專題5.4二次函數(shù)與一元二次方程（舉一反三講義）

【蘇科版】

颼題型歸納

【題型1拋物線與x軸的交點】........................................................................3

【題型2利用二次函數(shù)的圖象確定方程根的情況】......................................................3

【題型3求x軸與拋物線的截線長】....................................................................4

【題型4利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】...............................................5

【題型5利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的取值范圍】..........................................6

【題型6利用不等式求自變量或函數(shù)值的取值范圍】...................................................7

【題型7根據(jù)兩函數(shù)交點確定不等式的解集】..........................................................8

【題型8拋物線與x軸交點上的四點問題】.............................................................8

舉一反三

知識點1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程是二次函數(shù)的函數(shù)值產(chǎn)0時的情況，反映在圖象上就是一元二次方程的根為對應二次函數(shù)的圖

象與x軸交點的橫坐標.

（1）若拋物線尸4『+樂+以〃#0）與工軸兩交點的橫坐標分別為M,初，貝3，必為一元二次方程。.丫2+隊+°=0（4#0）

的兩個根.

（2）二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)與對應一元二次方程根的情況的關(guān)系：

a>0（示意圖）a<0（示意圖）一無：次方程根的情況

y

有兩個不相等的實數(shù)根

2

b—4ac>0T—b±y/b2-4ac

二J22a

T右兩個相等的實數(shù)根

b2—4ac=0b

0憶=-五

y

oX

b2—4ac<0無實數(shù)根

oX!

知識點2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解

利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解的一般步驟

(1)畫出二次函數(shù)產(chǎn)級2+6+以啟0)的圖象；

(2)確定二次函數(shù)尸加+版+以#0)的圖象與x軸交點的橫坐標在哪兩個整數(shù)之間；

(3)列表，在(2)中的兩數(shù)之間取值估計，并用計算器估算近似解，則近似解在對應)，值正負交替的地方.

通過列表求近似根的具體過程：

在列表求近似根時，近似根就出現(xiàn)在對應的)，值正負交替的位置，也就是對x取一系列值，看)，對應的哪兩

個值，由負變成正或由正變成負，此時x的兩個對應值之中必有個近似根，比如上由占取到X2時，對應＞，的

值出現(xiàn)叫＞0,為＜°或為＞仇那么修，了中必有一個是近似根，比較瓦|與Ml的大小，若瓦|＞同，則

說明均是近似根；反之，則說明X］是近似根.從圖象上觀察，a,外離X軸越近，)，值越接近0,而產(chǎn)。時

%的值就是方程的確切根.

知識點3二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系

利用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的步驟:

(1)將一元二次不等式化為蘇+歷+c＞o(或＜°)的形式；

(2)明確二次項系數(shù)。的正負、對稱軸在)，軸哪側(cè)，并計算好-4農(nóng)?的值；

(3)作出不等式對應的二次函數(shù)廣爾+瓜+c的草圖；

(4)二次函數(shù)在、軸上方的圖象對應的函數(shù)值大于零，在工軸下方的圖象對應的函數(shù)值小于零.

以尸a/+bx+c(a＞0)為例，二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系如下表：

△=從一4acA>0△=0A<0

二次函數(shù)

)^=ax2+bx+c)>D

X\\^^/Xzx

qx

(心0)的圖像

一兀二次方程

b

a^+bx+c^沒有實數(shù)根

X],x2町，一2°

(a＞0)的根

不等式

或X>X2燈修的一切實數(shù)全體實數(shù)

(。＞0)的解集

不等式

加+加也<0x\<x<x2無解無解

（。>0）的解集

【題型1拋物線與x軸的交點】

【例1】（2425九年級下?全國?期中）已知二次函數(shù)尸&-4ax+4a+4（〃為常數(shù)且存0）.

（1）當函數(shù)圖象經(jīng)過（4,0）,求該二次函數(shù)的表達式.

（2）若心0,判斷該二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)并證明.

>

（3）若該函數(shù)圖象上有兩點力自"，，“々2,）》/其中》］<丫2，若”0，修+、2>4.求證：yly2-

【變式11】（2425九年級下?全國?期中）若拋物線12—6x+q與x軸只有一個公共點，則。的值為.

【變式12］（2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預測）已知二次函數(shù)尸f+2s+加2—2〃?-3（〃?為常數(shù)）的圖象與五軸有交

點，當x>2時，y隨工的增大而增大，則〃?的取值范圍是（）

33

A.ni>--B.--<m<2C.ni<2D.ni>-2

【變式13］（2425八年級下?安徽阜陽?期末）二次函數(shù)尸謂_（“+1*2〃-1（。為常數(shù)，00）.

（1）若該二次函數(shù)圖象關(guān)于直線x=I對稱，求〃的值；

⑵若該二次函數(shù)圖象上點例（1必），M2”）滿足無勺2,求。的范圍；

（3）若該二次函數(shù)圖象上兩個不同的點/⑺必），必）滿足勺+電=-2,求為+%的取值范圍

【題型2利用二次函數(shù)的圖象確定方程根的情況】

【例2】（2025?黑龍江齊齊哈爾?二模）如圖所示是二次函數(shù)尸加的部分圖象，該函數(shù)圖象的對

稱軸是直線尸1,圖象與y軸交點的縱坐標是2.則下列結(jié)論：①2。+6=0；②方程ax2+6x+c=0一定有一個根在

-2和-1之間；③方程加+阮+c-折0一定有兩個不相等的實數(shù)根；④點4自必），^自歸?在拋物線上，且

力<1q2，當勺+必>2時，%⑤函數(shù)P的最大值大于小其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

C.3個D.2個

【變式21】（2425八年級下?福建福州?期末）已知關(guān)于x的一元二次方程反+c=0的一個根是尸3,且二次

函數(shù)尸小+以+c的對稱軸是直線x=l,則此方程蘇+以+片0的另一個根為.

【變式22]如圖，拋物線)UQX2與直線j，=bx+c的兩個交點坐標分別為462,4),8。/),則關(guān)于x的方程加一隊-。=0

的解為.

【變式23](2025?山東青島?模擬預測)若二次函數(shù)尸(存0)與x軸交于(-1,())和(3,0),關(guān)于x的一元

二次方程。/+以+。=0(存0)的兩個根分另ij是和〃，貝吟+三=______-

【題型3求x軸與拋物線的截線長】

【例3】(2025?浙江?二模)在平面直角坐標系中，已知拋物線產(chǎn)ad—ZG+cSXV.

⑴當斫c時，

①求拋物線的頂點坐標.

②將拋物線向下平移W個單位若平移后的拋物線過點(0,-8),且與x軸兩交點之間的距離為6,求小的

值.

(2)已知點Ma,2〃+1),N61,3〃+2游拋物線上，且(0,求〃的取，直范圍.

【變式31】(2025?浙江寧波?模擬預測)設(shè)二次函數(shù)%=(xr0(LX2)G#M)的圖像與一次函數(shù)為=6/2的

圖像交于點(x),0),若函數(shù))=%打，2的圖像與x軸僅有一個交點，則|x1-x2|的值是()

A.6B.8C.D.7

【變式32】(2425九年級上?湖北咸寧?期末)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-g-l)x+〃-2=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若拋物線尸/一々-12計4-2與\軸交于點力，B,且力8=2,求4的值.

【變式33】(2025?安徽合肥?一模1已知P&jJ,。魚沙。是拋物線Lf+bx-g上的兩個不同點.

(1)若尸，。兩點都在直線尸-9上，求線段P0的長；

(2)若拋物線關(guān)于y軸對稱，直線尸0過坐標原點O,求親+2的值；

(3)若點P,0在拋物線對稱軸的左側(cè)，X,,必為整數(shù)，且q，2,證明：勺-必+修->2為正值.

【題型4利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】

【例4】（2025?廣西崇左?三模）如圖是二次函數(shù)尸花+人+c的圖象，圖象上有兩點分別為42.68,0.54）,

)

D.2.45

【變式41】（2425九年級上?福建廈門?期中）如表中列出了二次函數(shù)尸加+尾《和）的一些對應值，則一元

二次方程〃/+以+°=0（g0）的解x的范圍是.（兩相鄰整數(shù)之間）

X???-3-2-101???

y???121-2-7???

【變式42］（2425九年級上?河南周口?期中）小明用GG8探索方程加+外+。=0仄。為常數(shù)）的根,

作出如圖所示的圖象，并求得一個近似根尸-3.4,則方程的另一個近似根（精確到（）.1）為（）

C.1.4D.1.6

【變式43］在實際問題中往往需要求得方程的近似解，這個時候，我們通常利用函數(shù)的圖象來完成.如，求

方程-2=0的實數(shù)根的近似解，觀察函數(shù)），=/-2x?2的圖象，發(fā)現(xiàn)，當自變量為2時，函數(shù)值小

于0（點（2,-2）在x軸卜方），當自變量為3時，函數(shù)值大于。（點（3,1）在x軸上方）.因為拋物

線尸2》-2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線.y=f-2x-2在24V3這一段經(jīng)過x軸，也就是說,

當工取2、3之間的某個值時，函數(shù)值為0,即方程f-2x-2=（）在2、3之間有根.進一步，我們?nèi)?和3

的平均數(shù)2.5,計算可知，對應的數(shù)值為-0.75,與自變量為3的函數(shù)值異號，所以這個根在2.5與3之間

任意一個數(shù)作為近似解，該近似解與真實值的差都不會大于3-2.5=0.5.重瑪以上操作，隨著操作次數(shù)增

加，根的近似值越來越接近真實值.用以上方法求得方程2c-2=0的小于0的解，并且使得所求的近

似解與真實值的差不超過0.3,該近似解為

【題型5利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的取值范圍】

【例5】（2425九年級上?重慶?期末）二次函數(shù)產(chǎn)加+以+。出O的圖象如圖所示，則不等式加一隊+”3的解

【變式51】（2425九年級上?河南開封?期末）二次函數(shù)尸fr-2的圖象如圖所示，則函數(shù)值產(chǎn)＞0時，自變量x

【變式52］（2425九年級上?遼寧盤錦?階段練習）二次函數(shù)尸的圖象如圖，根據(jù)圖象解答下列

⑴直接寫出方程加+以+。=0的兩人根：

（2）直接寫出y隨x的增大而減小時自變量x的取值范圍；

（3）直接寫出關(guān)于x的不等式公2+沃+°<0的解集.

【變式53】（2025?廣東清遠?一模）拋物線）-儲+隊+°。9及口圖所示，拋物線與x軸交于點（-1,0）,頂點坐

標為（1，加），下列結(jié)論：①ac<0；②8。+4/）=0；③對于任意實數(shù)〃，都有a，，+加+c沙］；④當-1<%<3時，y>0.其

中正確的個數(shù)是（）

【題型6利用不等式求自變量或函數(shù)值的取值范圍】

【例6】（2025?安徽安慶?模擬預測）拋物線），尸2+〃優(yōu)+〃的頂點縱坐標與拋物線當二-%2-心的頂點縱坐標之和

為4.

⑴求〃的值；

⑵己知力6。為拋物線為=f+妹+〃上一點，4口勿為拋物線），2=-f-MX上一點.

（Z）若僅存在一個正數(shù)S,使得5+片0，求p+夕的最大值；

（?;若p=s+2,且當1?<2時，總有什g<4,求"?的取值范圍.

【變式61］（2025?福建寧德?二模：已知二次函數(shù)產(chǎn)〃X2_6G+C,當I〈X<2時，函數(shù)值>>0；當x>5時，尸0.若

點（/,"］），（什2,〃）都在函數(shù)j=aF_6aY+c上，且，心〃>5。，貝股的取值范圍是.

【變式62］（2025?黑龍江大慶?二模）已知二次函數(shù)嚴如2Hx用以經(jīng)過點尸〃％2》當戶-1時，x的取值范

圍為xv/T或>-3-九則如下四個值中有可能為相的是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式63】（2025?安徽合肥?二模）在平面直角坐標系屹>，中，直線尸2x與拋物線嚴加+bi交于點力自典力

8&2必/曰/［<X2，點尸是該拋物線上位于4，8兩點之間的動點?

（1）當町=-1,切=2時，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，當口以8面積最大時，求點尸的坐標：

⑶設(shè)拋物線頂點的橫坐標為h,當xi=m,必=〃且〃刁忖，求證：h>7.

【題型7根據(jù)兩函數(shù)交點確定不等式的解集】

【例7】（2425九年級上?北京密云?期末）已知拋物線y=/+bx+c經(jīng)過兩點力已-3）,8（4,5）.

（1）求b,c值;

⑵當1Sra時，函數(shù)尸x+〃的函數(shù)值總大于函數(shù)尸f+加+c的函數(shù)值，且函數(shù)尸-7葉〃的函數(shù)值總小于函數(shù)

尸f+bx+c的函數(shù)值，直接寫出滿足題意的〃的取值范圍.

【變式71］（2425九年級下?廣東廣州?期中）一次函數(shù)”=必+〃（叱0）與一次困數(shù)P2=aF+bx+c（aW0）的圖象如

圖所示，則不等式雙2+0F%+C>,?的解集為（）

%

加

A.x<3B.x>-4C.-4<x<3D.x>3或-4

【變式72】（2025?浙江?模擬預測）已知二次函數(shù)）［=加_仆_］（好0）必=/-云+3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若一2q〈0v〃，則B.若-2<a<b<0,則為勺？

C.若0<a<2<b,則%勺2D.若0<a<b<2,則月勺？

【變式73】（2425九年級下?黑龍江大慶?期中）定義：若函數(shù)G和函數(shù)g的圖象關(guān)于直線戶切對稱，則稱函

數(shù)G和。2關(guān)于直線尸加互為“和陛函數(shù)”，函數(shù)G和。2的圖象交點叫做“和睦點力

例如：函數(shù)產(chǎn)f-3關(guān)于直線尸1的“和陛函數(shù)''為尸（尸2）2-3,“和睦點”為（1,-2）.下列說法不正確的序號

為.

①函數(shù)尸d—2%關(guān)于直線——1的“和睦函數(shù)”為尸（x+3戶1=f+6x+8，“和睡點”坐標為（-1,3）；

②函數(shù)尸r-4x+l關(guān)于直線尸,〃的“和睡點”的縱坐標為〃，當1勺〃“時，則〃的取值范圍是-2與脛1；

③函數(shù)產(chǎn)