二次函數(shù)與幾何圖形綜合（7種高頻題型28題）

口稅考點分類目錄指引

題型1：線段周長問題（二次函數(shù)綜合）.....................................................1

題型2：面積問題（二次函數(shù)綜合）..........................................................8

題型3：角度問題（二次函數(shù)綜合）.........................................................18

題型4：特殊三角形問題（二次函數(shù)綜合）..................................................30

題型5:特殊四邊形（二次函數(shù)綜合）......................................................40

題型6：相似三角形問題（二次函數(shù)綜合）..................................................50

題型7：其他問題（二次函數(shù)綜合）........................................................62

月質(zhì)優(yōu)選題型考點講練_________________________________________________________

題型1：線段周長問題（二次函數(shù)綜合）

1.（25-26九年級上?全國,課后作業(yè)）如下圖，拋物線y=x2+bx+c與才軸交于48兩點,與y軸交于

點C,點力的坐標為（一1,0）,點5的坐標為（3,0）.

⑴求△ABC的面機

⑵若，是第四象限內(nèi)拋物線上任意一點，PH_LX軸于點〃，與相交于點收求線段的最大值.

【答案】（1）AABC的面積為6

（2）線段PM的最大值為3

【思路引導】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、三角形面積的計算以及線段最大值的求法，解

題的關鍵是利用函數(shù)性質(zhì)求線段最大值.

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(1)將A(—l,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c可求得拋物線的解析式，進而根據(jù)拋物線解析式求得點C的坐標,

易得線段OC，AB的長度，所以由三角形面積公式解答即可；

(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PM=(n—3)一

2

(n-2n-3),再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【規(guī)范解答】⑴解:將A(—l,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c,

得心女解碎：二;：

二拋物線解析式為y=x2-2x-3,

.?.C(0,-3),

:.OC=3.

由A(—l,0),B(3,0)可知，AB=4,

???SAABC=|AB-OC=ix4x3=6,

故答案為：△ABC的面積是6.

(2)(2)設直線BC的解析式為y=kx+t.

將點B、C的坐標代入函數(shù)解析式，得解得(金』，

???直線BC的解析式為y=x—3.

設M(n,n-3),則P(n,n2一2n—3),

?0?PM=(n—3)—(n^—2n—3)=-n2+3n=—(n—J+-?

???當n/時，PM有最大值，最大值為:

故答案為：線段PM的最大值為9

2.(24-25九年級上?河北承德?期末)如圖1,已知拋物線丫=乂2+11^+11與*軸交于人(_1,0),6兩點，

(1)求拋物線的解析式及點B的坐標;

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(2)如圖2,點凡0為直線BC下方拋物線上的兩點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1,過點P作PMIIy軸，交

BC于點M,過點Q作QNIIy軸，交BC于點N.

①求直線BC的解析式；

②求PM+QN的最大值及此時點Q的坐標.

【答案】(Dy=x2—2x-3,(3,0)

(2)①y=x-3；②4,(2,-3)

【思路引導】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求解析式、運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值、二次函數(shù)與幾何的

綜合等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵.

(1)直接運用待定系數(shù)法即可解答；

(2)①直接運用待定系數(shù)法即可解答：

②設P(a,a2—2a—3)(0<a<2),則Q(a+1〃_4),M(&a-3),N(a+l,a-2),再表示出PM+QN,最

后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【規(guī)范解答】(1)解：把A(一1,0)和"0,一3)代入y=x2+mx+n,

得｛1一怨，3=°,解瞰：二;，

.??拋物線的解析式為y=x2_2x_3.

令y=o,則x?—2x—3=。，

解得Xi=-l,x2=3,

???點B的坐標為(3,0).

(2)解：①設直線BC的解析式為y=kx+b.

把B(3,0)￡(0,_3)代入上述解析式，得凡Yj；。，解得C二3，

???直線BC的解析式為y=x-3.

②設P(a,a2-2a-3)(0<a<2),

MQ(a+l,a2-4),M(a,a-3),N(a+l,a-2),

PM=—a2+3a,QN=—a2+a+2,

.?.PM+QN=-2a2+4a+2=—2(a—l)2+4.

v—2<0,

.?.當a=l時，PM+QN有最大值4,

此時a+l=2,a2—4=—3,

點Q的坐標為(2,—3).

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3.（24-25九年級上?全國?期末）已知拋物線丫=2*2+6乂+（:3工0）交》軸于。，A（4,0）兩點，頂點為B

（2,2百），點C為0B的中點.

（2）如圖1,連接0B,點。為線段0B的中點，過點。作CH_LOA,垂足為點//,交拋物線于點七求線段CE

的長

⑶點〃為線段0A上一動點（。點除外），在0C右側(cè)作平行四邊形OCFD.

①如圖2,當點尸落在拋物線上時，求點尸的坐標；

②如圖3,連接BD,BF,直接寫出BD+BF的最小值

【答案】（i）y=—梟2+2每；

⑵乎

（3）①點F（2+gK）；②最小值為2b

【思路引導】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的

判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性

質(zhì)是解題的關鍵.

（1）根據(jù)頂點為火2,2百），設拋物線y=a（x—2）2+2^,把A（4,0）代入解析式，計算求解即可：

（2）根據(jù)頂點為B（2,2場.點C為0B的中點，得到C（1,場，當x=l時，y=一毋x"+2e乂1=苧，

得到E（l,苧），結(jié)合CH10A,垂足為H,得到CE=竽一百=苧.

（3）①根據(jù)題意，得“1,遙），結(jié)合四邊形OCFD是平行四邊形，CF||0D,所以點F的縱坐標和C點相同，結(jié)

合點F落在拋物線上，得到一條X-2產(chǎn)+2百=遙，解得即可；

②設點D（m,0）,則點F（m+1,百），過點B作直線lly軸，作點廠關于直線/的對稱點F'（m+13次），連接

BF,利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計算解答即可.

【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，y=a（x—2）2+2K，

將點A的坐標（4,0）代入y=a（x-27+2舊得，

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0=ax(4—2/+2^3>

解得，a=-苧,

?■?拋物線的解析式為丫=—?（*—2）2+2再，

即丫=--yx2+2>/3x；

（2）解：如圖1,?；0（0,0）,B（2,2百），點C是OB的中點,

???點C的坐標為（1,遍），

當％=1時，y=一冬x12+2>/3X1=—,

???點E（1第，

???點c的坐標為（1,75）,

則CE二孚一百=字；

（3）解：①如圖2,???四邊形OCFD是平行四邊形,

.,.CF||OD,

???點

解得：X1=2+VL*2=2-魚(舍),

A?*XF(2+V2,V3)；

②設點D(m,0),則點F(m+1,圾,

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如圖3,過點B作直線11y軸，

作點/關于直線1的對稱點F'(m-1,3百)，連接BF',

則BD+BF=BD+BF'>DE,

當D,B,F'三點共線時，BD+BF=DF'為最小，

由定點F’，D的坐標得，直線DF'的表達式為：y=3V3(X—m),

將點B的坐標(2,26)代入卜式得：2x/3=373(2-m).

解得，m=；,

?3

則點F，G，3甸，點D&0),

2

則BD+BF最小值為：DF'=J(Z_1)+(3V3)2=728=277,

即BD+BF最小值為2近.

4.(2，1-25九年級上?山東H照?期末)如圖1,將△ABC放置在平面直角坐標系xOy中，使邊AB與x軸重

⑵如圖2,將此拋物線沿水平方向向左平移m(m>0)個單位長發(fā)，得到的新拋物線記為/“/.與x軸交于點

D,￡(點D在點E的左側(cè))，與y軸交于點F,設FC的長為d.

①求d關于m的函數(shù)解析式；

②在拋物線平移過程中，是否存在FC=2OE?若存在，求出m的所有可能值；若不存在，請說明理由.

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【答案】(l)b=2,B(3,0),C(0,3)

(2)①d=|-m24-2ml②存在，m=遍

【思路引導】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移規(guī)則，正確的求出函數(shù)

解析式，是解題的關鍵：

(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進而求出B、C的坐標即可：

(2)①求出平移后的解析式,進而求出點F的坐標,利用兩點口的距離列出函數(shù)關系式即可;②先求出E點

坐標，根據(jù)FC=20E,列出方程進行求解即可.

【規(guī)范解答】(1)解：把A(—1,0)代入y=-x2+bx+3,得：-l-b+3=0,

/.b=2,

???拋物線的解析式為：y=-x2+2X+3,

???當時，解得：當*=時，

y=-x2+2x+3=0Xi=3,X2=-1,0y=3,

r.B(^,O),C(O,3)：

(2)①??？=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

；?平移后的解析式為：y=-(x-1+m)2+4,

.?.當x=0時，y=-(m-l)2+4=-m2+2m+3,

；?F(0,—m2+2m+3),

???C(0,3),

?*.CF=|—m2I2mI3—3|—|—m2I2m|>即:d=|—m2I2m|；

②存在，由題意，點E為點B向左平移m個單位得到，

???E(3_m,0),

/.0E=|3—m|,

當FC=2OE時,則：|—m2+2m|=2|3-m|,

解得：m=遍或111=-V6(舍去).

故口=V6.

題型2：面積問題(二次函數(shù)綜合)

5.(24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?期末)在平面直角坐標系中，。為原點，拋物線y=a(x+6)(x-2)

交x軸于力、4兩點，交y軸于點C(0,—1)

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(2)如圖1,在第二象限的拋物線上取點A點〃為拋物線的頂點，連接AP、AD、BD、BP,若點尸的橫坐

標為K四邊形APBD的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，在拋物線的對稱軸上取點E,且點E在*軸的上方，連接PE、BE.Z.BEP=90

°,乙PED-ZBED=2NABP,再在第二象限的拋物線上另取一點0,點0在點夕的上方，連接BQ交PE于G,

并在BE上取點H,連接PH交BQ于T,TH=BH,EG:EH=2:3,求點Q的坐標.

【答案】⑴!

⑵s=#+￥+g

⑶〃-吟

【思路引導】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)

合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

(1)由待定系數(shù)法即可求解?：

(2)由S=S.ABP+S&\BD=4AB-PK+/B?DR,即可求解；

(3)證明APWE三ZkERB(AAS)得到P(-10,4),E(-2,8),證明△PEH三△BEF(AAS)得到EF=EH=3m,

BG=2m,在ABEF中，利用勾股定理和中點公式得到G(—6,6),進而求解.

【規(guī)范解答】⑴解:y=a(x+6)(x-2)=a(x2+4x-12),

由于函數(shù)經(jīng)過C(0,-l),

則一12a=—1,

解得：a=，，

故答案為：運；

(2)解：作DR_LAB于點R,PKlx軸于點K,

由拋物線解析式得A(-6,0)、B(2,0)、D(-2,-i),

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設-1)，

???PK=-^t2+|t-l,AB=8,DR=:

(3)解：設拋物線的對稱軸DE交x軸于R,作PW_LER于點W,

設/BED=a,

vZBEP=90°,

zPED=90°—a,

:.24ABp=90°-a-a=90°-2a,

zABP=45°-a,

X-.-ER1AB,

:.zEBR=90°—a,

ZPBE=90°-a-(45°-a)=45°,

zBEP=90°,

zBPE=zPBE=45°,

PE=BE,

又???ZPWE=Z.BRE=90°,4PEW=4EBR=90°-a,

:.APWE^AERB(AAS),

EW=BR=4,PW=ER=EW+RW=it2+it-1+4,

...pw=—t24-it+3,

123

???PW+OR=t,

+3+2=t,

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解得h=—10,t2=6(舍)，

.?.P(-10,4),E(-2,8),

PE=BE=V5>

延長PE至點F,連接BF且滿足BF=GF,設立EBG=0,

?.?TH=BH,

zBTH=ZEBG=p,

zPHE=20,

ZEPH=90°-2p,ZBGE=90°-p,

???BF=GF

zF=180°—2(90°—P)=2p=Z.PHE,

zPEH=zPEB=90°,

BE=PE,

:.APEH^ABEFCAAS),

設EG=2m,EH=3m,

EF=EH=3m,GF=BF=5m,

根據(jù)勾股定理可得BE=J(5m)2一(3m)2=4m,

在Z\BEF中，BE=4m=475,

m=V5>EG=2m=2^5,

PG=PE—EG=2>/5=EG,

???G為PE的中點，

vP(-10,4),E(-2,8),

:.G(—6,6)

設直線BQ解析式為丫=1?(+上

4b

把G(-6,6),B(2,0)代入可得，出二至4「

解得13"，

b=-

2

???直線BQ解析式為丫=+

解方程一5+?=/(x+6)(x-2)得：XL-15,X2=2(舍去),

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6.(24-25九年級上?湖北孝感?期末)已知拋物線y=ax?+bx+4與x軸交于點A(_2,0)和點B(4,0),與y

軸交于點C,連接AC,BC.

⑴求拋物線及直線BC的解析式；

(2)如圖1,過點B作BDJLAC,交幗物線于另一點D,求點D的坐標；

(3)如圖2,P是x軸正半軸一動點(不與點B重合)，過點P作y軸的平行線交直線CB于點E,連接AE,設點P

的橫坐標為m,ZkAPE的面積為S.

①求S關于m的函數(shù)解析式；

②若當O<mwt時，S有最大值為！請直接寫出實數(shù)t的取值范圍.

【答案】⑴拋物線的解析式為y=—*+x+4；直線BC的解析式為y=-x+4

⑵D(—W)

—1m2+m+4(0<m<4)

(3)①S=(2)l<t<3x/2+l

1m2—m—4(m>4)

【思路引導】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把點A(一2,0)和點B(4,0)代入丫=2*2+6*+4可求拋物線的解析式；設

直線BC^jy=kx+b,將B(4,0),C(0,4)代入可求直線的解析式；

(2)設直線BD與y軸交于點F,先證明△ACOW2XFBO,再求出直線BD的解析式，與丫=一^2+*+4聯(lián)立

即可求解;

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（3）①由PE||y軸交直線CB于點E,可得，PE=|_m+4|,PA=m+2,分0vm<4,m>4兩種情況，

分別得S關于m的函數(shù)解析式；②當Ovmv4時，Smax=2時，m=l；當m>4時，S=1,m=1+3內(nèi)時,

即可求解.

【規(guī)范解答】⑴解:把點A（-2,0）和點B（4,0）代入y=ax2+bx+4,

zC4a—2b+4=0

MH16a+4b+4=0'

解得｛門

二拋物線的解析式為y=-*+x+4,

當x=0時y=4,

???C（0,4）,

設直線取：為丫=kx+b,

將B（4,0）,C（0,4）代入，

得產(chǎn)武。,

解得｛仁:，

直線BC的解析式為y=-x+4:

（2）解：設直線BD與y軸交于點F,

OB=0C,

vBDlAC,zAOC=ZBOE=90c,

...，ACO4-ZCFD=ZBFO+zOBF=zACO+4CAO=90°,

vzCFD=zBFO,

ZACO=NOBF,

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ACO=△FBO,

:.OA=OF,

，F(xiàn)(0,2),

設直線BD為y=cx+d,

將B(4,0),F(O,2)代入，

得產(chǎn)足7°.

解噴J

???直線BD的解析式為y=-1x+2,

???-1x+2=-1x24-x+4,

解得Xi=-1,x2=4(舍去)，

x=-lB'J,y=-1x(-1)+2

(3)解：①???點P的橫坐標為m,PE||y軸交直線CB干點E,

???E(m,—m+4),

???PE=|—m+4|?PA=m+2,

當0<m<4時，PE=—m+4,

S=1x(m+2)x(-m+4)=-1m2+m+4；

當n>4時，PE=m-4,

S=1x(m4-2)x(m-4)=|m2-m-4,

綜上所述，S=

②當0<m<4時，

1i

2=

對于S=--m+m+4,m=-2x(-l)1時，

4X(~4)X4-129

Smax=二二)=2；

對于S=1m2—m—4,

m=l時，函數(shù)有■最小值,

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當m>4時，S隨m的增大而增大,

當—m—4=]時，

解得m=1+3&或m=1—3V2（舍去），

綜上所述，當Ovmwt時，S有最大值（實數(shù)t的取值范圍是1Wt&l+3VL

【考點剖析】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，求一次函數(shù)解析式，一元二次方程與二次函

數(shù)的關系等知識，解題的關鍵是理解題意，做到數(shù)形結(jié)合，建立正確的方程，準確計算.

7.（2025?河北秦皇島?一模）如圖，拋物線y=—乂2+6*+（:與乂軸相交于人、B兩點，與y軸相交于點C,

且點B與點C的坐標分別為B（6,0）、“0,6）,點M是拋物線的頂點.

（1）求二次函數(shù)的關系式：

（2）點P為線段MB上一個動點，過點P作PD_Lx軸于點D.設點P的橫坐標為n,△PCD的面積為S.

①求S與n的函數(shù)關系式，寫出自變量n的取值范圍；

②求S的最大值.

【答案】（Dy=-X2+5X+6

（2）?S=_孑2+爭,|<n<6；鱷

【思路引導】（1）將B（6,0）、C（o,6）代入拋物線y=-x2+bx+c得方程組求解即可得到答案；

（2）①由（1）知二次函數(shù)的關系式y(tǒng)=-x2+5x+6,得到MG，?）,再由待定系數(shù)法確定直線BM的解析

式，結(jié)合題意即可得到答案：②由拋物線性質(zhì)求最值即可得到答案.

【規(guī)范解答】（1）解：將B（6,0）、C（0,6）代入拋物線y=-x2+bx+c可得，

[0=-36+6b+c

I6=c'

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二二次函數(shù)的關系式y(tǒng)=-x2+5x4-6；

（2）解：①由（1）知二次函數(shù)的關系式y(tǒng)=-x24-5x4-6,

???點M是拋物線的頂點，

設直線BM的解析式為y=kx+b,

將B（6,0）、乂（|,?）代入丫=1?+13得,

*0=|k6k++bb，解得｛(kb==-2-1

???直線BM的解析式為y=—3+21,

???過點P作PDix軸于點D,點P的橫坐標為n,

P(n,--n+D(n,O),

2

???ZXPCD的面積為S=lPD-0D=lx(-Zn+21)xn=-Zn+yn,

,B(6,0),

5,

-nW6：

②由①知$=-jn2+^-n,|<n<6,

C7,21

AS=11?

一彳+Tn

7

=-4（n9z-6n）

=-Z（n-3）2+^,

,*43=——<0,n=3滿足弓<n<6,

4Z

?.△PCD的面枳S有最大值，為冬

4

【考點剖析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定拋物線解析式、解二元一次方程組、

待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式、拋物線圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)一般式化為頂點式、二次函數(shù)求最值等知

識，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關鍵.

8.（24-25九年級下?安徽池州?開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=2乂2+6*+（:與*軸交

于4（一2,0）取4,0）兩點，與y軸的負半軸交于點C,且"=8,點P是直線BC下方拋物線上的一動點.

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備用圖

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

⑵連接p。,PC,并將APOC沿y軸對折，得到四邊形POP'C,是否存在點P,使四邊形POP'C為菱形？若存在,

求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在點P運動過程中，當四邊形ABPC的面枳最大時，求出此時點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】(1)該拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-2x-8

(2)存在這樣的點P,此時點P的坐標為(1+百,一4)

(3)當點P運動到(2,—8)時，四邊形ABPC的面積最大，四邊形ABPC的最大血積為32

【思路引導】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)以及函數(shù)與坐標軸的交點問題，

(1)根據(jù)題意可知點C坐標，利月待定系數(shù)法即可求得拋物線的函數(shù)表達式；

(2)連接PP'交C。于點D,結(jié)合菱形的性質(zhì)可得PC=P。，且PD1CO,進一步求得點P的縱坐標為一4,代

入函數(shù)解析式有X2-2X-8=-4,即可求得點P的坐標；

(3)連接P。，作PMJ.X軸于點M,PN_Ly軸于點N,設點P的坐標為(mg2—2m—8).則A0=2,0B=4,

PM=-m2+2m4-8,PN=m,結(jié)合S四邊形ABPC=^AAOC+^APOE+^APOC=7^^>"+-OB?PM+-0C?PN,

化解后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可.

【規(guī)范解答】(1)解：?.?拋物線丫=2乂2+6*+(:與丫軸的負半軸交于點(：，且0C=8,

把A(_2,0),B(4,0),“0,一8)代入丫=2乂2+6*+(:中，

r4a—2b+c=0,ra=1,

得16a4-4b4-c=0,解得b=-2,

c=—8,lc=-8,

?.該拋物線的函數(shù)表達式為y=X2-2X-8.

(2)解：假設拋物線上存在點P,使四邊形POP'C為菱形，連接PP'交CO于點D.如圖,

第16頁共72頁

???四邊形POP'C為菱形，0C=8,

/.PC=P0,且PDJ.CO,

OD=DC=4,即點P的縱坐標為一4.

由得+遍，（不合題意，舍去）,

x2-2x-8=-4,X]=lx2=1-V5

故存在這樣的點P,此時點P的坐標為（1+V5,-4）.

（3）解：連接P。，作PM1X軸于點M,PNiy軸于點，如圖，

設點P的坐標為(m,m?—2m—8).

vA(-2,0),B(4,0),OC=8,

.?.AO=2,OB=4,PM=—m2+2m4-8,PN=m,

111

S四邊形ABPC=^AAOC+^APOB+^APOC=2Ao,OC+—OB,PM+,0C?PN

=yx2x8+—x4(—m2+2m+8)+菱x8m=-2m2+8m4-24=—2(m—2)?+32,

.??當m=2時，m2—2m—8=—8,

此時點P的坐標為(2,-8),

即當點P運動到(2,—8)時，四邊形ABPC的面枳最大，四邊形ABPC的最大面積為32.

題型3：角度問題（二次函數(shù)綜合）

9.（24-25九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（_4,0）、B

（1,0）,交y軸于點C（0,4）,點p是拋物線上一動點.

第17頁共72頁

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）當點P的坐標為（一2,6）時，求四邊形AOCP的面積；

（3）若乙PBA=45。，求點P的坐標.

【答案】（l）y=-X2-3X+4

⑵16

（3）（-3,4）或（-5,-6）

【思路引導】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）過點戶作PTJ.AB于T,根據(jù)S四邊形AOCP=SgpT+S梯形OCPT列式求解即可；

（3）取電（一4,5）,連接AH1，B%,證明zAB%=45。，則線段B%與拋物線的交點即為所求；求出直線

B%的解析式為y=—x+1,聯(lián)立［上:解得｛：=?或｛；'（舍去），則Pi（—3,4）；如圖

所示，取電（—4,一5）,連接A%，BH2,同理可得NAB%=45。，則直線B%與拋物線的交點P?即為所求;

同理可得P2（-5,-6）：則符合題意的點〃的坐標為（一3,3）或（-5,-6）.

【規(guī)范解答】（1）解：將點B（1,O）代入y=-x2+bx+4,

得一l+b+4=0

解得b=-3

:.拋物線解析式為y=—x2—3x+4；

（2）解：如圖所示，過點〃作PTjLABfA

VP（_2,6）,A（_4,0）,C（0,4）,

.\0A=4,0T=2,0C=4PT=6,

AAT=2,

'S四邊形AOCP=S.APT+S梯形OCPT

第18頁共72頁

16+4

-x2x64-------x2

（3）解：如圖所示，取H1（—4,5）,連接A%,BHI，

?.?A（_4,0）、B（i,o）,HK-4,5）,

=5,AB=5,AH]1AB,

.\zABHj=45°,

???線段BHI與拋物線的交點P]即為所求；

設直線BH]的解析式為y=kx+bP

.（k+b[=0

?,（-4k+bi=5'

.[k=-1

?,lb1=1，

???直線BH1的解析式為y=—x+l,

解得｛x二:或｛:＞舍去）,

???Pi（-3,4）；

第19頁共72頁

如圖所示，取電（—4,一5）,連接A%,BH2,

同理可得ZABH?=45°.

???直線B”與拋物線的交點P2即為所求；

同理可知直線B&的解析式為y=x-1,

聯(lián)立｛y』艱，S'"解得｛;二汝d（舍去），

.?.P2（-5,-6）；

綜上所述，符合題意的點尸的坐標為（一3,4）或（一5,—6）.

【考點剖析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理等知識，解題的關鍵在于正

確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.

10.（24-25九年級上?湖北恩施?期中）如圖，拋物線y=—乂2+匕*+4交乂軸于人（一1,0）,B兩點，與y軸

交于點C,P為拋物線上的一個動點，且點P的橫坐標為m—?.

（1）直接寫出拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）若m>3,當拋物線在點P和點A之間的部分（包括P、A兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為m+1

第20頁共72頁

時，求m的值：

⑶在第一象限的拋物線上是否存在點P,使4PBC+NACO=45。，若存在，請求出點P的坐標；若不存在,

說明理由.

【答案】(l)y=-x2+3x+4,頂點〃坐標為G片)

⑵片片或手

(3)存在，P(3,4)

【思路引導】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)首先求出B(4,0),然后表示出，的坐標為(m-1-m2+6m-?),然后分三種情況：①當點〃在x

軸上方時：②當點尸在x軸下方時；③當點〃在x軸上時，然后根據(jù)題意分別列方程求解即司；

(3)如圖所示，在*軸的正半軸上取點E(l,0),連接CE,過點〃作BP||CE交拋物線于點匕根據(jù)題意得到

ZPBC+ZACO=45°,然后求出苜線CE的解析式為y=—4x+4.直線PB的解析式為y=—4x+16.然后

和拋物線聯(lián)立求解即可.

【規(guī)范解答】(1)將點A(-l,0)代入拋物線y=-x2+bx+4+

得0=-l-b+4

解得：b=3

???拋物線解析式為丫=-x2+3x+4=-(x-1)2+^

?,?頂點〃坐標為修裝

(2)令—X?+3x+4=0

解得Xi=-1,x2=4

???B(4,0)

???尸的橫坐標為m—9且m>3

33

將x=m—/弋入y=—x2+3x+4=—(m—|)+3(m—4-4=—m2+6m—?

???點尸一定在對稱軸右側(cè)，且尸的坐標為(m+6m—今；

①如右圖所示，當點尸在彳軸上方時，

第21頁共72頁

M|<m-|<4,即3Vm<5.5

25

此時：m+1=yD-yA=T，

解得：m=?，符合題意；

②如右圖所示，當點P在x軸下方時,

2

此時：ni+l=yD—yp=——(—m+6m—

解得：mi=z±^z,m2=<5.5(舍去)

③當點夕在x軸上時，

則ri—5=4,即m=5.5

此時：m+1=yD-yA(或yp)=手解得：m=?hSB(舍去)

綜上所述，m=??或組亙；

(3)存在點A使NPBC+匕AC0=45。，點夕的坐標為(3,4)

理由如下：

如圖所示，在*軸的正半軸上取點E(1,O),連接CE,過點月作BP||CE交拋物線于點產(chǎn)

第22頁共72頁

p

/1\w?

/TV

VA(-1,O),E(1,O),

.,./ACO=zECO

VBP||CE,

.\zPBC=Z.ECB,

/.zPBC+zACO=zECB+zECO=zBCO

VOB=OC=4,zBOC=90°

AZBCO=45°

AzPBC+zACO=45°

設直線CE的解析式為y=px+q,過C?4),E(l,0)

工直線CE的解析式為y=-4x+4

VBP||CE

???設直線PB的解析式為y--4x+n

將B(4,0)代入得0=-16+n

解得：n=16

???直線PB的解析式為y=-4x4-16

由一X24-3X4-4=—4x+16

解得：x1=3,X2=4(舍去)

???P(3,4).

【考點剖析】本題考查了二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與角度綜合等知識.熟練掌握二次

函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式是解題的關鍵.

11.(24-25九年級上?湖北武漢?期中)已知拋物線丫=2乂2+匕*+3與*軸交于八(_1,0),B(3,0)兩點，與y

軸交于點C.

第23頁共72頁

(1)(2)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(1),Q為拋物線上第一象限內(nèi)一點，若乙AQC=2，BAQ,求點Q的坐標；

⑶如圖(2),P為x軸上方一動點，直線PM,PN與拋物線均只有唯一公共點M,N,014_1乂1^于點乩且△PAB

的面積是10,求線段OH長度的最大值.

【答案】(Dy=-X2+2X+3；

(2)點Q的坐標為G，a；

(3)OH長度的最大值為V1U.

【思路引導】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，學會利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化角

度和線段的關系是解題的關鍵.

(1)代入A(_l,0),8(3,0)到拋物線丫=2乂2+6*+3,求解a、。的值即可；

(2)過點Q作QM_Ly軸交y軸于點M,設Q(t,—t2+2t+3),結(jié)合NAQC—2/BAQ得出CM-NM,得出N

2

(0,-2t4-4t+3),代入直線AQ的解析式，解出Z的值即可；

(3)設M(m,—m2+2m+3),N(n,_M+2n+3),依據(jù)題意表示出直線PM和PN的解析式，再求出交點產(chǎn)

的坐標，結(jié)合4PAB的面積是10,得出勿、〃的關系式，代入直線MN解析式可得定點坐標，再利用定點坐

標確定OH長度的最大值即可.

【規(guī)范解答】(1)解：代入A(—L0),B(3,0)得：

解得:『日,

二拋物線的解析式為：y=-X2+2X+3.

(2)如圖，過點Q作QMiy軸交y軸于點M,則4cMQ=4NMQ=90。，

第24頁共72頁

設Q(t,-t2+Zt+3),則M(o,—F+2t+3),

???QM_Ly軸，

QM||x軸，

ZMQN=ZBAQ,

vzAQC=2zBAQ,

zAQC=2ZMQN,

ZCQM=ZNQM,

又?.?MQ=MQ,

.-.△CQM^ANQM,

.-.CM=NM,

又?.?C(0,3),M(o,-t2+2t+3),

???N(o,-2t2+4t+3),

???A(_1,O),

???AQ:y=(3一t)x+3—t,

3—t——2t2+4t+3,

解得：I=0(舍)，t2=1,

???點Q的坐標為CW).

2

(3)設M(m,-m2十2m+3),N(n,-n+2n+3),

設PM的解析式為y=kx+p,

代人M(m,-m?+2m+3)得，-m?+2m+3=km+p,

p=—km—m2+2m+3,

?**y=kx—km-m2+2m+3,

旺,jy=kx-km-m2+2m+3

聯(lián)'4v=-x2+2x+3'

第25頁共72頁

消去y整理得：x2+(k-2)x-m2-km+2m=0,

???PM與拋物線只有唯一公共點，

??"=(k-2乃一4(一一km+2m)=0,

整理得：(k+2m-2)2=0,

解得：k=-2m+2,

二PM:y=(-2m+2)x—m(-2m4-2)-m2+2m+3=(-2m+2)x+m2+3,

同理可得，PN:y=(-2n+2)x+n2+3,

聯(lián)立PM與PN可得交點P(等,m+n—mn+3)：

■:SaPAB=10，

：AB-yP=10,

?*,yp=5,

二m+n—mn+3=5,

—m—n+mn=—2,

MN:y=(_m-n+2)x+mn+3,

當x=1時，y=—m—n+2+mn+3=—m—n4-mn+5=—2+5=3,

即MN經(jīng)過定點S(1,3),

vOHlMN,

?，.OH<OS=V10,

當OS1MN時，OH長度有最大值而，

???線段OH長度的最大值為au.

12.(24-25九年級上?重慶南川?期末)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=2*2+6乂+30W0)過點

(2)如圖，點P是直線AC上方拋物線上一動點.連接PA,PC.求APAC面積最大值及此時點P的坐標;

第26頁共72頁

(3)將原拋物線沿x軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線y',新拋物線y'與x軸的負半軸交于點M.點N為

平移后的新拋物線上一動點，當/NMB=NCAB.請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.

【答案】(l)y=-x2—2x+3

(2洋，「六)

⑶(2,3)或(4,一5)

【思路引導】(1)將點A的坐標和(2,—5)代入解析式，即可求解；

(2)過點P作PDlx軸，交x軸于D,交BC于E,待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=x+3,設Xp=m，

P(m,-m2-2m+3)?E(m,m+3),則有PE=yp-yE=-m2-3m,由S“AC=S^AE+S^CE及二次函

數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)由二次函數(shù)圖象平移得y'=-(x-+4,①當NN】MB=4CAB時，由平行線的判定方法得MNJIAC,

由待定系數(shù)法得直線MN】的解析式為y=x+l,聯(lián)立二者解析式，即可求解：②當NN2MB=/CAB時，直

線MN1與直線MN2關于X軸對稱，直線MN2經(jīng)過$關J?x軸對禰點(2,—3),同理可求.

【規(guī)范解答】(1)解：由題意得

,4a+2b+3=—5

t9a-3b+3=0'

解得:{::二;，

二拋物線的解析式為y=-x2—2x+3；

(2)解：如圖，過點P作PD_Lx廂，交x軸于D,交BC于E,

當x=0時，y=3,

設直線AC的解析式為y=kx+b,則有

(—3k+b=0

Ib=3'

解律{M，

???直線AC的解析式為y=x+3,

第27頁共72頁

■:A(一3,0),

:.OA=3,

設Xp=m,

???P(m,—m2—2m4-3),

E(m,m+3)?

.-.PE=yp-yE

=-m2—2m+3—(m4-3)

=-m2-3m,

S~PAC=SaPAE+SAPCE

11

=-PEAD+-PEOD

1

=-PE-(AD+OD)

1

=-PE-OA

乙

1

=-(—m29—3m)x3

乙

329

=一嚴—2m,

???點P是直線AC上方拋物線上一動點，

—3<m<0,

v-1<0,

?,*x=-親J=-蚪

2

S^=_|x(.|).|x(.f)

27

=T*

2

y=-(-1)-2x(-3+3

_15

4，

」(一令

故△PAC面積最大值為引，此時點P的坐標為(一?,?)；

(3)解：由題意得

第28頁共72頁

,:y=—x2—2x+3

=-(x+1)2+4,

:.y=—(x4-1—2y+4

=-(x-l)2+4,

①當NN[MB=4CAB時，如圖,

—1+bt=0,

解得：b]=1,

二直線MN】的解析式為y=x+l,

聯(lián)立｛「冷"4,

解得:g二,ft：3-

??N1(2,3)；

②當乙N2MB=々CAB時，如圖，

直線MN1與直線MN2關于x軸對稱,

直線M%經(jīng)過N]關于x軸對稱點(2,-3),

同理可求直線MN2的解析式為y=-X-1,

聯(lián)立｛y二(x：i，+4，

第29頁共72頁

解律4二L居二，

-?N2（4,-5）；

綜上所述：N的坐標為（2,3）或（4,一5）.

【考點剖析】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)與三角形面積最值綜合問題，二次函數(shù)與角度綜合問題，

學握待定系數(shù)法，能熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值及分類討論思想解題問題是解題的關鍵.

題型4：特殊三角形問題（二次函數(shù)綜合）

13.（23-24九年級上?陜西渭南?期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線。1：丫=2*2+3色工0）與乂軸

交于A（_3,0）、B兩點，將拋物線C］向右平移4個單位長度得到的拋物線與x軸交于C、D兩點（點C在點D

（1）求點B的坐標和拋物線C2的函數(shù)解析式；

（2）記拋物線C2的對稱軸1與x軸交于點H,在直線1上是否存在點E,使得以點B、D、E為頂點的三角形是等腰

三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）B（3,0）,拋物線C2的函數(shù)解析式為丫=-1（X-4）2+3

（2）存在，此時點E的坐標為（4,77）或（4,一行）或（4,71虧）或（4,一后）

【思路引導】本題考杳了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、等腰三角形的定義，熟練掌握待

定系數(shù)法和二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關鍵.

（1）將點A（_3,0）代入可求出拋物線Ci的解析式，從而可得點B的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即

可得拋物線C2的函數(shù)解析式；

（2）先求出點D的坐標，再設點E的坐標為E（4,m）,分別求出BE,BD,DE的長，從而可得BE工DE,則分兩種

情況：①BD=BE和②DE=BD,據(jù)此建立方程，解方程即可得.

【規(guī)范解答】（1）解：將點A（—3,0）代入拋物線g：y=ax2+3（a工0）得：9a+3=0,

解得a=