專(zhuān)題06概率與統(tǒng)計(jì)

目題型概覽

題型01頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差

題型02回歸分析

題型03條件概率

題型04正態(tài)分布與相互獨(dú)立

題型05古典概型

題型06獨(dú)立性檢驗(yàn)

題型07求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望

題型08概率綜合問(wèn)題

題型01頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、

極差

1.（2025?山東青島?一模）為了研究V與X的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見(jiàn)下表），假設(shè)

經(jīng)驗(yàn)回歸方程為/=公+0.28,則（）

X12345

y0.50.811.21.5

A.6=0.24

B.當(dāng)x=5時(shí)的殘差為0.02

C.樣本數(shù)據(jù)本的40%分位數(shù)為0.8

D.去掉樣本點(diǎn)（3,1）后，y與X的樣本相關(guān)系數(shù)不變

2.（2025?安徽滁州?一模）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.一個(gè)樣本（數(shù)據(jù)不全為3）的平均數(shù)為3,若添加一個(gè)新數(shù)據(jù)3組成一個(gè)新樣本，則新樣本

的平均數(shù)不變，方差變小

B.在成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中，兩個(gè)變量間的樣本相關(guān)系數(shù)越小，則它們的線性相關(guān)程度越弱

C.數(shù)據(jù)一小>50）,53,56,59,70,72,79,65,80,45,41的極差為40,則這組數(shù)據(jù)的第

加百分位數(shù)為79

D.依據(jù)小概率值。=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷兩個(gè)分類(lèi)變量X與丫之間是否有關(guān)聯(lián)，經(jīng)計(jì)算得

r=9,342>7.879=x0fl05,則可以認(rèn)為“X與丫沒(méi)有關(guān)聯(lián)”

3.（2025?寧夏銀川?一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N（3,〃），且尸（X44）=0.7,則P（3<X<4）=0.2

B.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若線性相關(guān)系數(shù)卜|越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量居-其線性回歸方程為夕=（）3x-加，若樣本點(diǎn)的中心為（見(jiàn)2.8）,

則實(shí)數(shù)用的值是-4

4.（2025?甘肅蘭州?一模）在某班級(jí)的一次測(cè)驗(yàn)后，隨機(jī)抽取7名同學(xué)的成纜作為樣本，這7名同

學(xué)的成領(lǐng)分別為78,80,81,84,87,88,90,則（）

A.估計(jì)這次考試全班成績(jī)的平均分為84

B.從樣本中任取兩人的成績(jī)，均大于平均分的概率是2

C.樣本的75%分位數(shù)是87

D.當(dāng)該樣本中加入84形成新樣本時(shí)，新樣本方差小于原樣本方差

5.（2025?黑龍江?一模）在高三某次調(diào)研考試時(shí)，某學(xué)習(xí)小組對(duì)本組6名同學(xué)的考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

其中數(shù)學(xué)試卷上有一道滿分為12分的解答題，6名同學(xué)的得分按從低到高的喉序排列為

4,5,6,10,12,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)極差，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）

A.7B.7C.9D.10

6.（2025?山東聊城??模）某學(xué)校為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，在高二年級(jí)舉行了?次數(shù)學(xué)有

獎(jiǎng)競(jìng)賽，對(duì)考試成績(jī)優(yōu)秀（即考試成績(jī)不小于130分）的學(xué)生進(jìn)行了獎(jiǎng)勵(lì).學(xué)校為了掌握考試情況，

隨機(jī)抽取了部分考試成績(jī)，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組

[90,100）的頻數(shù)為10.

⑵估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)；

⑶假設(shè)在抽取的樣本中，男生比女生多20人，女生的獲獎(jiǎng)率為12.5%,填寫(xiě)下歹U2x2歹U聯(lián)表，并依

據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷男生與女生的獲獎(jiǎng)情況是否存在差異？

獎(jiǎng)勵(lì)

性別合計(jì)

獲獎(jiǎng)未獲獎(jiǎng)

男

女

合計(jì)

附：_______〃叱從1________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（一之女）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

7.（2025?黑龍江?一模）已知一組樣本數(shù)據(jù)分別為：31,6,12,19,17,16,11,則該組樣本數(shù)據(jù)

的（）

A.極差為27B.上四分位數(shù)為19C.平均數(shù)為15.5D.方差為半

8.[2025?陜西西安?一模）某校組織1000名學(xué)生參加“新中國(guó)成立75周年”知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000

名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間[50,100]內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[8。90）,[90,100],

得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，卜.列結(jié)論正確的是（）

:頻率/組距

0.03...............

0.02-……-------------

0.01-1-

F%6070809。成全/分

A.1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是77

B.成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占比例為40%

C.用分層抽樣從該校學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則應(yīng)在口0,80）內(nèi)抽取30人

D.這1000名學(xué)生成績(jī)的第50百分位數(shù)是80

9.（2025?福建泉州?一模）有一組樣本數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,現(xiàn)加入兩個(gè)正整數(shù)x,V構(gòu)成新樣本數(shù)

據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若平均數(shù)不變，則x+y=6B.若極差不變，則x+y=6

C.若x+y=6,則中位數(shù)不變D.若x+y=6,則方差不變

10.（2025?山東濟(jì)寧?一模）為了解高三，1班和2班的數(shù)學(xué)建模水平，現(xiàn)從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取

10名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模能力比賽（滿分100分），成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

數(shù)據(jù)I（高三，1班）：68,80,58,75,65,70,54,90,88,92：

數(shù)據(jù)II（高三，2班）：72,55,83,59,56,90,83,52,80,95.

⑴求數(shù)據(jù)I（高三，1班）的第80百分位數(shù)：

⑵從上述成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人作下一步調(diào)研，設(shè)被抽到的3人中來(lái)自于高三，2

班的學(xué)生人數(shù)為X,求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

題型02回歸分析

1.（2025?廣東湛江一模）已知4（1,6）,3（2,4）,C（3,4）,D（4,2）,￡（5,4）,5個(gè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如

圖所示，采用?元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.經(jīng)分析確定儀5,4）為“離群點(diǎn)”，故將其去掉,

將數(shù)據(jù)儀5,4）去掉后，下列說(shuō)法正確的有（）.

?41,6)

C(3,4)

8(2：4)?,風(fēng)5,4)

?。(4,2)

0x

A.樣本相關(guān)系數(shù)，,變大

B.殘差平方和變小

C.決定系數(shù)代變大

D.若經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)（3.5,2.8）,則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=-1.2工+7

2.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）由樣本數(shù)據(jù)（％./,）（，=1,2,3,…，10）,求得回歸直線方程為j=2i-l，

且1=3,若去除偏離點(diǎn)（4,10）后，得到新的回歸直線方程為3=/丫+3,則去除偏離點(diǎn)后，相應(yīng)于

樣本點(diǎn)（2,2）的殘差值為.

3.（2025?山東煙臺(tái)?一模）已知變量線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)（若,必）（，=12…,9）,滿足

￡匕=33,用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為歹=2x-l.若增加一個(gè)數(shù)據(jù)（-3,3）后，得到修正后的

1=1

回歸直線的斜率為2.1,則數(shù)據(jù)（4.8）的殘差的絕對(duì)值為（）

A.0.1B.0.2C.0.3D,0.4

4.（2025?四川巴中?一模）下列命題正確的有（）

A.回歸直線j=+-過(guò)樣本點(diǎn)的中心「,?。?，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)

B.兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)「越接近1

C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)，則其方差不變

D.將9個(gè)數(shù)的?組數(shù)去掉一個(gè)最小和?個(gè)最大數(shù)，則中位數(shù)不變

100

5.（2025?廣東?一模）一組樣本數(shù)據(jù)（x,，x）,ie{123,…,100}.其中須>1895,2>,=2、10二

;=|

100

Z?=970,求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：j=-0.02X+3,殘差為對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：

x^ln^-1895）,得到新的數(shù)據(jù)（x；）3求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：i=-0.42x+],其殘差為[、￡,

1.分布如圖所示,且0?N（（）?；）,G~N（0,8）,則（）

圖1圖2

A.樣本（七,乃）負(fù)相關(guān)

B.ax=49.7

C.a；<aiD.處理后的決定系數(shù)變大

6.（2025?廣東汕頭?一模）在政府發(fā)布的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下，西北某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急

劇上升，現(xiàn)對(duì)2016年至2023年的新增光伏裝機(jī)量進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)散點(diǎn)圖選擇了兩個(gè)模型進(jìn)行擬合,

并得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.為判斷模型的擬合效果，甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了如下分析：

（1）甲同學(xué)通過(guò)計(jì)算殘差作出了兩個(gè)模型的殘差圖，如圖所示；

（2）乙同學(xué)求出模型①的殘差平方和為0.4175、模型②的殘差平方和為1.5625；

（3）內(nèi)同學(xué)分別求出模型①的決定系數(shù)僧=0.952（）、模型②的決定系數(shù)為&=0.9781；

經(jīng)檢驗(yàn)，模型①擬合效果最佳，則甲、乙、丙三位同學(xué)中，運(yùn)算結(jié)果肯定出錯(cuò)的同學(xué)是.（填

"甲"或"乙〃或"丙”）

7.（2025?山東日照?一模）近期根據(jù)中國(guó)消費(fèi)者信息研究報(bào)告顯示，超過(guò)40%的消費(fèi)者更加頻繁地

使用網(wǎng)上購(gòu)物，某網(wǎng)購(gòu)專(zhuān)營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了2。25年1月5口到9口這5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)人和時(shí)間

第”天間的數(shù)據(jù)，列表如下：

X12345

y75849398100

⑴由表中給山的數(shù)據(jù)判斷是否可以用線性回歸模型擬合人數(shù)N和時(shí)間第N天之間的關(guān)系？若可用，

估計(jì)1月10日到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)；若不可用，請(qǐng)說(shuō)明理由（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)，若相

關(guān)系數(shù)”>0方，則線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合，，?精確到0.01）：

⑵該專(zhuān)營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案.方案一：購(gòu)物金額每滿100元可減5元；方案二：

一次性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次

打9折，中獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折.某顧客計(jì)劃在此專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)

際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

參考數(shù)據(jù)：V4340?65.88.

￡（%-?。ū?刃'9（國(guó)-#）色-P）_

附：相關(guān)系數(shù)--------.....-力二-------；—武曠.

V?=11=1'T

8.（2025?浙江?一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)8,6,411,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9

B.若O<P（C）<1,O<P（D）<1,且P（方）=1-尸（0C）,則C,。相互獨(dú)立

C.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為

y=0.4x+a?若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為（-。,5.4）,則。=9

D.將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量x/的一組數(shù)據(jù)（占,月），（x2,y2）,（%以）調(diào)整為（西,凹+3）,

（看,必+3）...（x“,”+3）.決定系數(shù)夫2不變

XU-?）（x-7）E（x-x）2

（附：心口-----------，a=v-bx,R2=T---------）

Z（x，-aZ3寸『

f-1r=l

題型03

1.（2025?天津武清?一模）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中大約有1的學(xué)生，每

天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人近視率約為;，其余學(xué)生的近視率約為。，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)

zX

生，他近視的概率大約是.

2.（2025?廣東深圳?一模）學(xué)校要舉辦足球比賽，現(xiàn)在要從高一年級(jí)各班體育委員中挑選4名不同

的裁判員（一名主裁判，兩名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13個(gè)班，每個(gè)班各一

名體育委員，共4個(gè)女生，9個(gè)男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判員

擔(dān)任主裁判的條件下，第四裁判員是男生的概率為.

3.（2025?福建泉州?一模）編號(hào)為123,…,〃（〃?2,的〃個(gè)球依次被等可能地涂成黑色或白色,

設(shè)編號(hào)為奇數(shù)的黑色球的個(gè)數(shù)為乃，編號(hào)為偶數(shù)的白色球的個(gè)數(shù)為丫，記事件“x>Y〃為

力"（4）=%.

口）求。2，。3，尸（414）；

（2）當(dāng)〃=24+l（AcN）時(shí)，求知;

（3）當(dāng)〃時(shí),設(shè)g=Ar+|X_y|,證明：

4.：2025?甘肅蘭州?一模）"春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.〃

這二十八字節(jié)氣歌是我國(guó)古人智慧的結(jié)晶.某文具店試銷(xiāo)二十四節(jié)氣書(shū)簽，每套書(shū)簽24張，分別

印有春夏秋冬四季節(jié)氣各6張.文具店為促銷(xiāo)進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購(gòu)買(mǎi)一套二十四節(jié)氣書(shū)簽可參加抽

獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：從--套書(shū)簽中挑出6張春季卡，6張夏季卡，將其中3張春季卡和3張夏季卡

裝在一個(gè)不透明的盒中，剩余的3張春季卡和3張夏季卡放在盒外.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽出一張卡，若

抽出春季卡，則把它放回盒子中，若抽出夏季卡，則該卡與盒外的一張春季卡置換.如此操作不超

過(guò)4次，將盒中的夏季卡全部置換為春季卡，則停止抽卡并獲得2套二十四節(jié)氣書(shū)簽，否則不獲獎(jiǎng).

⑴求只抽3次即獲獎(jiǎng)的概率；

（2）若促銷(xiāo)的30天中預(yù)計(jì)有360人參加活動(dòng)，從數(shù)學(xué)期望的角度分析商家準(zhǔn)備多套少書(shū)簽作為獎(jiǎng)品

更為合理？

5.（2025?山東濟(jì)寧?一模）甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲

勝的概率為0.7,乙獲勝的概率為0.3,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)

行了3局的概率為（）

303…3「3

AA.—B.—C?一D.一

161384

6.（2U25?四川?一模）某保險(xiǎn)公司隨機(jī)選取了2。。名不同駕齡的投保司機(jī)，調(diào)置他們投保后一年內(nèi)

的索賠情況，結(jié)果如下：

單位：人

駕齡

一年內(nèi)是否索賠合計(jì)

不滿10年10年以上

是10515

否9095185

合計(jì)100100200

⑴依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析表中的數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷司機(jī)投保后一年內(nèi)是否索賠

與司機(jī)的駕齡有關(guān)？

⑵保險(xiǎn)公司的大數(shù)據(jù)顯示，每年投保的新司機(jī)索賠的概率為P,投保的老司機(jī)索賠的概率均為

夕（戶工9）.假設(shè)投保司機(jī)中新司機(jī)的占比為夕（0＜夕＜1）.隨機(jī)選取一名投保司機(jī)，記事件”這名司機(jī)

在第i年索賠〃為4,事件"這名司機(jī)是新司機(jī)〃為8.已知

P（4忸）=P（4,⑶,P（4阿=尸（4|4月）。打）

（i）證明：P（448）=P（4|48）P（4|8）尸（8）；

（ii）證明：尸（4|4）>P（4）,并給出該不等式的直觀解釋.

,,,,2n(ad-bc)~

附.y2---------i------L-------

陽(yáng)/(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

題型04正態(tài)分布與相互獨(dú)立

1.（2025?天津河?xùn)|?一模）下列說(shuō)法中，正確的有（）

①回歸直線?=欣+6恒過(guò)點(diǎn)（只刃，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn);

②根據(jù)2x2列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出X26.635，而P（XN6.635卜0.01,則有99%的把握認(rèn)為

兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系，即有1%的可能性使得“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；

③六是用來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)父的值很小時(shí)可以推斷兩類(lèi)變量不相關(guān)；

④某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果J服從正態(tài)分布Ml,/）,則尸（445）=0.81,則P（JW-3）=0.19.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2025?黑龍江?一模）坐位體前屈（SitAndReach）是一種體育鍛煉項(xiàng)FI,也是大中小學(xué)體質(zhì)健康

測(cè)試項(xiàng)目，通常使用電動(dòng)測(cè)試儀進(jìn)行測(cè)試，為鼓勵(lì)和推動(dòng)學(xué)生積極參加體育鍛煉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，

我國(guó)于2002年開(kāi)始在全國(guó)試行《學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，坐位體前崩屬于該標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的測(cè)試內(nèi)容之一,

已知某地區(qū)進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)得到高三女生坐位體前屈的成績(jī)4（單位：cm）服從正態(tài)分布

N（20,/）,且尸偌222）=0.1,現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機(jī)抽取3人，記J在區(qū)間（區(qū)22）的人數(shù)為

X,則正確的有（）

A.P（18<<<22）=0.8B.￡（3X+1）=8.2

C.O（2X）=0.96D.P（%>1）=0.488

3.（2025?山東泰安?一模）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若隨機(jī)變量則O（X）=]

B.若根據(jù)分類(lèi)變量X與丫的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到/=4.974,則依據(jù)

a=0.05(尸(尸與.841)=0.05)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為變量X與丫不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不

超過(guò)0.05

C.若隨機(jī)變量X~N(1Q2),且P(X<O)=O.2,則尸(l<X<2)=0.2

D.數(shù)據(jù)3,1,1,2,2,9,3,3,11,12的第75百分位數(shù)是9

4.(2025?江西?一模)已知隨機(jī)變量X~N(3,/),若P(XW2)+P(XN4)=0.6,貝lj

P(3<%<4)=.

5.(2025?全國(guó)?一模)某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，然后統(tǒng)計(jì)并分析

測(cè)試成績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí).

⑴已知該公司甲部門(mén)有3名負(fù)責(zé)人，乙部門(mén)有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門(mén)中隨機(jī)選取3名

負(fù)責(zé)人做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門(mén)的人數(shù)為X,求X最有可能的取值.

?內(nèi)一優(yōu)

號(hào)--------?0.02.

/=!

(i)已知某部門(mén)測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；

(ii)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門(mén)測(cè)試平均成績(jī)其中〃近似為樣本平均數(shù)元4近

似為樣本方差一.經(jīng)計(jì)算$。20,求某個(gè)部門(mén)績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率高于0.7875的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：

①ln0.15?-1.9,e,2*3.32,M5.25之1.66.

②經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=云十4中，右=號(hào)---------,a=y-5x.

￡x；一及*

/=!

③若隨機(jī)變量則

P(u-(y<X</i+(y)^0.6827,P(/z-2cr<^<//+2cr)?0.9545,P(//-3<r<X<//+3cr)?0.9973.

6.（2025?江西??模）比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為:

面珈萬(wàn)物標(biāo)準(zhǔn)差

離散系數(shù)=-k京一.某地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共20000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從

均值

正態(tài)分布，且平均分為60,離散系數(shù)為0.05,則下列說(shuō)法正確是（）

（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃,『），P（|Z-A|<a）?0.68,尸（|Z-”<2<7卜0.95）

A.學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為60x0.05=3

B.學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（60,9）

C.約有16800名學(xué)生的成績(jī)低于66分

D.全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為63

題型05古典概型

1.（2025?山東青島?一模）《周易》反映了中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法，可以解釋為：把陽(yáng)爻

“〃當(dāng)做數(shù)字“1〃，把陰爻”■當(dāng)做數(shù)字"0",例如,成語(yǔ)"否極泰來(lái)"包含了"否"卦

“泰〃卦三三，"否”卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為000111,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是

0x25+0x24+0x23+lx224-lx2,4-lx2°=7,"泰"卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為111000,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)

^1X25+1X24+1X23+0X22+0X2'+0X2°=56

⑴若某卦的符號(hào)由五個(gè)陽(yáng)爻和一人陰爻構(gòu)成，求所有這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和；

（2）在由三個(gè)陽(yáng)爻和三個(gè)陰爻構(gòu)成的卦中任取一卦，若三個(gè)陽(yáng)爻均相鄰，則記3分；若只有兩個(gè)陽(yáng)爻

相鄰，則記2分：若三個(gè)陽(yáng)爻互不相鄰，則記1分，設(shè)任取一卦后的得分為隨機(jī)變量￥,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

2.（2025?北京平谷?一模）某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)

的準(zhǔn)確性，科研團(tuán)隊(duì)從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別

對(duì)他們進(jìn)行了一次檢測(cè)，結(jié)果如下：

抽樣人群陽(yáng)性人數(shù)陰性人數(shù)

患者364

非患者258

⑴試估計(jì)使用該試劑盒進(jìn)行一次檢測(cè)結(jié)果正確的概率；

⑵若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進(jìn)行一次檢測(cè).求恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的概率:

⑶假設(shè)該地區(qū)有10萬(wàn)人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)?次.若檢測(cè)

結(jié)果為陽(yáng)性，能否判斷此人患該疾病的概率超過(guò)0.2?并說(shuō)明理由.

3.（2025?山東聊城?一模）將四個(gè)不同的小球，放入四個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的盒子中，每個(gè)小球

放入各個(gè)盒子的可能性都相等，設(shè)4表示空盒的個(gè)數(shù)，〃表示1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)，則（）

A.每個(gè)盒子中恰有1球的概率為:

B.事件“1弓是空盒〃與事件”2號(hào)是空盒”不獨(dú)立

C.隨機(jī)變量，7的方差為:

D.隨機(jī)變量4的均值為萼

64

4.（2025?黑龍江?一模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝滿足：對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有其中d為

非零常數(shù).

⑴若/=2,d=3,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明：￡^=七產(chǎn)；

￡6十/d

?Ifj

⑶若E-----------=/,|且％=",從叫9必，…4川）2（加22且mwN）中任取兩個(gè)數(shù)，記事

汽q+MVw+1+1

4

件上”取出的兩個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)且中間僅包含一個(gè)整數(shù)”，其概率為匕，若24最，求正整數(shù)〃?的最

小值.公式：F+22+32+…+4="6+1）（2"+1）（其中〃為正整數(shù)）.

6

5.（2025?江西上饒?一模）將編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)凹槽中，每個(gè)

凹槽放一個(gè)小球，則至少有1個(gè)凹槽與其放入的小球編號(hào)相同的概率是（）

題型06

1.（2025?寧夏銀川?一模）數(shù)學(xué)中的概率概念最早起源于對(duì)賭博、可題的研究.一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)

調(diào)查了100名成年人，對(duì)關(guān)于賭博是否感興趣的話題進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中被選取的男女人數(shù)之比為

11:9.

⑴請(qǐng)補(bǔ)充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立.性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)賭博感興趣的情況與性

別有關(guān).

感興趣不感興趣合計(jì)

成年男性

成年女性15

合計(jì)50100

(2)假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一人賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得

1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情

況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為。元，即賭徒輸光：一種是賭金達(dá)到預(yù)期的6元，賭徒停

止賭博.記賭徒的本金為力JwN,4<8),當(dāng)賭徒手中有〃元(0?〃《反〃￡2時(shí)，最終輸光的概率

為P(〃)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

①請(qǐng)直接寫(xiě)出P(0)與P(8)的數(shù)值.

②證明｛，(〃)｝是一個(gè)等差數(shù)列，當(dāng)力=100時(shí)，分別計(jì)算6=20。,6=1000時(shí)，八(』)的數(shù)值，并結(jié)

合實(shí)際，解釋當(dāng)4-8時(shí)，P(力)的統(tǒng)計(jì)含義.

n(ad-be)2

附：Z,n=a+b+c+d

(〃+6)(c+d)(q+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8415.63510.828

2.(2025?山東淄博?一模)某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況,設(shè)置若干站點(diǎn)檢測(cè)水質(zhì)指數(shù)("M指數(shù)

以這些站點(diǎn)所測(cè)“A4指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報(bào)此大型水域的水質(zhì)情況.下圖是2024年11月份30

天內(nèi)該大型水域""指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：[12,20),[20,28),[28,36),

[36,44),[44,52),[52,60),[60,68),[68,76].

”,否則稱(chēng)為〃非優(yōu)質(zhì)水源日”.對(duì)該地區(qū)50名外出郊游

的巾民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表:

男市女市合

民民計(jì)

優(yōu)質(zhì)水源日出游1230

非優(yōu)質(zhì)水源日出

6

游

合計(jì)50

請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān)？

（2）從指數(shù)〃在第一組［12,20）和第二組［20,28）的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，記這3天

的數(shù)據(jù)來(lái)自第一組的數(shù)據(jù)有X天，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(acl-bcy

附：Z

(a+6)(e+d)(a+e)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

3.（2025?黑龍江?一模）第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在哈爾濱圓滿落下帷幕.在這場(chǎng)盛大的亞洲冰雪盛

會(huì)中，獎(jiǎng)牌榜見(jiàn)證了各國(guó)運(yùn)動(dòng)員的榮耀與拼搏.中國(guó)隊(duì)以32金27銀26銅，總計(jì)85枚獎(jiǎng)牌的傲人

成績(jī)，強(qiáng)勢(shì)登頂獎(jiǎng)牌榜，成為最大贏家.這一-成績(jī)不僅創(chuàng)造了中國(guó)隊(duì)亞冬會(huì)歷史最佳，更是追平了

單屆金牌數(shù)紀(jì)錄，書(shū)寫(xiě)了中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的嶄新篇章.冰球深受廣大球迷的喜愛(ài)，每支球隊(duì)都有一個(gè)

或兒個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支冰球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某階段所有比賽中，

甲球員是否上場(chǎng)時(shí)該球隊(duì)的勝負(fù)情況如表：

甲球員是否上場(chǎng)球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)

勝負(fù)

上場(chǎng)3845

未上場(chǎng)3

合計(jì)40

⑴完成2x2列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是

否上場(chǎng)有關(guān)聯(lián)？

⑵由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會(huì)進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場(chǎng)時(shí)，打邊鋒,

中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4,0.5,0.1,相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7,0.9,0.5.

(i)當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；

(ii)當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.

附：Z2=(〃+b)(c+")S+c)優(yōu)+

a0.150.100.050.0250.0100.001

Xa2.0722.7063.7415.0246.63510.728

4.(2025?山東特澤?一模)在春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上進(jìn)行了機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100

名觀眾進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：

喜歡不喜歡

男性4010

女性2030

⑴依據(jù)。=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件4="選到的觀眾是男性〃，事件4=“選到的觀眾喜歡機(jī)

器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目"，比較尸(8⑷和P(8團(tuán)的大小，并解釋其意義.

2n[ad-bc^

Y=---------------------------,n=a+b+c+a.

(4+b)(c+d)(o+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

5.（2025?江西?一模）一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1000名成年居民對(duì)新能源車(chē)與燃油車(chē)的購(gòu)買(mǎi)傾

向，得到如下表格：

傾向于購(gòu)買(mǎi)燃油車(chē)傾向于購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)合計(jì)

女性居民150250400

男性居民350250600

合計(jì)5005001000

⑴能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)新能源車(chē)與燃油車(chē)的購(gòu)買(mǎi)傾向存在性別差異？

⑵從傾向于購(gòu)買(mǎi)燃油車(chē)的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)闹谐槿?人進(jìn)行

座談，求在有女性居民參加庫(kù)談的條件下，恰有2名男性居民也參加庫(kù)談的概率.

⑶從所有參加調(diào)查的男性居民中按購(gòu)買(mǎi)這兩種車(chē)的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，

再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)的居民人數(shù)為X,求X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

n(ad-hey

參考公式：Z2其中〃=o+b+c+/.

在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對(duì)變量48的獨(dú)立性進(jìn)行判斷:

當(dāng)/42.706時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判斷變量A,3有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A,8是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的:

當(dāng)/>2.706時(shí)，有90%的把握判斷變量A,8有關(guān)聯(lián);

當(dāng)/>3.841時(shí)，有95%的把握判斷變量A,3有關(guān)聯(lián);

當(dāng)/>6.635時(shí)，有99%的把握判斷變量A,"有關(guān)聯(lián).

|題型07求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望

1.（2025?廣西?一模）在某校舉辦的學(xué)科文化節(jié)系列活動(dòng)中，數(shù)學(xué)組老師設(shè)計(jì)了一個(gè)答題挑戰(zhàn)活動(dòng)

供全校數(shù)學(xué)愛(ài)好者挑戰(zhàn).挑戰(zhàn)題目由邏輯推理題和運(yùn)算求解題兩部分構(gòu)成，用于考查學(xué)生的邏輯推

理能力和運(yùn)算求解能力.現(xiàn)有〃名同學(xué)報(bào)名依次發(fā)起挑戰(zhàn)，每位同學(xué)成功解答出邏輯推理題和運(yùn)算

求解題的概率均為g,兩題能否解出相互獨(dú)立，每位同學(xué)解題過(guò)程相互獨(dú)立，挑戰(zhàn)規(guī)則如下：

①每位同學(xué)均先答邏輯推理題，邏輯推理題答對(duì)才能答運(yùn)算求解題；

②記第"（"=1,2,3,L,〃）位同學(xué)挑戰(zhàn)為本次挑戰(zhàn)活動(dòng)的第2輪,若第i（i=l,2,3,L,1）位同學(xué)在規(guī)

定時(shí)間內(nèi)未完成邏輯推理題，則認(rèn)為本次活動(dòng)的第，.輪挑戰(zhàn)失敗，該同學(xué)退出由第i+1位同學(xué)挑戰(zhàn);

③若第年.=1,2,3,L,1）位同學(xué)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成邏輯推理題，則該同學(xué)繼續(xù)答運(yùn)算求解題，若

該同學(xué)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)未完成運(yùn)算求解題，則也認(rèn)為本次活動(dòng)的第i輪挑戰(zhàn)失敗，該同學(xué)退山，由第

i+1位同學(xué)挑戰(zhàn)；若該同學(xué)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成了運(yùn)算求解題，則挑戰(zhàn)成功，本次答題挑戰(zhàn)活動(dòng)結(jié)束，

后續(xù)同學(xué)不再進(jìn)行答題挑戰(zhàn).

④挑戰(zhàn)進(jìn)行到第〃輪，則不管第八位同學(xué)是否完成兩題的解答，答題挑戰(zhàn)活動(dòng)結(jié)束.令隨機(jī)變量尤

表示這〃名同學(xué)在進(jìn)行第X“（X,=1,2,3,L,〃）輪挑戰(zhàn)后結(jié)束挑戰(zhàn)活動(dòng).

⑴求隨機(jī)變量人的分布列；

⑵若把挑戰(zhàn)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑤：挑戰(zhàn)的同學(xué)先挑戰(zhàn)邏輯推理題，若有同學(xué)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完

成邏輯推理題，以后挑戰(zhàn)的同學(xué)不再挑戰(zhàn)邏輯推理題，直接挑戰(zhàn)運(yùn)算求解題.令隨機(jī)變量匕表示這〃

名同學(xué)在第匕（匕=1,2,3,L,〃）輪挑戰(zhàn)后結(jié)束挑戰(zhàn)活動(dòng).

⑴求隨機(jī)變量匕（〃eN,,〃之2）狗分布列；

（ii）證明：E化）＜3.

2.（2025?廣東湛江?一模）甲參加了一場(chǎng)智力問(wèn)答游戲，每輪游戲均有兩類(lèi)問(wèn)題（難度系數(shù)較低的A

類(lèi)問(wèn)題以及難度系數(shù)較高的〃類(lèi)問(wèn)題）供選擇，且每輪游戲只叵答兩類(lèi)問(wèn)題中的其中一個(gè)問(wèn)題.甲

遇到每類(lèi)問(wèn)題的概率均為g，甲遇到A類(lèi)問(wèn)題時(shí)回答正確的概率為回答正確記1分，否則記0

分；甲遇到8類(lèi)問(wèn)題時(shí)回答正確的概率為:，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲

4

回答每個(gè)問(wèn)題相互獨(dú)立.

⑴當(dāng)進(jìn)行完2輪游戲時(shí)，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

⑵設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計(jì)得分為〃分的概率為G（〃）.

卜（〃+〃）｝為等比數(shù)歹人

(i)證明:1）-；6（

（ii）求G（〃）的最大值以及對(duì)應(yīng)〃的值.

3.（2025?遼寧?一模）隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃，P的二項(xiàng)分布，即丫~4（〃,〃），其概率分布可用下

圖直觀的表示，則（）

尸八

27

64

81

256

b

a-----

1011234"""X

A.〃=5

3

D./?（%）=-

4.（2025?山東煙臺(tái)?一模）為加強(qiáng)中小學(xué)科學(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局?jǐn)M于2025年4月聯(lián)合舉辦

第四屆全市中小學(xué)機(jī)器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設(shè)置穿越障礙、搬運(yùn)物品兩個(gè)項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)先挑戰(zhàn)穿越障

礙項(xiàng)目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運(yùn)物品項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)每個(gè)項(xiàng)目至多挑戰(zhàn)兩次，若第

一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎(jiǎng)金2000元，該項(xiàng)目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該

項(xiàng)目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎(jiǎng)金1000元，否則，不獲得獎(jiǎng)金.假設(shè)甲參賽隊(duì)在每個(gè)項(xiàng)目中，

第一次挑戰(zhàn)成功的概率為彳，第一次挑戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)H成功的概率為:；兩個(gè)項(xiàng)目是否

34

挑戰(zhàn)成功相互獨(dú)立.

⑴設(shè)事件力一甲參賽隊(duì)兩個(gè)項(xiàng)目均挑戰(zhàn)成功”，求尸（⑷：

⑵設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，甲參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

⑶假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊(duì)，且根據(jù)往屈比賽成績(jī)，甲參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)近似為各參賽隊(duì)獲

得獎(jiǎng)金數(shù)的平均水平.某贊助商計(jì)劃提供全部獎(jiǎng)金，試估計(jì)其需提供的獎(jiǎng)金總額.

5.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）"冰雪同夢(mèng)，亞洲同心〃，2025年第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉辦，本次

賽事共有6個(gè)大項(xiàng)，11個(gè)分項(xiàng)，64個(gè)小項(xiàng)，有來(lái)自34個(gè)國(guó)家和地區(qū)，1200多名運(yùn)動(dòng)員參賽，是一

場(chǎng)令人回味無(wú)窮的冬季體育盛會(huì)，亞冬會(huì)圓滿結(jié)束后，我校團(tuán)委組織學(xué)生參加與亞冬會(huì)有關(guān)的知識(shí)