第十三章三角形

一、單選題

I.下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.2,3,6B.2,6,8C.4,5,8D.4,4,10

2.如圖，在VA6c中，。是8c的中點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AB+AC>2ADB.AD<AR+RD

C.S.ABD=S.ACDD./BAD=NCAD

3.在下列條件中，不能判定VABC為直角三角形的是（）

A.ZA=50°,ZC=40°B.ZA=9（）O-ZC

C.ZA+ZB+ZC=180°D.ZA+ZB=ZC

4.如圖，在V4BC中，/8=57。,NC=33。，力。是VAAC的角平分線，則2的度數(shù)

為（）

A

/K

BDC

A.43°B.48。C.73°D.78°

5.如圖，在VABC1中，AD是高,AE是角平分線，町是中線，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A

BFEDC

A.BF=CFB.ZADC=90°

C.z^AF=ZCAFD?S.ABC=S^&BF

6.如圖，AB//CD,4=50。，NE=NC,則NC的度數(shù)是（）

BD

A.25°B.30°C.45°D.50°

7.如圖，在三角形紙片A8C中，4=76。，ZB=68°,將紙片的一角沿OE折疊，使點(diǎn)C

落在點(diǎn)C處，若Nl=108。，則/人笈）的度數(shù)為（）

A.72°B.56°C.46°D.36°

8.如圖，D,E分別為AC,80的中點(diǎn)，若VA3C的面積為36,則VADE的面積為（）

二、填空題

9.人站在晃動(dòng)的公共汽車上，若兩腿分開(kāi)站立，還需要伸出一只手抓住欄桿才能站穩(wěn)，這

是利用了三角形具有.

10.如圖，在VA8c中，AO平分-84。交8C于點(diǎn)。，CEJ.AB于點(diǎn)E,若4=50°,

ZACE=20°,則ZADC的度數(shù)是.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

12.如圖，在VA8C中，CO是中線，點(diǎn)E在4c上，CE=3AE,CO與能相交于點(diǎn)產(chǎn)，若

VA8C的面積為28,則四邊形的面積為.

13.如圖，NA的一邊AB為平面鏡，另一邊AC上有一點(diǎn)。，從。點(diǎn)射出一束光線經(jīng)A8上

一點(diǎn)E反射,反射光線EF恰好與4c平行，已知ZAED=ZBEF,N￡DC=70°,則NA的

度數(shù)是.

三、解答題

14.如圖，求NA+NA+NC+ND+N石的度數(shù).

15.如圖，在V48C中，C。是NACB的角平分線交人B于點(diǎn)。，DE//BC,交AC于點(diǎn)E,

Z4=60°,ZBDC=80°,求△(?￡>￡各內(nèi)角的度數(shù).

A

AO是BC邊上的高，且N8=40。,

17.如圖，BD,C￡是VAAC的兩條高，且交于點(diǎn)O.

⑴求NABD和NACE大小關(guān)系;

⑵若4=70°,Z4^C=60°,求NAM和/BCE的度數(shù).

18.如圖，力。是VABC的高線，AE是VAAC的角平分線，ZC=30°,ZB=80°

A

(1)求NTME的度數(shù)；

(2)請(qǐng)?zhí)骄?D4E與NB/C的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案

1.C

【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件.根據(jù)“三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，

任意兩邊之差小于第三邊”求解即可.

【詳解】解:A、???2+3<6,

???不能構(gòu)成三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

B、V2+6=8,

???不能構(gòu)成三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

C、V5+4>8,

???能構(gòu)成三角形，該選項(xiàng)符合題意；

D、V4+4<10,

???不能構(gòu)成三角形，該選項(xiàng)不符合題意：

故選：C.

2.D

【分析】本題重點(diǎn)考查三角形中線的性質(zhì)，正確區(qū)分中線與角平分線的概念是解題的關(guān)鍵.

延長(zhǎng)AD到點(diǎn)￡,使。E=連接CE,利用△人次足AC+CE>AE判斷A；利用

三角形三邊關(guān)系判斷B；利用中線性質(zhì)判斷C；利用中線和角平分線的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使QE=AQ,連接CE,因?yàn)閆ADB="DC,BD=DC,

所以從而AB=EC,在AACE中，AC^CE>AE,即AC+A8>2AO,故A

正確；

對(duì)于B,在AABD中，直接應(yīng)用三角形不等式定理，兩邊之和大于第三邊，因此AD<AI^BD

恒成立，故B正確：

對(duì)于C,因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以BD=DC,△ABO和△ACO有相同的高，因此它僅的面

積相等，故C正確：

答案第1頁(yè)，共9頁(yè)

對(duì)于D,AO是中線，但不一定是角平分線，只有當(dāng)4ABC是等腰三角形（即八B=4C）時(shí)，

A。才平分題目未給出等腰條件，因此NMO=NC4/）不一定成立，故D錯(cuò)誤，

故選：D.

3.C

【分析】本題主要考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三

角形的判定方法.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的定義，逐項(xiàng)分析是否有一個(gè)角為90。.

【詳解】解：:三角形內(nèi)角和為180。，

A.NA=50。，ZC=40°,

AZB=1800-50o-40o=90°.故為直角三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

B.VZA=90°-ZC,

???ZA+ZC=90°.

???/4=180。-90。=90。，故為直角三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

C.4+NB+NC=180。恒成立，不能推出直角，如等邊三角形，該選項(xiàng)符合題意；

D.VZ4+ZB=ZC,

???ZA+ZB+ZC=2ZC=180°,

JZC=90°.

故為直角三角形，該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

4.D

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義.先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

/加。的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出一84。的度數(shù)，最后在△AAO中，根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理求出/A/羽的度數(shù).

【詳解】解：?/ZfiAC+Zfi+ZC=18（T,ZB=57°,ZC=33n,

：.ZBAC=180°-ZB-ZC=l80°-57°-33°=90°.

AO是VA3c的角平分線，

/.ZBAD=-NBAC=-x90°=45°.

22

NRAD+NB+ZADB=180°,

/.ZADB=180°-/BAD-4B=180°-57°-45°=78。.

答案第2頁(yè)，共9頁(yè)

故選：D.

5.C

【分析1本題考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)三角形角平分線、中線和高的定義

進(jìn)行判斷即可，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、???心是中線，

：?BF=CF,故A說(shuō)法正確，不符合題意；

B、":AD是高，

AAD.LBC,即N/V)C=90。，故B說(shuō)法正確，不符合題意；

C、"是中線，不能得到㈤F'=NC4廣，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

D、:A。是高，

：-SS=-BFAD,

AMAOBVC=-2BCAD,Agr2

???/V7是中線，

:.BC=2BF,即故D說(shuō)法正確，不符合題意；

故選：C.

6.A

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).由兩直線平行，同位角相等，可得

NDOE=ZA=50。,由三角形外角的性質(zhì)得NZX)￡=NC+NE,結(jié)合N￡=NC1即可求解.

【詳解】解：??,AB〃CD,ZA=50°,

/.ZDOE=ZA=50°,

???/DOE=NC+ZE,/E=/C,

：.ZC=-ZDOE=25°,

2

故選：A.

7.A

【分析】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵

是掌握以上性質(zhì).

根據(jù)翻折的性質(zhì)得出/CDE=ZCDE=lx(1800-Zl)=36°,利用三角形內(nèi)角和定理得到

NC=180。-NA-N8=36。，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???4=108。,

答案第3頁(yè)，共9頁(yè)

???由翻折的性質(zhì)得，ZCDE=ZCDE=gx（180?！狽1）=36。，

VZA=76°,NB=68。，

，ZC=180o-Z>A-Z^=36o,

???ZAED=^CDE+ZC=72°.

故選：A.

8.C

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形中線的性質(zhì)，解題關(guān)健是熟練掌握三角形中線平分三角

形的面積.根據(jù)三角形中線平分三角形的面積即可得2狼￡=gsd8O8c.

【詳解】解：。，E分別為AC,8。的中點(diǎn)，

即8。是VA4c的中線，AE是△A3。的中線，

,S.ABD=3S&ABC=gX36=18,

AD￡=^AABD=^X18=9.

故選：C.

9.穩(wěn)定性

【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)人兩腿分開(kāi)和一只手抓欄桿形成三角形結(jié)構(gòu),

三角形具有穩(wěn)定性，因此能站穩(wěn).

【詳解】解：兩腿分開(kāi)站立與抓欄桿的手形成三角形形狀，利用了三角形的穩(wěn)定性，

故答案為：穩(wěn)定性.

10.85°

【分析】本題考查了角的相關(guān)運(yùn)算，涉及角的平分線、三角形內(nèi)角和與垂直的性質(zhì)，先利用

直角得到N8CE的度數(shù)，再依次得到-ACb、-84C的度數(shù)，再根據(jù)角平分線得到NDAC

的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和求得結(jié)果.

【詳解】

解：?.?/8=50°,CE1AB,z64CE=20°,

.N8CE=900-N8=40°,

:.ZACB=/BCE+ZACE=40。+20°=60°,

N8AC=1800-N8-Z4C8=180。-50°-60。=70。.

40平分/84C,

答案第4頁(yè)，共9頁(yè)

ZDAC=-NBAC=-x70°=35°,

22

ZWC=180。—/QAC—ZAC3=180°-35。-60°=85。.

故答案為：85°.

II.15

【分析】本題主要考查三侑形的計(jì)數(shù)，涉及對(duì)圖形的觀察、分類歸納能力，以及對(duì)“由不同

數(shù)量小三角形組成的三角形''的識(shí)別，解題的關(guān)健點(diǎn)在于分類計(jì)數(shù)，易錯(cuò)點(diǎn)在于重更計(jì)數(shù)，

分類混亂，遺漏計(jì)數(shù)：或者掌握利用“底邊線段數(shù)”計(jì)數(shù)的方法也可以：方法一：由一個(gè)小三

角形組成的有5個(gè)；由兩個(gè)小三角形組成的有4個(gè)；由三個(gè)小三角形組成的有3個(gè)；由四三

角形組成的有2個(gè)；最有還有1個(gè)最大的三角形，加上總和即可.方法二：利用“底邊線段數(shù)”

計(jì)數(shù)，對(duì)于這種頂點(diǎn)固定、底邊被分成若干段的三角形計(jì)數(shù)問(wèn)題，先觀察底邊的分段，再計(jì)

算底邊的線段總數(shù)，線段總數(shù)的計(jì)算公式為：1+2+3+…（其中〃是基本線段的數(shù)量）,

每一條底邊的線段（無(wú)論是短的還是長(zhǎng)的）都與頂點(diǎn)形成一個(gè)唯一的三角形，按公式計(jì)算即

可.

【詳解】底邊線段分段數(shù)：5

三角形個(gè)數(shù)：1+2+3+4+5=15（個(gè)）

故三角形有15個(gè).

12.5

【分析】本題考查了根據(jù)三角形中線求面積，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.連

7

接A/,由C。是中線,CE=3AE可得2八e=14,S&BDF=S&ADF,=-S^BC=7,

據(jù)S.AFF+S尸SjBE-S刈沖，求出gADF=2,即可求出四邊形ADFE的面積.

【詳解】解：連接AF,如圖,

=28,C。是中線，CE=3AE,

=

S'AC。=14,S.BDF=,SJBE=\?IBC7,

\AEF~*S'CF=W(14-,

'&AEF+SJDF-SJBE~S±BDF，

答案第5頁(yè)，共9頁(yè)

-Sa?)+S4ADF

=7-SJDF，

解得：SJDF=2,

四邊形AO正的面積="S.ADF=5.

故答案為：5.

13.35。/35度

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性

質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，得出入MD=N4,ZAED+ZA=70°,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：???￡F〃AC，

/.ZBEF=ZA,

,/ZAED=/BEF,

/.ZAED=ZA,

*/NEDC=70。,

???ZA￡D+ZA=ZEDC=70°,

AZAED=ZA=35°.

故答案為35。.

14.180°

【分析】本題考查了對(duì)頂用的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，理解圖示是解決本題的關(guān)鍵.

連接8C,根據(jù)對(duì)頂角相等可得ZF3C+ZFC3=N￡+ND,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而

即可求解.

【詳解】解：連接3C,

*//EFD=NBFC,

NFBC+/FCB=NE+ND,

/.ZA+ZABD+ZACE+ZD+ZE

=ZA+ZABD+ZACE+NFBC+4FCB

答案第6頁(yè)，共9頁(yè)

=ZA+ZABC+ZACB

=180°.

15.ZDEC=140°,ZCDE=20°,ZACD=20°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角

和定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)健.

由角平分戰(zhàn)的定義可得ZACD=ZBCD=1Z4CB,由三角形外角的性質(zhì)可得

ZBDC=ZA+ZACD,易得46=20。；再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得？?BCD20?,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NDEC=140。即可解答.

【詳解】解：???8是/48的角平分線，

/.ZACD=/BCD=-ZACB,

2

乂???4。。是久期的外角，

AZ^DC=Z4+ZACD,

???ZACD=Z.BDC-ZA=80°-60°=20°,

,/DE//BC,

?CDE?BCD20?,

???ZCDE+ZDCE+ZDEC=180°

/.?DEC180??ECD?EDC180?20?20?140?,

AZDEC=140°,ZCDE=20°,ZACD=20°.

16.10°

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理.、角平分線、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握

三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得/84C,再根據(jù)角平分線的定義求得NK4E,再根據(jù)三角

形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求得NAED,然后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角

互余即可解答.

【詳解】解：???/8=40。，ZC=60°,

???Zfi4C=180°-ZB-ZC=80°,

又：4E是/84c的角平分線，

,NBA石=2/8人。=40。，

2

I.NA上"=N8+N從止=風(fēng)產(chǎn),

答案第7頁(yè)，共9頁(yè)

又???AO是4c邊上的高，

/.NEW=10。.

17.(\}ZABD=ZACE

⑵-48。的度數(shù)是20。，NBCE的度數(shù)是30°

【分析】本題考查直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、三角形的高的定義等知識(shí)，

正確理解和應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及其推論是解題的關(guān)健.

(1)由80,CE是VA3c的兩條高，推導(dǎo)出NAOA=ZAEC=90。，由430+44=90。，

AACE+Z/J=90°,得/4BQ=NAC￡,所以24團(tuán)和/ACE大小關(guān)系是NABO=4CE；

(2)由ZAD3=4￡T=90\4=70。，ZABC=60°,求得ZABD=900-ZA=20。，

/BCE=90°-ZABC=30°.

【詳解】(1)解：QBD,CE是VA8C的兩條高，

:.BD上AC千點(diǎn)、D,CE工AB于WE,

.?.N4￡>4=NA￡C=90°,

/.ZABD+ZA=9(rfZ_ACE+ZJ=90°,

:.ZABD=ZACE,

/.ZABD和/ACE大小關(guān)系是ZABD=ZACE.

(2)解：?.?ZAP8=N6fC=90。，ZA=70°,ZABC=60°,

ZABD=90。-ZA=20°.NBCE-900-ZA