專題6.3反比例函數的應用（舉一反三講義）

【北師大版】

題型歸納

【題型1利潤問題】

【題型2工程問題】

【題型3行程問題】

【題型4物理問題】

【題型5圖形問題】

【題型6表格問題】

【題型7分段函數問題】

舉一反三

知識點利用反比例函數解決實際問題

1.反比例函數N=中，自變量x的取值范圍是非零實數，但是在實際問題中要根

X

據具體情況與實際意義來確定自變量的取值范圍.

2.常見反比例關系舉例

（1）矩形面積S一定時，長y與寬x的函數表達式為y=J?）；

x

（2）菱形面積S一定時，一條對角線長y與另一條對角線長x的函數表達式為

29

y=—（X>0）;

X

（3）壓力/一定時，壓強〃與受力面積S的函數表達式為〃=《（S>（））；

（4）電壓U一定時，電流/與電阻R的函數表達式為/=二（火>0）；

R

（5）汽車油箱內汽油量￡一定時，行駛時間/與平均油耗〃的函數表達式為，=4（〃>0）..

n

【題型1利潤問題】

【例1】（24-25九年級上?河北滄州?階段練習）

1.某商場出售一批進價為120元/件的商品311件，為尋求合適的銷售價格，商場營銷部進

行了4天試銷活動，發(fā)現此商品的口銷售單價x（元/件）與口銷售量y（件）之間有如下關

系：觀察表中數據，發(fā)現可以用反比例函數刻畫這種商品的日銷售量y（件）與日銷售單價

試卷第1頁，共16頁

X（元/件）之間的關系

第1天第2天第3天第4天

日銷售單價X（元/件）150200240250

日銷售量y（件）40302524

（1）寫出這個反比例函數的解析式（不必寫X的取信范圍：）：

（2）在試銷4天后，若商場決定將這種商品的銷售單價定為250元/件，并且每天都按這個價

格銷售，那么余下的這些商品預計再用多少天可以全部售出；

（3）設商品的日銷售利潤為力元，試求出沙與x之間的函數關系式，物價局規(guī)定此商品的售

價最高不超過300元/件，若商場按獲得最大日銷售利潤的銷售單價出售該商品，能否在試

銷后的10天內售完該商品？

【變式1-1]

2.某市有4家專賣店銷售同樣品牌的羽絨服，如圖，用四個點分別描述甲、乙、丙、丁四

家專賣店的利潤率（利潤和成本的比值）y與該店成本工的情況，其中描述甲、丁兩家專賣

店對應的點恰好在同一個反比例函數的圖象上，那么銷售同樣數量的羽絨服獲得利潤最多的

店是（）

【變式1-2]

3.校園超市以4元/件的價格購進某物品，為制定該物品合理的銷售價格，對該物品進行試

銷調查.發(fā)現每天調整不同的俏售價，其銷售總金額為定值，其中某天該物品的售價為6元

/件時，銷售量為50件.

（1）設該物品的售價為x元/件時，銷售量為），件，請寫出y與x的函數表達式（不用寫出x的

取值范圍）；

（2）若超市考慮學生的消費實際，計劃將該物品每天的銷售利潤定為60元，則該物品的售價

應定為多少？

試卷第2頁，共16頁

【變式1-3]

4.某超市計劃購進甲、乙兩種商品，己知甲的進價比乙多20元/件，用2000元購進甲種商

品的件數與用1600元購進乙種商品的件數相同.

（1）求甲、乙兩種商品的進價各是多少元？

（2）小麗用95（）元只購買乙種商品，她購買乙種商品件數y（件），該商品的銷售單價x

（元），列出y與x函數關系式？若超市銷售乙種商品，至少要獲得20%的利潤，那么小麗

最多可以購買多少件乙種商品？

【題型2工程問題】

【例2】

5.瑞泰工程組安排甲、乙、丙、丁四輛貨車用于一批建筑材料運輸，已知這四輛貨車每一

次的運貨品都保持不變且為整數（單位：噸），乙車每次運貨量比甲車高50%,丙車每次運

貨量比甲車多12噸，甲、內兩車運輸2次的貨物M量與丁車獨白運輸3次的貨物品相等、

當甲、乙、丙、丁四輛貨車運輸次數之比為5:2:3:1恰好運完這一批建筑材料，此時甲車共

運輸了120噸，則這批建筑材料最多有噸.

【變式2—1]（24-25九年級上?安徽阜陽?階段練習）

6.某工程隊修建一條村村通公路，所需天數?。▎挝唬禾欤┡c每天修建該公路長度》（單

位：米）是反比例函數關系，已知該函數關系的圖象經過點（30,40）,如圖.

K

40—\

1

I

~30x

（1）求y與x之間的函數表之式（不用寫出自變量的取值范圍）；

（2）其它條件不變，求該工程隊每天修建該公路30米要比每天修建24米提前多少入完成此

項工程？

【變式2一2】

7.某市政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為IO,立方米，某運輸公司

承擔了運送土石方的任務.

（1）設該公司平均每天運送土石方總量為歹立方米，完成運送任務所需時間為/天.

①求歹關于，的函數表達式.

試卷第3頁，共16頁

②若0</m80時，求歹的取值范圍.

（2）若1輛卡車每天可運送土石方IO?立方米，工期要求在80天內完成，公司至少要安排多

少輛相同型號卡車運輸？

【變式2一3】

8.被稱為“世紀工程”的廣西平陸運河正在建設中，運河的某標段工程需要運送的土石方總

量為300000立方米，某運輸公司承擔了該項工程運送土石方的任務.

（1）設該運輸公司平均的運送速度為y（單位：立方米/天），完成運送任務所需的時間為工（單

位：天）.

①請直接寫出y與x的函數關系式；

②若該運輸公司每天可運送土石方6000立方米，則該公司完成全部運輸任務需要多長時間？

（2）由于工程進度的需要，該公司實際平均每天運送土石方比原計劃多2500立方米，結果工

期比原計劃減少了10天，該公司原計劃每天運送土石方多少立方米.

【題型3行程問題】

【例3】（24—25九年級上?遼寧大連?期末）

9.元旦假期，李老師駕駛小汽車從甲地沿公路勻速行駛到乙地，當小汽車勻速行駛的速度

為100km/h時，行駛時間為L5h.設小汽車行駛的平均速度為vkm/h,行駛的時間為fh.

⑴求v關于/的函數表達式（不用寫出自變量/的取值范圍）；

⑵若這條公路限速為120km/h,李老師需要不超過2.5h從乙地返回甲地，求李老師從乙地

返回甲地的平均速度v的取值范圍.

【變式3一1］（2025?吉林松原,模擬預測）

10.去年“十一假期在山東泰山身馱重物"機器狗在陡靖山路上“健步如短’火遍全廂.顯

試卷第4頁，共16頁

示了信息技術與科技創(chuàng)新給人類生活帶來的便利.其實機器狗是i種模擬真實犬只形態(tài)和部

分行為的機器裝置，其最快移動速度y（m/s）是載重后總質量?。^）的反比例函數.已知一

款機器狗載重后總質量〃?=60依時，它的最快移動速度y=6m/s：求其載重后總質量

〃?=90超時，它的最快移動速度.

【變式3一2]（24-25九年級上?陜西延安?期末）

11.元旦假期，李老師駕駛小汽車從甲地勻速行駛到乙地，當小汽車勻速行駛的速度為

88km/h時,行駛時間為2h；設小汽車勻速行駛的速度為vkm/h,行駛的時間為小.

（I）求v關于f的函數表達式；

（2）若小汽車勻速行駛的速度為55km/h,則從乙地返回甲地需要幾小時？

【變式3一3]（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）

12.如圖1,區(qū)間測速是指檢測機動車在兩個相鄰測速監(jiān)控點之間的路段（測速區(qū)間）上的

平均速度.小穎發(fā)現安全駕駛J1不超過限速的條件卜，汽車在某一高速路的限速區(qū)間段

的平均行駛速度了（單位：km/h）與行駛時間/（單位：h）是反比例函數關系（如圖2）.

v(km/h)

抓拍點抓拍點

測速區(qū)間

起點力起點8

（I）求丫與/的函數表達式；

（2）已知在限速區(qū)間力8上行駛的小型載客汽車的最高車速不得超過120km/h,最低車速不

得低于80km/h,求小穎的爸爸按照此規(guī)定通過該限速區(qū)間48段的時間范圍.

【題型4物理問題】

【例4】（24-25九年級上?河北邯鄲?期中）

13.在初二物理的學習中，我們知道壓強P（Pa）,壓力E（N）,受力面積S（m）滿足公式

試卷第5頁，共16頁

（1）當斤為定值時，如圖所示的圖象能夠正確反映〃與S之間函數關系的圖象是（填

序號）：

（2）已知一塊比較薄的冰面最多承受100004的壓強，小明的重量為600N.

①若小明的一雙鞋底與冰面的接觸面積共0.031小,他能否安全地站在這塊冰面上？

②若小明平躺在冰面上的一塊質量不計的薄木板上，為了保證安全，這塊薄木板的面積應

滿足什么條件？

【變式4一1］（2025?山西長治?模擬預測）

14.在如圖1所示的電源電壓恒定的電路中，小明閉合開關S后.移動滑動變阻器的滑片,

電流/與電阻及成反比例函數關系，函數圖象如圖2所示，點戶的坐標為（10,4）,則電源電

C.30VD.40V

【變式4一2］（24-25九年級下?吉林松原?階段練習）

15.數學是基礎學科，物理研究也離不開數學知識的支撐.密閉容器內有一定質量的二氧化

碳。當容器的體枳P（單位：m3）變化時，氣體的密度夕（單位：kg/m3）隨之變化.己

知密度。與體積P是反比例函數關系,它的圖象如圖所示，當P=5nT時，p=1.98kg/m3.

試卷第6頁，共16頁

(1)求密度?關于體積1/的函數解析式；

(2)若3<V<9,求密度0的變化范圍.

【變式4—3](24-25九年級上?安徽蕪湖?期末)

16.綜合與實踐

某校"無窮大''社團利用物理中的杠桿原理研究反比例函數.如圖，他們制作了一個特殊的天

平,其中4F是一根質地均勻的木桿.支點。為中點,兩個托盤可沿木桿左右移動.

oc.O。分別表示左、右托盤離支點。的距離.

該社團成員通過改變托盤內祛碼質量和托盤與支點的距離，并將平衡時的數據記錄如下:

左托盤跌碼質量/gOC/cm右托盤跌碼質量/gOD/cm

560103()

10301030

15201030

20151030

25121030

3()a103()

b61030

6051030

試卷第7頁，共16頁

??????1030

Xy1030

任務I：根據實驗數據：。=,b=.

任務2：以左托盤祛碼質量為橫坐標（x）,左托盤距離支點的距離。。的值為縱坐標（力，在

方格內描出上表中的數對為坐標的各點，并用平滑的曲線順次連接這些點，根據圖像回答下

列問題：

60

55

50

45

40

35①這條曲線是反比例函數圖象的一支嗎?

30

25

20

15

It)

5

O5娘睛領2530354045?翱流命

如果是，請寫出函數解析式（不標注自變量取值范圍），如不是，請說明理由；

②若左托盤距離支點的距離OC可變化的范圍為：10cmWOCW80cm,求左托盤內祛碼質

量x的變化范圍.

任務3：某成員希望在0c工。。的情況下稱取100g食鹽.他先將50g破碼放在左托盤，取出

一些食鹽放在右托盤使天平平衡；然后將50g磋碼放在右托盤，再取出一些食鹽放在左邊托

盤使天平平衡.該成員得出結論：兩次稱得的食鹽的總質量是100g.該成員的結論是否正

確？請判斷并說明理由.（參考公式：當。＞0,b＞0時，a+bN2瓢,當且僅當a=b時,

等號成立）

【題型5圖形問題】

【例5】（24-25八年級下?山西長治,期中）

17.如圖，學校課外生物小組的同學準備自己動手，用口圍欄建一個面積為50m2的長方形

種植品|彳叱》,其中邊力?？繅?墻長為10m.設的長為＞'m,AC的長為xm.

試卷第8頁，共16頁

AD

BI-------------\c

(1)求y與k之間的函數關系式.

(2)若圍欄總長不超過27m,力4和AC的長都是整數，求滿足條件的所有國建方案.

【變式5一1】

18.某中學要在校園內劃出一塊面積為100m2的三角形二地做花圃，設這個三角形的一邊長

為xm,這條邊上的高為j,m,那么歹關于x的函數解析式是，它是一個函

數.

【變式5—2](2025八年級下?全國?專題練習)

19.用若根火柴首尾相接擺成一個長方形，設每一根火柴的長度為1,長方形兩條鄰邊的長

分別為》，y,要求擺成的長方形的面枳為8.

(1)求y關于％的函數表達式；

(2)能否擺成正方形？請說明理由.

【變式5一3】

20.某商住樓需要在樓頂平臺建一個長方體儲水池以便進行二次供水，水池的底面為正方

形.由設計單位核算知，水池的總儲水量為180mL若水池底面為S,高為h.

(1)求出S與/?的函數關系，并在所給的平面直角坐標系中畫出函數的大致圖象：

(2)若底面S為30m、，則水池高度為多少in?

(3)樓頂平臺長為30m,寬為15m,規(guī)定水池底面邊長不超過樓頂平臺寬的40%,同時考慮

到樓頂平臺承受能力，水池底面不能小于25m2,則水池高度〃在什么范圍？

【題型6表格問題】

[例6](2025?廣東廣州?二模)

21.綜合與實踐：課題小空間檢測視力問題

具體情境：對某班學生視力進行檢測的任務；

試卷第9頁，共16頁

現有條件：一張測試距離為5米的視力表，一間長為3.8米，寬為3.6米的空書房.

圖1圖2

(I)如圖，若將視力表掛在墻CQG”上，在墻/跖尸上掛一面足夠大的平面鏡，根據平面鏡成

像原理可知：測試線應畫在距離/米處；

(2)小明選擇按比例制作視力表完成該任務，在制作過程中發(fā)現視力表上視力值P和該行字

母E的寬度。之間的關系是一種函數模型，字母E的寬度。如上中圖所示，視力表上部分

視力值P和字母E的寬度。的部分對應數據如左下表所示:

與字母E的寬度。(說明理由)，并求出視力值P與字母￡寬度。之間的函數關系式;

②小明在制作過程中發(fā)現某行字母七的寬度。的值12.5mm,請問該行對應的視力值是多少？

【變式6一1】

22.《九章算術》中記載，浮箭漏出現于漢武帝時期，如圖，它由供水壺和箭壺組成，箭壺

內裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到筋壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過

試卷第10頁，共16頁

讀取筋尺讀數計算時間.某學校小組仿制了一套浮筋漏，通過觀察，每2小時記錄

一次筋尺讀數，得到表格如下.

那么箭尺讀數J'和供水時間》最可能滿足的函數關系是（）

浮箭漏示意圖

A.正比例函數關系B.一次函數關系C.二次謔數關系D.反比例函數關系

【變式6一2】

23.小明對某市出租汽車的計費問題進行研究，他搜集了一些資料，部分信息如下:

收費項目收費標準

3公里以內收

13元

費

2.3元/公

基本單價

里

??????

備注：出租車計價段里程精確到500米，出租汽車收費結算以元為單位，元以下四舍五入.

小明首先簡化模型，從簡單情形開始研究：

①只考慮白天正常行駛（無低速和等候）：

②行駛路程3公里以上時，計價器每500米計價1次，且每1公里中前500米計價1.2元,

后500米計價米元.

下面是小明的探究過程，請補充完整：

記一次運營出租車行駛的里程數為x（單位：公里），相應的實付車費為y（單位：元）.

試卷第11頁，共16頁

（1）下表是y隨x的變化情況，補全表格中的數據，并在平面直角坐標系xQy中，畫出當

0＜》＜5.5時y隨工變化的函數圖象：

行駛里程數X()0cx<3.53.5<x<44<x<4.54.5<x<55Vx<5.5???

實付車費y0131415

（2）一次運營行駛x公里（x＞0）的平均單價記為w（單位：元/公里），其中卬二2.

X

①當x=3,3.4和3.5時，平均單價依次為喝，卬2,嗎，則嗎,叫，叫的大小關系是;（用

連接）

②若一次運營行駛x公里的平均單價卬不大于行駛任意s（s0x）公里的平均單價%,則

稱這次行駛的里程數為幸運里程數.請直接寫出3?4（不包括端點）之間的幸運里程數x的

取值范圍（保留兩位小數）.

【變式63】（2025?廣西南寧一模）

24.綜合與實踐：生物生長規(guī)律的模型研究

如圖1,碎碟（chOqii）是地球上最大的雙殼類動物，某每洋研究院對?南海的碎磔樣本進行

分析，得到某碎碟樣本年齡x（單位：歲）與平均日生長速率y（單位：天）的數據如

下表：

X0510152025

y26.019.014.09.57.05.5

圖1

【模型構建I】如圖2,數學小組力在直角坐標系中描出以表中的值為坐標的點，根據點的

試卷第12頁，共16頁

分布情況，猜想其函數圖象是過（0,26.0）的拋物線，設解析式為丁=〃/+瓜+26.

八y（|im/天）

30-

251-

20

15

10

5

---1---1-----1-----1-----1----->

51。152025/歲）

圖2

（1）選取兩個點（10,14.0"（20,7.0）,求拋物線解析式，并直接寫出該硅碟樣本平均51生

長速率最小時的年齡.

【模型構建2】數學小組B觀察表格中數據，發(fā)現后四組數據中x與y的乘積分別為

勺=140,幺=142.5,&=140,匕=137.5,猜想當x210時y與x符合反比例關系，設解

析式為y=±.

X

（2）為減少偏差，取A?二,求反比例函數解析式.

【模型應用】研究發(fā)現，正常情況下陣碟的平均日生長速率總體隨年齡增長持續(xù)降低.

（3）為求該碎磔樣本35歲時的平均日生長速率，請從上述模型中選擇其一，說明選擇的理

由并計算：

（4）該硅碟樣本35歲時受厄爾尼諾現象（海表溫度異常增暖的氣候現象）影響，其實際平

均口生長速率為4.3〃m/天，請說明該現象對?碎碟平均日生長速率的影響.

【題型7分段函數問題】

【例7】

25.為加強生態(tài)文明建設，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中

硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的LOmg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改,

在15天內（含15天）排污達標.整改過程中，所排污水中硫化物的濃度：y（mg/L）與時

間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段/C表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的

濃度降為4.5mg/L,從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足卜面表格中的關

系：

試卷第13頁，共16頁

(1)在整改過程中，當時，硫化物的濃度y與時間x的函數表達式：

(2)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的l.Omg/L?為什么？

【變式7一1](2025?遼寧鐵嶺?三模)

26.心理學研究發(fā)現，一般情況下，在一節(jié)40min的物理課中，學生的注意力隨上課時間的

變化而變化，開始上課時.學生的注意力逐步增強，lOmin后保持平穩(wěn)一段時間，平穩(wěn)時間

持續(xù)14min,隨后學生的注意力開始分散.通過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時

間x(min)的變化規(guī)律如圖所示，CO為反比例函數圖象|向一部分.

-x>

⑴當04x410時,請求出y關于x的函數解析式.

(2)物理老師計劃在課堂上講解兩道總計需要27min的串,并聯(lián)電路綜合題，請問：他能否

經過適當的安排，使學生在聽這道題目的講解時注意力指標數不低于30?并說明理由.

【變式7一2](2025?山東臨沂?二模)

27.小影發(fā)現家里智能冰箱內的溫度剛好為-2C時，制冷啟動，當溫度降低到設定溫度-18七

時，制冷停止，然后溫度逐漸上升，當溫度上升到-2七時，制冷又啟動，開始下一個周期

的運行.她想知道按此規(guī)律運行，冰箱內的溫度與時間之間存在怎樣的關系，并且預測任意

時刻冰箱內的溫度.于是，小影記錄了一個運行周期內部分溫度y(單位：℃)及對應時間

試卷第14頁，共16頁

x(單位：min)的數據如表所示:

X0234689121824

y

21014181298643

然后以x的數值為橫坐標.y的數值為縱坐標建立平面直角坐標系，如圖所示，在坐標系中

描出以表中的數對為坐標的點.請完成下列問題：

gT]I-gnIn1

anMLM

T+^IuH

T一+1-o^*

vIvna

干

JT十^

abrf

-t

小

1JTNnMn—

-47J^^ur

IT—

Vun

ImTDfol

-6CwrT

lIT

D—

-81十-Q

?『r=TGF

a=

I口nI

-1.0-M

『=TT

luw

口TI

12-J十uM

曾

mU儼

I|T

--14A1

Du>

l一-1--T

ls1<bnI

RQr+V

?=W*

1(>n

J=V-

j』

-2Q。

(I)用平滑的曲線從左往右將這些點依次連接起來；

(2)結合表格中的數據，觀察(1)中作出的圖象，求y與x的函數表達式；

(3)冰箱的一個運行周期時長為_分鐘；

(4)當冰箱溫度剛好達到一182時，繼續(xù)運行120分鐘，求此時冰箱內的溫度.

【變式7一3](24—25九年級上?山東濟南?期中)

28.某種玻璃原材料需在0℃環(huán)境保存，取出后勻速加熱至600C高溫，之后停止加熱，玻

璃制品溫度會逐漸降低至室溫30C加熱和降溫過程中可以對玻璃進行加工，且玻璃加工的

溫度要求不低于480℃玻璃溫度y(℃)與時間x(min)的函數圖象如下，降溫階段y與x成反

比例函數關系，根據圖象信息，回答下列問題：

試卷第15頁，共16頁

(1)玻璃加熱速度為/C/min；

(2)求能夠對玻璃進行加工的時長；

(3)玻璃從600℃降至室溫30℃需要的時間為—min.

試卷第16頁，共16頁

6000

1.⑴尸

(2)8天

(3)能

【分析】本題主要考查反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的定義和性質是解題的關鍵.

(1)設出反比例函數解析數，找一點代入即可;

(2)根據題意計算即可;

(3)根據y=可表示出力與x之間的函數關系式，再根據xW300求出最大利潤，再

X

進行計算即可.

【詳解】(1)解：設反比例函數的解析式為y二工，

X

把(150,40)代入得40=*，

解得〃=6000,

??.反比例函數的解析式為J=理.

311-40-30-25-24

(2)解:=8（天）,

24

???商場按銷售價格250元/件出售該商品，余下的商品預計再用8天全部售出.

(3)解：依題意匹="-12()"="-120)><陋,

6000x120

整理得:^=6000-

vx^300,

.??當x=300時，%最大,

6000

.?.當x=300時,=20,

-300-

311-40-30-25-24

=9.6<10（天）,

20

???商場按獲得最大FI俏售利潤的俏售單價出售該商品，能在試俏后的10天內售完該商品.

2.C

【分析】本題考查反比例函數的實際應用，根據圖象獲取信息，即可得出結果.

【詳解】解：；甲、丁兩家專賣店對?應的點恰好在同一個反比例函數的圖象上,

二當銷售同樣數量的羽絨服時，甲，丁的利潤相等，

???丙在雙曲線的上方，乙在雙曲線的下方，

答案第1頁，共21頁

.??當銷售同樣數量的羽絨服時，丙的利潤大于甲，丁的利潤，乙的利潤小于甲，丁的利潤.

故選C.

小300

30.⑴”工

(2)5元/件

【分析】(1)由“銷售額=銷售量x單價”列出函數關系式；

(2)設該物品的售價應定為x元/件，結合“利潤=銷售審x差價”列出函數式，并解答.

【詳解】(1)解：依題意得：9=50x6=300,

貝ni|l]y=——300.

x

(2)設該物品的售價應定為x元/件，

依題意得：60=—(x-4),

X

解得x=5,

經檢驗，x=5是方程的根且符合題意.

答：該物品的售價應定為5元/件.

【點睛】此題考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的性質是解本題的關鍵.

950

4.⑴甲10()元，乙80元；(2)y=丁，9件

【分析】(1)設每件乙種商品的價格為x元，則每件甲種商品的價格為(%+20)元，根據“數量

=總價+單價”結合用2000元購買甲種商品的件數恰好與用1600元購買乙種商品的件數相同,

即可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結論：

(2)根據“購買件數=錢數+銷售單價”即可求得y與x函數關系式：根據關系式：售價N達價

x(l+20%)進行計算即可.

【詳解】⑴設每件乙種商品的價格為x元，則每件甲種商品的價格為(x+20沅，

根據題意得：理^=幽,

r+20r

解得：x=80,

經檢驗，x=80是原方程的解,

.?.彳+20=100.

答：每件乙種商品的價格為80元，每件甲種商品的價格為100元:

(2)小麗用950元能購買銷售單價x元的商品V件，

答案第2頁，共21頁

950

-y=一；

X

超市銷售乙種商品，至少要獲得20%的利潤，

???超市銷伐乙種商品的銷售價為：x280x（1+20%）=96（元）；

小麗最多可以購買乙種商品：》=史^《^^二9粵，

x9696

???小麗最多可以購買乙種商品9件.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（I）根據‘'數

量=總價+單價”，列出關于X的分式方程：（2）根據“總價=單價X購買數量”，列出關于y的反

比例函數，根據關系式“售價之進價x（l+20%）”確定超市的銷售價.

5.376

3

【分析】設甲車每次運x噸，可得乙車每次運（噸），丙車每次運。+12）噸，丁車每次

434

運（針+8）噸，由x,—X,x+12,,x+8都是整數，知x是6的倍數，x最小為6,設這一

批建筑材料共少噸，運完這一批建筑材料，丁車運輸〃次，可得56=120,A=^,

X

344X0

jr=5A.t+2A---x+3A-（x+12）+A--（-x+8）=296+——，故x=6時，"最大為376噸.

23x

【詳解】解：設甲車每次運x噸，

???乙車每次運貨量比甲車高50%,丙車每次運貨量比甲車多12噸，

二?乙車每次運0+50%）x=1r（噸），丙車每次運（x+12）噸，

?/甲、丙兩車運輸2次的貨物總量與丁車獨自運輸3次的貨物量相等，

十”￡、j、一2x+2（x+⑵Ac、“+

「?丁車每次圖-----------針+8）噸，

34

■:x,—x,x+12,jX+S都是整數，

是6的倍數，x最小為6,

設這一批建筑材料共〃噸，運完這?批建筑材料，丁車運輸4次，則甲車運輸弘次，乙車

運輸”次，丙車運輸弘次，

???甲車共運輸了120噸，

5h=120,

,24

-k=—，

根據題意得：

答案第3頁，共21頁

34

獷=5區(qū)+2&守+34曰+12）+人（9+8）

37

=—kx+20k

3

37

=—X24+20A:

3

=296+20左

=293,

X

???當x最小時，"取最大道，

."=6時,上最大為296-等=376（噸），

O

???這批建筑材料最多有376噸，

故答案為：376.

【點睛】本題考查了反比例函數的應用，根據題意設位置時，列出關系式是解題的關鍵.

6.（1）V與x之間的函數表達式為y=上”

X

（2）該工程隊每天修建該公路30米要比每天修建24米提前10天完成此項工程

【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式、反比例函數的應用，正確求出反比例

函數解析式是解此題的關踵.

（1）利用待定系數法求解即可得出V與x之間的函數表達式；

（2）將x-24及30代入（1）中求得的解析式，求出N值，作差后即可得出答案.

【詳解】（1）解：設V與％之間的函數表達式為），=々k。0）,

X

???該函數關系的圖象經過點（30,40）,

,4°哈

???〃=1200,

??）與x之間的函數表達式為y=口"

(2)解：當x=30時，y==40,

當x=24時，y==50,

???50-40=10,

該工程隊每天修建該公路30米要比每天修建24米提前10天完成此項工程.

答案第4頁，共21頁

7.⑴①y=?②”12500

⑵125輛

【分析】（1）①由每天運送量和總量列出函數關系即可；②根據反比例函數的性質計算求

值即可;

（2）結合（1）由每天要運送的量計算求值即可；

【詳解】（1）解：①由題意得：y=牛，

②???函數y=岑-在0<，480上遞減，

in6

二當x=8（）時，函數值最小，此時J，=U-=12500,

80

/.y>12500：

（2）解：由（1）可知：若工期要在80天內完成，則每天至少要運送12500立方米,

???全少需要卡車：12500+100=125輛;

【點睛】本題考查了反比例函數的實際應用，掌握反比例函數的圖象特征是解題關鍵.

°8.⑴,、c①y=-3-0-0-0-0-0;②50天

(2)7500

【分析】（1）①根據題意可知，運輸公司平均的運送速度為y（單位：立方米/天），完成運

送任務所需的時間為x（苴位：天）之間的函數關系即可函數關系；②令》=6000求得x即

可;

（2）該公司原計劃每天運送土石方x立方米，則實際每天運送（x+2500）立方米，再根據“工

期比原計劃減少了10天”列分式方程求解即可.

【詳解】（1）解：根據“運送土方總量=平均的運送速度x完成運送任務所需的時間”可得:

300000R,g|Jy=300000

x

300000

②令y=6000時，則x=-=-5--0--(天).

6000

答：該公司完成全部運輸任務需要50天.

（2）解：該公司原計劃每天運送土石方x立方米，則實際每天運送（x+2500）立方米,

…+勿300000300000，八

由題意得，------=—--+10

xx+2500

解得％=7500,x2=-10000（不合題意，舍去）

答案第5頁，共21頁

檢驗：當x=7500時，7500(7500+2500)^0

所以，x=7500是原分式方程的解.

答：該公司原計劃每天運送土石方為7500m，

【點睛】本題主要考查了反比例函數的應用、分式方程的應用等知識點，根據題意列出反比

例函數解析式和分式方程是關鍵.

、150

9.⑴「7

(2)李老師從乙地返回甲地的平均速度y的取值范圍是60K，W120

【分析】本題是反比例函數在行程問題中的應用，解題的關鍵是根據時間、速度和路程的關

系求解.

(1)由速度乘以時間等于路程，變形即可得速度等于路程比時間，從而得解；

(2)將/=2.5代入y關于/的函數表達式，再結合題意即可得小汽車行駛的速度范圍.

【詳解】(1)解：由題意可得從甲地到乙地路程為：100x1.5=150(km),

V與，的關系式為：v=----;

/

(2)解：在］，二岑中，

令，=25v==60km/h,

2.5

?.?15040,當>0時,v隨，的增大而減小,

v>60,

又?.?此公路限速120km/h,

60<v<120

答：李老師從乙地返回甲地的平均速度v的取值范圍是60<v<120.

10.機器狗載重后總質量〃?=90kg時，它的最快移動速度為4m/s

【分析】本題主要考查反比例困數的運用，掌握待定系數法求反比例函數解析式，根據函數

值求自變顯的值的計算是關鍵.

根據題意，運用待定系數法得到□=出，再把加=9。儂代入計算即可.

m

【詳解】解：設丫=上，

m

由題中條件知：6=芻，

60

???"=360,

答案第6頁，共21頁

即「出

m

當加=90Ag時，丫=等=4,

答：機器狗載重后總質量〃?=90kg時，它的最快移動速段為4m/s.

176

H.(l)v

(2)3.2h

【分析】本題是反比例函數在行程問題中的應用，解題的關鍵是根據時間、速度和路程的關

系求解.

(1)由速度乘以時間等于路程，變形即可得速度等于路程比時間，從而得解?；

(2)把v=55km/h代入(1)中的函數關系式中求值即可.

【詳解】(1)解：由題意可得：可=88x2=176,

所以y與f的關系式為：y=—,

t

(2)解:當v=55km/h時，/=-^-=3.2h.

答：小汽車速度為55km/h時,從乙地到甲地需要3.2h.

24

12.(l)V=y

(2)0.2</<0.3

【分析】本題考查了反比例函數的應用，正確理解題意是解題的關鍵.

(I)運用待定系數法求解即可；

(2)分別將y=120,u=80代入函數解析式，求出對應的/值，即可確定48段的時間范圍.

【詳解】(1)解：由題意可設丫=：,

將(0.3,80)代入得，A=0.3x80=24,

24

.'.v=—；

答：v與/的函數表達式為「寧24；

24

(2)解：當丫=120時，/=—=0.2,

?4

當丫=8()時，/=—=0.3,

OV

小穎的爸爸按照此規(guī)定通過該限速區(qū)間48段的時間范圍為0.2W0.3.

13.⑴①

答案第7頁，共21頁

(2)①小明不能安全地站在這塊冰面.上；②這塊薄木板的面積至少為0.06n?.

【分析】本題考查了函數的圖象，反比例函數的應用，掌握函數圖象的特點是解題的關鍵.

(I)根據函數解析式即可判斷求解：

(2)①把尸=600N,S=0.03m2代入計算即可求解；

F

②把p=10000N,F=600N代入p=不計算即可求解；

【詳解】(1)解：當尸為定值時，P是S的反比例函數，故①正確；

F

(2)解：把尸=600N,S=0.03m2代入尸=不,

得，p=o^=2OOOO(Pa),

???20000>10000,

小明不能安全地站在這塊冰面上；

②把夕=10000N,/=600N代入p=5得，10000二當，

解得S=0.06m2,

.?.這塊薄木板的面積至少0.06m?.

14.D

【分析】本題主要考查反比例函數的解析式.將點打10,4)代入/=二即可得到答案.

A

【詳解】解：將尸(104)代入/==得，

A

."=10x4=40.

故選：D.

99

15.(l)p=—(K>0)

(2)1.1<p<3.3

【分析】本題考查了反比例函數的應用，熟練利用待定系數法求得反比例函數解析式是解題

的關鍵.

⑴設密度2的關于體積P的函數解析式為0=搟(%0)，將力(5,1.98)代入，即可解答；

(2)將憶=3和憶=9代入(I)中求得的函數解析式，再結合反比例函數的性質，即可解答,

答案第8頁，共21頁

【詳解】（I）解：設密度P的關于體積P的函數解析式為「二謨（女工0）

???當/=5m'時，p=1.98kg/m3,

.-.1.98=-,

5

二攵二9.9,

o9,

，密度P關于體積v的函數解析式為P=—（r>o）；

9999

（2）解：當夕=3時，代入夕=亍，可得3=7，

解得：r=3.3.

當夕=9時，代入夕=胃99，可得9=9黃9

解得：V=\A.

.?.當3cp<9時，密度夕的變化，范圍為11<夕<3.3.

16.任務一：10,50任務二：①是，解析式是y=?②3.75gW〃K30g任務三：不正

確，理由見解析

【分析】本題考杳求反比例函數的解析式，反比例函數的性質，根據杠桿平衡的條件找到相

等關系并合理使用是解決本題的關鍵.

任務1：根據杠桿平衡的條件計算即可解答；

任務2：①畫出圖象即可判斷是反比例函數圖象的?支，再根據表格以及杠桿平衡的條件

即可求出反比例函數解析式；

②分別求出當V=1（）時和V=80時x的值，即可解答：

任務3：由于天平的兩臂不相等，可設OC=a,OD=b,。工風第一次稱取的食鹽質量為

叫,第二次稱取的食鹽質量為陽2,根據杠桿平衡原理得:50"帥，叫。=50/）,解得:

50〃50b50〃50baZ>A.lab2A，八八e

m2=,UZH]+m2=—j—+=50l—+—I>50x2J----=50x2=100,因

為a手b,所以g+嗎>100,即可得出結論.

【詳解】解：任務1：???3Dxa=10x30,

.,.4=10,

?.?6x6=10x30,

/?=50,

答案第9頁，共21頁

故答案為：10,50；

①這條曲線是反比例函數的一支，解析式為:

②當y=IO時，x=30,當y=80時，x=3.75,

一?OC可變化的范圍為10cmKOCK80cm時，左側底碼質量變化范圍是：3.75g<w<30g；

任務3：由于天平的兩臂不相等，可設。。=〃，OD=b…手b,第一次稱取的食鹽質量為

犯，第二次稱取的食鹽質量為m2,

根據杠桿平衡原理,有:50。=*m2a=50b,

7,

解得:

50〃50/?_Afalah

貝I」叫+m=——+——=50-+->50x2/---=50x2=100

2ba\ba)\ba

因為所以町+嗎>l00,

所以該成員兩次稱得的食鹽總質量超過了100g,

（利用作差法：當〃工人時，叫+孫—100=型二宜■〉（）進行判斷也可給分）.

1

2ah

17.（l）y=—（0<x<1