22.2二次函數(shù)與一元二次方程

一、單選題

1.二次函數(shù)y=，-2x-3的圖象交x軸于AB兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,則.ABC的面積為〔）

A.6B.4C.3D.1

2.拋物線），=-2（X-1『-3與），軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為（）

A.-3B.-4C.-5D.-1

3.已知函數(shù)y=法+c的圖象如圖所示，那么方程好?+法+c=0的解是（）

4.一次函數(shù)y=3F+2x+c與尸軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(O,2c-l),貝"=()

A.1B.2C.1D.-1

5.二次函數(shù)），=加+力x+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=l.下列結(jié)論：①時(shí)c<0；

②M+c>0；?（a+c）2-b2<0；④〃+力工/必〃〃+匕）（〃?為實(shí)數(shù)）.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

6.已知二次函數(shù)），=〃LF+X-1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則，〃的取值范圍是（）

A.m>-B.m>--7C.，心1且woD.且g0

44

7.二次函數(shù)y=V-6.r+9與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(〕

A.只有一個(gè)交點(diǎn)B.有兩個(gè)交點(diǎn)C.沒有交點(diǎn)D.有三個(gè)交點(diǎn)

8.對于一個(gè)函數(shù)，自變量工取。時(shí)，函數(shù)值「也等于m我們稱〃為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).如

果二次函數(shù)y=/+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)力、”2,且也V1VX2,則c的取值范圍是()

A.c<-3B.c<-2C.C<TD.c<l

二、填空題

9.如圖，拋物線)，=a/與直線丫=法+。的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-2,4),5(1,1),則關(guān)

于A的方程渥-6-C=O的解為.

10.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax?+(a2-l)x-a的圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0),若

2<m<3,貝ija的取值范圍是.

11.如圖,拋物線y=a?+云+《。工0)與直線外="+〃口工。)相交于P(-2,-2)、2(3,1)

兩點(diǎn)，能使y>為成立的x的取值范圍為.

12.若二次函數(shù)y=x2+3x-c(c為整數(shù))的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則c的最大值是.

13.拋物線丁=/+縱+。與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且線段AB的

長為1,AABC的面積為1,則b的值為

試卷第2頁，共4頁

14.拋物線y^a^+hx+c的圖象如圖所示，則當(dāng)正（）時(shí)，，x的取值范圍是

三、解答題

15.已知二次函數(shù)y=x?-6x+8.求：

（1）拋物線與x軸和y軸相交的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）畫出此拋物線圖象,利用圖象回答卜列問題:

①方程x2-6x+8=0的解是什么？

②x取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0?

③x取什么值時(shí)，函數(shù)值小于0?

16.已知拋物線＞，=-/+法+。與y軸的交點(diǎn)為（0,3）,拋物線的對稱軸為直線x=1.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）直接寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系.屹X中

畫出拋物線的簡圖；

（3）當(dāng)0＜工＜3時(shí)，，直接寫出）'的取值范圍.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=的圖象與x軸、＞軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分

別為(1,0)和(0,-3).

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

⑵結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)f+版+c>0時(shí)，求x的取值范圍.

18.二次函數(shù))，=〃2+法+3(。/0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題:

⑴直接寫出)，隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍;

⑵直接寫出關(guān)于X的不等式依2+bx+3>0(〃+0)的解集;

2

(3)若關(guān)于x的方程ax+bx=k(a*0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

19.小雷在畫一個(gè)二次函數(shù)的圖象時(shí)，列出了下面幾組工與〉，的對應(yīng)值.

X.??-2-1012???

y???-3-4-305???

(I)求該二次函數(shù)的解析式.

⑵該函數(shù)與x軸交于4,B兩點(diǎn)，求4,6兩點(diǎn)坐標(biāo).

⑶該二次函數(shù)的圖象與直線>=〃有兩個(gè)交點(diǎn)C,D,若C,。兩點(diǎn)間的距離不大于6,請直

接寫出〃的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.A

【分析】根據(jù)題意，令蒼y分別等于0,求得AB,c的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可

求解.

【詳解】解：如圖，

在—2x—3中，當(dāng))=0時(shí)，

解得：Ai=-l,x2=3

當(dāng)x=0時(shí)，產(chǎn)一3,

即A(TO)、8(3,0)、C(0,-3),

，AB=4,OC=3

故V4BC的面積為：!x4x3=6.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，求得A3,C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】令x=0,直接求出拋物線與)，軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo).

【詳解】解：當(dāng)x=。時(shí)，＞'=-2-3=-5,所以，拋物線與〉，軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為-5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，掌握y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，找出拋物線與％軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)拋物線)，=/+云+。與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得方程aY+bi+cuO

答案第1頁，共11頁

的解.

【詳解】解：???二次函數(shù))，=加+法+’的圖象與工軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_3與一1,

?'?ad+〃x+c=。的兩根為：X|=-3,x2=-1,

故選：A.

4.A

【分析】令4=0,求出相應(yīng)的了的值，得到拋物線y=3/+2x+c與>軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而

即可得到解得即可.

【詳解】解：7二次函數(shù)1y=3/+2K+C,

...當(dāng)x=o時(shí)，)'二j

?:二次函數(shù)y=3/+2x+c與1軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2c-1),

:.c=2c-\,

:.c=\

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考杳二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確

拋物線與)'軸交點(diǎn)，就是求出當(dāng)％=0時(shí))'的值.

5.B

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次

函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.由拋物線開口方向，對稱軸以及拋物線與)'軸的交點(diǎn)，即可判

斷①；由對稱軸改善得到匕=-2a代入a-b+cV)中得加+c<0,即可判斷②；由x=-l時(shí)

對應(yīng)的函數(shù)值丁<0,可得出〃一〃+cV(),得至lja+c，x=l時(shí)，>,>0,可得出“+〃+c>0,

得至lJ|a+clV勿,即可得到(a+c)2—〃2〈o,即可判斷③;由對稱軸為直線x=l,即x=l時(shí)，

)'有最大值，即可判斷④.

【詳解】解:①??拋物線開口向下,

拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，

b>0

拋物線與)，軸交于正半地，

..c>0,

答案第2頁，共11頁

:.abc<0,所以①正確;

②當(dāng)x=-l時(shí)，y<0,

:.a-b+c<0f

?.」=1，

2a

：.b=-2a,

把Z?=-2z?入。一。十c<0中彳導(dǎo)M+c〈O,所以②與昔誤；

③當(dāng)工=一1時(shí)，>,<0,

:.a-b+c<0?

a+c<b,

當(dāng)x=l時(shí)，y>0,

.\a+b+c>0,

：.a+c>-b,

.」a+c|V勿

22

：.(a+c)<bt即(a+c)2-從<0,所以③正確；

④拋物線的對稱軸為直線x=l,

:.X=l時(shí)，函數(shù)的最大值為。+〃+C,

.\a+b+c>ant2+mb+c，

即a+b>m(am+/?),所以④錯(cuò)誤.

故選：B

6.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)產(chǎn)加2儀?1的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△=P-4/HX(-1)>

0且u和.

【詳解】解：???原函數(shù)是二次函數(shù)，

/〃M.

;二次函數(shù)y=nv^+x-1的圖象與工軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則

△=b2-4ac>0,

△=12-4mx(-1)>0,

.、1

?〃1〉一二.

?4

答案第3頁，共11頁

綜上所述，，"的取值范圍是：且，/0,

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)，關(guān)鍵是熟記當(dāng)△=b2-4ac>0時(shí)圖象與x軸有兩個(gè)

交點(diǎn)；當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=b2>4acV0時(shí)圖象與x軸沒有交點(diǎn).

7.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，當(dāng)尸0時(shí)，判斷方程k-6九+9=0的根的情

況，可確定與4軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)x=0,可確定與％軸的交點(diǎn)即可解答.

【詳解】解：當(dāng)〉，=。時(shí)，方程為爐一6工+9=0，

*.*a=\,b=-6,c=9,

22

，A=b-4?c=(-6)-4x1x9=0,

???二次函數(shù)y=V-6x+9的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)戶0時(shí),可得產(chǎn)9,即(0,9)

???二次函數(shù)y=f—61+9的圖象與)，軸有一個(gè)交點(diǎn)(0,9)

，二次函數(shù)y=.d-6x+9與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，分與x軸和)，軸的交點(diǎn)兩種情況是解

答本題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】由題意知二次函數(shù)y=x?+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)xi、X2,由此可知方程x〃x+c

=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△=l-4c>0,再由題意可得函數(shù)y=x2+x+c=0在x=l時(shí)，函

數(shù)值小于0,即l+1+cvO,由此可得關(guān)于c的不等式組，解不等式組即可求得答案.

【詳解】由題意知二次函數(shù)y=x?+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)xi、X2,

所以XI、X2是方程X?+2x+C=X的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

整理，得：x2+x+c=0,

所以△=1<CX),

又x2+x+C=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根為Xl、X2，X1V1VX2,

所以函數(shù)y=x2+x+c=0在x=l時(shí)，函數(shù)值小于0,

即l+l+c<0,

答案第4頁，共11頁

1-4(?>0

綜上則

l+l+c<0

解得eV-2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，正確理解題中的定義，熟練掌握二次

函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.=-2,X2=1

【分析】本題主要考查了通過函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的

數(shù)學(xué)思想.

根據(jù)拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及解析式，得出方程的解即可.

【詳解】解：根據(jù)拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及解析式得，

方程av2-bx-c=O的解為X=-2,％=1，

故答案為：％=—2，W=1.

10.?或-3VaV-2.

【分析】先用a表示出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再分a>0與a<0兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】解:*.*y=ax2+(a2-1)x-a=(ax-l)(x+a),

，當(dāng)y=0時(shí),xi=：,X2=-a,

???拋物線與x軸的交點(diǎn)為J,0)和(-a,0).

a

???拋物線與X軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0)且2cmV3,

???當(dāng)a>0時(shí)，2<L<3,解得!VaV；；

?32

當(dāng)aVO時(shí),2<-a<3,解得<VaV?2.

故答案為：gvav；或-3VaV2

【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與X軸的交點(diǎn)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解.

II.-2<x<3

【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖象找出二次函數(shù)圖象在?次函數(shù)圖象上

方部分的x的取值范圍即可，利用數(shù)形結(jié)合求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???拋物線凹=辦,+〃”+。(々工0)與直線>，2=a斗〃?仕/0)相交于。(一2,—2)、

答案第5頁，共11頁

Q（3，l）兩點(diǎn)，能使y>外,

???根據(jù)圖象可知：—2<x<3,

故答案為：-2<x<3.

12.-3

【詳解】分析:判斷拋物線與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可根據(jù)〃2-4比的值進(jìn)行判斷，當(dāng)。2_4a>0時(shí),

拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)b2-4ac<0時(shí).拋物

線與x軸沒有交點(diǎn).

詳解:因?yàn)閽佄锞€>'=X2+3X-C（C為整數(shù)）的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，

所以〃2-4"=9+4。<0,

所以c<-g,

4

因?yàn)?。為整?shù)，

所以。的最大值是-3.

故答案為：-3.

點(diǎn)睛:本題主要考查二次函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次

函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系.

13.-3.

【詳解】試題分析：△ABC中AB邊上的高正好為C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，再利用三角形

的面積公式即可求出b的值.

試題解析：:△ABC中AB邊上的高正好為C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，

xx

ASAABC=yl|c|=l?

解得|c|=2.

設(shè)方程x2+bx+C=0的兩根分別為X|,X2,則有Xl+X2=-b,X|X2=C,

,:AB=|XI-X2|=+x2y-452=）2-4c=1,

b2-4c=I,

Vc=-2無意義，

/.b2=9,

???拋物線y=x2+bx+c與x軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),

，b的值是?3.

答案第6頁，共11頁

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn).

14.-1<A<3

【分析】首先根據(jù)對稱軸加與x軸的一個(gè)交點(diǎn)確定另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)其圖象確定

自變量的取值范圍即可.

【詳解】解：???拋物線）=仆2+加+C（。翔）的對稱軸為直線X=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

為（-1,0）,

???與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

???代0時(shí)，x的取值范圍為：-10爛3,

故答案是：-1W爛3.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸求得

另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

15.（1）（2.0）,（4,0）.（0,8）（2）（3,-1）（3）0x/=2,x，=4②xV2或x>4③2VxV4

【分析】（1）分別令x=0,尸0即可求得交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)坐標(biāo)形勢，即可得頂點(diǎn)坐標(biāo).

（3）①根據(jù)圖象與x軸交點(diǎn)可知方程的解；②③根據(jù)圖象即可得知x的范圍.

【詳解】（1）由題意，令y=0,得X2-6X+8=0,

解得xi=2,X2=4.

所以拋物線與x軸交點(diǎn)為（2,0）和（4,0）,

令x=0,y=8.

所以拋物線與y軸交點(diǎn)為（0,8）,

（2）拋物線解析式可化為：y=x2-6x+8=（x-3）2-1,

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,

（3）如圖所示.

8

7

6

5

4

3

2

1

①由圖象知,x2-6x+8=0的解為x?=2,X2=4.

答案第7頁，共11頁

②當(dāng)xV2或x>4時(shí)，函數(shù)值大于0；

③當(dāng)2VxV4時(shí)，函數(shù)值小于0；

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及函數(shù)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題型.

16.(1)y=-x2+2x+3

⑵它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)(3,0),圖象見解析

(3)當(dāng)()7<3時(shí)，O<j<4

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),

準(zhǔn)確畫出二次函數(shù)的圖象成為解答本題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，再運(yùn)用配方法將原解析式化為頂點(diǎn)式即可;

(2)根據(jù)(1)所得的頂點(diǎn)式，利用五點(diǎn)作圖法直接畫出圖象即可；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象確定當(dāng)0<x<3時(shí)對應(yīng)的)，的取值范圍即可.

——^-=1

【詳解】(1)解：由題意得2x(-1),

c=3

\b=2

解得T

???二次函數(shù)的解析式為y=*+2x+3；

(2)解：y=-x2+2r+3=-(x-l)2+4；

???它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；

令尸0,貝1)一丁+21+3=0,

解得x=T或x=3,

，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(TO)(3,0),

列表如下：

XL-10I23L

yL03430L

圖象如圖所示:

答案第8頁，共11頁

X

(3)解:當(dāng)x=l時(shí)，y的最大值為4,

由圖象可得，當(dāng)0<x<3時(shí)，o<y<4.

17.(l)y=x2+2x-3

(2)x<-3或x>1

【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，配方法將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，確定

函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，利用函數(shù)圖象求困數(shù)值，熟記二次困數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)將(1,0)和(0,-3)代入)，=犬+公+c中，利用待定系數(shù)法求解；

(2)分別求出圖象對稱軸及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可得到x的取值范圍.

【詳解】(1)解：將(1,0)和(0,-3)代入y=f+/>+c中，得4_,

■

伍=2

解得Q，

c=-3

???此二次函數(shù)的表達(dá)式為)，=X2+2X-3；

(2)解：Vy=x2+2x-3=(x+l)2-4,

???圖象的對稱軸為直線廠-1,

，圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(TO),

VI>0,

???拋物線開口向上，

，當(dāng)x2+/?x+c>0時(shí)，即當(dāng)了>0時(shí)，x<-3x>I.

18.(1)x21

(2)-l<x<3

(3)A:<1

答案第9頁，共11頁

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根的判別式.

(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解即可.

(2)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解即可.

(3)利用待定系數(shù)法求出〃的值，再根據(jù)根的判別式即可求出答案.

【詳解】(1)解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)的對稱軸為直線x=l,

???當(dāng)xNl時(shí)，y隨x的增大而減小.

(2)解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)與x軸交于點(diǎn)(T.0),(3,0),

故當(dāng)一lvxv3時(shí)，不等式ar2+bx+3>0(a/0).

(3)解：???由圖象可知拋物線過(TO),(3,0),

a-h+c=O

9a+38+c=0

a=-\

解得:,0