>0,根據(jù)絕對值的定義，結(jié)合已

知條件列出關(guān)于a的一元一-次方程，求解之后判斷答案即可；

【詳解】解；根據(jù)題意得：a>0,

0|x-100|-150=±a,

0|x-100|=150±a,

0x-100=±(150±a),

0x=100±(150±a),

回X=250+a,x=250—a,x=-50+a,x=-50—a,

回關(guān)于x的方程||x-100|-150|=Q有三個解，則有兩個相等，

顯然250+a=-50+a,250-a=-50-a不成立，

若250+a=-50-a,得到a=-150(舍去)：

若250卜a=250—a,得到a=0,x=250,x=-50（舍去）；

若250-Q=-50+Q,得到Q=150,X=400,x=100,x=-200（符合題意）；

若-50-Q=-50+a,得到a=0,%=250,x=-50（舍去）；

故答案為：150.

【題型9利用一元一次方程解決規(guī)律問題】

【例9】下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成的，其中第1個圖形中面積為1的正方形有9

個，第2個圖形中面積為1的正方形有14個，第3個圖形中面積為1的正方形有19個，...，按此規(guī)律，則

有1104個面枳為1的正方形的是()

A.第190個圖形B.第200個圖形

C.第210個圖形D.第220個圖形

【答案】D

【分析】本題主要考查圖形規(guī)律探究及解一元一次方程，熟練掌握通過分析前幾個圖形的數(shù)量關(guān)系得出規(guī)律

是解題的關(guān)鍵.先找出圖形中正方形個數(shù)的規(guī)律，得出第n個圖形中正方形個數(shù)的表達式，再據(jù)此列方程求

解.

【詳解】解：第r個圖形中面積為1的正方形有9個，即9=5x1+4；

第2個圖形中面積為1的正方形有14個,即14=5x2+4；

第3個圖形中面積為1的正方形有19個,即19=5x3+4；

所以第九個圖形中面積為1的正方形有(5n+4)個.

令5幾+4=1104

5n=1104-4

5n=1100

n=220

故選：D.

【變式91】一只小球落在數(shù)軸上的某點0。,第一次從Po向左跳1個單位到匕，第二次從匕向右跳2個單位到

P2,第三次從02向左跳3個單位到P3,第四次從P3向右跳4個單位到P4.?????若按以上規(guī)律跳了200次時，它落

在數(shù)軸上的點P200所表示的數(shù)恰好是2020,則這只小球的初始位置點P。所表示的數(shù)是—.

【答案】1920

【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)初始位置點方所表示的數(shù)為a，依題意得，a-H2-3I4I……-199+200=2020,計算求解即可.

【詳解】解：設(shè)初始位置點P。所表示的數(shù)為a,

依題意得，a-1+2-3+4+.......-199+200=2020,

0a4-1x100=2020,

解得，a=1920,

故答案為：1920.

【變式92］如圖，是用小圓點按一定的規(guī)律組成的“七〃字，第1個圖形有7個小圓點，第2個圖形有12個

小圓點，第3個圖形有0個小圓點，…，按照這樣的規(guī)律，有252個小圓點的是第個圖形.

第I個圖形第2個圖形第3個圖形

【答案】50

【分析】本題考查了圖形的變化類問題，仔細(xì)觀察圖形，總結(jié)歸納第〃個圖形中的小圓點數(shù)量即可.

【詳解】解：觀察圖形得：

第1個圖形有5x1+2=7個小圓點，

第2個圖形有5x2+2=12個小圓點，

第3個圖形有5x3+2=17個小圓點，

第幾個圖形有（5n+2）個小圓點,

當(dāng)5幾+2=252時，n=50,

故答案為：50.

【變式93】（2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測）將正整數(shù)1至2025按一定規(guī)律排列.如圖所示.平移表中帶陰影的

矩形框.矩形框中三個數(shù)的和可能是（）

2345678

910111213141516

1718192021222324

2526272829303132

A.2024B.2022C.2019D.2040

【答案】B

【分析】本題上要考查了規(guī)律型的數(shù)字變化類、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)乇硎境鋈齻€

數(shù)的和并結(jié)合中間數(shù)所處的位置分析是解題的關(guān)鍵.

設(shè)中間數(shù)為X,則另外兩個數(shù)分別為：x-1.x+1,方框中三個數(shù)的和為：（x-l）+%+（%+1）=3%,

分別令3%等于四個選項中的數(shù)字得到一元一次方程并求解，并結(jié)合能否形成三個相連的正整數(shù)依次分析即

可.

【詳解】解：設(shè)中間數(shù)為工則另外兩個數(shù)分別為：x-1,x+1,

（3方框中三個數(shù)的和為：（%-1）+%+（%+1）=3%,

若3%=2024,MX=674|,不是正整數(shù)，舍去，故A不符合題意；

若3%=2022,則%=674,674=84x8+2,貝lj674在第85行第2列，

回674的前后都可以有數(shù)，形成三數(shù)相連：673,