第4講直線、平面平行的判定及性質(zhì)

［基礎(chǔ)知識整合］-------------------------

卜⑥知識梳理

1.直線與平面平行

(1)判定定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此

判定平面內(nèi)的一條直線平---------a[02|：Ua>

定理行，則該直線與此平IIbJ

面平行

n。IIa.

(2)性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面畫a//a、

性質(zhì)平行，則過這條直線國aU￡

定理的任一平面與此平面國二尻

的交線與該直線平行

?allb

2.平面與平面平行

(1)判定定理

X文字語言圖形語言符號語言

一個平面內(nèi)的兩條畫相

畫一U」

交直線與另一個平面平

判定/^7詢--1二P>

行，則這兩個平面平行（簡

定理問〃//￡

記為“線面平行=面面平口

行”）

0aH。

I.垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若。la,a邛,則

2.垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若ala,bla,則a//b.

3.平行于同一個平面的兩個平面平行，即若人filly,則a//y.

4.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.

5.夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.

6.經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

7.兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

8-如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那

么這兩個平面平行.

@雙基自測

I.已知直線/和平面若IIIa,P￡a,則過點尸且平行于/的直線（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.只有一條，且在平面。內(nèi)

c.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

D.有無數(shù)條，不一定在平面。內(nèi)

答案B

解析過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條,因為點P在平面?內(nèi),

所以這條直線也應(yīng)該在平面?內(nèi).

2.（2019?全國卷II）設(shè)“，夕為兩個平面，則夕的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與平行

B.。內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.。，夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

答案B

解析若a//夕，則a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行，反之不成立；若。，夕平行

于同一條直線，則。與夕可以平行也可以相交；若夕垂直于同一平面，則a

與夕可以平行也可以相交，故A,C,D均不是充要條件.根據(jù)平面與平面平行

的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面

平行，反之也成立.因此B中的條件是a//4的充要條件.故選B.

3.如圖，在下列四個正方體中A,8為正方體的兩個頂點，M,N,。為所

在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

W

B

由

C1）

答案A

解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中。為8C的中點，則QD//A8.■「

Qon平面MV。=。，.二。。與平面MV。相交，.??直線A8與平面MNQ相交.B

項，作如圖②所示的輔助線，則ABIICD,CDIIMQ,「.ABIIMQ.又A網(wǎng)平面MNQ,

MQU平面MNQ,

.?.A8//平面MNQC項，作如圖③所示的輔助線，則A3//CD,CDIIMQ,

.\ABIIMQ.XMNQfMQU平面M/VQ,「.45//平面MNQ.D項，作如圖

④所示的輔助線，則AB//CD,CDIINQ,.?.AB//NQ.又4BQ平面MN。，NQU平

面MNQ,.,乂刈/平面仞7。.故選人.

4.如圖所示，尸為矩形A8CO所在平面外一點，矩形對角線的交點為0,M

為P8的中點，給出下列五個結(jié)論：

①POII平面AMC:②0MII平面PCD;③0MII平面PDA;@0MII平面PBA;

⑤0M//平面PBC.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析因為矩形ABCD的對角線AC與BD交于點。，所以。為8。的中點.在

△P8。中，因為M為PB的中點，所以。M為aPB。的中位線，0MIIPD,所以

P。//平面AMC,OM力平面PCD,且0M//平面PDA.因為M6P3,所以0M

與平面P8A,平面P3C相交.

5.如圖，平面a//平面從△雨8所在的平面與a,夕分別交于CO,AB,若

PC=2,CA=3,CD=i,貝IJA8二

答案1

PCCD

解析.??平面a//平面￡,??.CD//A8,.,.啟二而，

…5X15

??AB=pc=>=2°

6.已知下列命題：

①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)；

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則〃/火

③若直線/與平面。相交，貝IJ/與平面。內(nèi)的任意直線都是異面直線；

④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面

相交；

⑤若直線/與平面。平行，貝I"與平面。內(nèi)的直線平行或異面；

⑥若平面a//平面夕，直線。U明直線bu/3,則a//b.

上述命題正確的是_______（填序號）.

答案①⑤

解析①若直線與平面有兩個公共點，由公理2可得直線在平面內(nèi)，故①正

確；②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則或/與a相交，故②錯誤；

③若直線I與平面?相交，則/與平面a內(nèi)的任意直線可能是異面直線或相交直

線，故③錯誤；④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線可

能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯誤；⑤若直線/與平面a平行，則Z

與平面。內(nèi)的直線無公共點，即平行或異面，故⑤正確；⑥若平面〃//平面四

直線。U。，直線bu￡,則或凡人異面，故⑥錯誤.

--------------------------\核心考向突破］-------------------------

考向一有關(guān)平行關(guān)系的判斷

例1⑴如圖，在正方體A8CQ-4BC1Q］中，M,N,尸分別是GOi,BC,

46的中點，則下列命題正確的是（）

A.MNIIAP

B.MNIIBD\

C.MNII平面BBTDID

D.MN"平面BDP

答案c

解析取MG的中點為。，連接MQ,NQ,由三角形中位線定理，得MQII

囪。I,/.MQ//平面由四邊形33iQN為平行四邊形，得NQUBBi,

NQII平面BBiDiD,.,?平面MNQII平面又MNU平面MNQ,「.MNII

平面BBiDiO,故選C.

（2）已知兩條不同的直線出b,兩個不同的平面a,B，有如下命題：

①若aIIa,bUa,則a"b；

②若a///?,〃Ua,則a//?；

③若。//夕，〃Ua,bu.,則a//b.

以上命題正確的個數(shù)為（）

A.3B.2

C.1D.0

答案c

解析若aIIa,bua,則〃與b平行或異面，故①錯誤；若。//A，

則々與夕沒有公共點，即?！ㄏ?，故②正確；若儀//夕，aUa、口,則々與人無

公共點，得出〃平行或異面，故③錯誤.???正確的個數(shù)為1.故選C.

觸類旁通,解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的注意點

⑴判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件

“線在面外”易忽視.

（2）結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.

（3）舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.

t即時訓練

1.如圖所示，正方體ABCD-AiBiGDi中，點區(qū)F,G,P,Q分別為棱

AB,GDi,DiAi,DiD,CC的中點.則下列敘述中正確的是（）

A.直線BQ//平面EFG

B,直線48//平面

C.平面APC//平面由G

D.平面43Q//平面石尸G

答案B

解析過點邑F,G的截面如圖所示（其中H,/分別為A4,的中點）.?「

MBIIHE,4BQ平面EFG,HEU平面EFG,.」ABII平面EFG,故選B.

2.已知他，〃是兩條不同的直線，?,夕，》是三個不同的平面，下列命題中

正確的是（）

A.若〃？//a,〃//〃，則mIInB.若mila,mH6,則a"￡

C.若ct_Ly,則a/ISD.若〃zJLa,n_Lat貝lj〃?//〃

答案D

解析A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交;

C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故

選D.

多角度探究突破

考向二直線與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1用線線平行證明線面平行

例2(1)如圖，在直四棱柱ABC。-481aA中，E為線段AO上的任意一

點(不包括A,。兩點)，平面CEG與平面3囪。交于尸G.

證明：R7//平面A4囪以

證明在直四棱柱A8c。-4囪。力|中，

因為BBiIICG,平面BBi。，CCQ平面BBD,

所以CCiII平面B&D.

又因為CGU平面CEG,

平面CEG與平面8以。交于/G,所以CGMFG.

因為BBHCCi,所以BBMIFG.

而BBU平面A4181B,R7a平面A431B,

所以/G//平面4bB店.

(2)如圖，在三棱臺QE/7—ABC中，AB=2DE,G,”分別為AC,BC的中

點?

I).

求證：BD"平面FGH.

證明證法一：連接〃G,CD.

?CDHGF=M,連接M".

在三棱臺OE/-4BC中，由/W=2OE,G為AC的中點，

可得DFIIGC,DF=GC,所以四邊形。FCG為平行四邊形,

則M為CD的中點，

又因為“為8C的中點，所以HMIIBD.

因為”MU平面bG”，8ZR平面尸GH,所以BD1/平面FGH.

證法二：在三棱臺。EF-A8C中，由BC=2E￡”為3c的中點，可得34

IIEF,BH=EF,

所以四邊形尸為平行四邊形，BEIIHF.

在△A8C中，因為G為AC的中點，〃為8c的中點,

所以GHIIAB.

又因為GHCHF=H,所以平面bG”//平面48ED

因為3OU平面ABED,所以BDH平面FGH.

角度2用線面平行證明線線平行

例3如圖所示，四邊形ABCQ是平行四邊形，點P是平面ABC。外一點,

M是尸。的中點，在。M上取一點G,過G和AP作平面交平面于GH.

求證：APIIGH.

證明如圖所示，連接AC交3。于點O,連接MO,

???四邊形ABC。是平行四邊形,

??.。是AC的中點，又M是PC的中點，.'AP//?！?

又MOU平面BMD,

出Q平面BMD,

「.%//平面3MD

,/平面PAHGn平面BMD=GH,

且以U平面％”G,：.PAIIGH.

觸類旁通,1.判斷或證明線面平行的常用方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點).

⑵利用線面平行的判定定理(?！ǎ琤ua,。//60。//幻.

⑶利用面面平行的性質(zhì)("http://從aUdg

(4)利用面面平行的性質(zhì)(。//從a(la,梆,a<la^allfi).

2.證明線線平行的三種方法

(1)利用公理4(。//)，bIIc=^aIIc).

⑵利用線面平行的性質(zhì)定理(。//%an°=UIb).

⑶利用面面平行的性質(zhì)定理(a//"，aC\y=af=IIb).

即時訓練

3.如圖，在四棱錐尸-A8c。中，底面A8CD是菱形，必1平面ABC。，PA

=3,尸是棱以上的一個動點，E為的中點，。為AC的中點.

⑴求證：0E//平面附B;

(2)若AE=1,求證：CE//平面BDF.

證明(1)因為四邊形ABC。為菱形，。為AC的中點,

所以。為6。的中點，

又因為E為的中點，所以O(shè)EHPB.

因為OEU平面附8,P3U平面附3,

所以0E//平面PAB.

(2)過E作EG///7)交AP于點G,連接CG,FO.

因為EGIIFD,￡GQ平面3。凡FOU平面3DE

所以EGII平面BDF.

因為E為P。的中點，EGIIFD,所以G為尸產(chǎn)的中點,

因為A/=1,%=3,所以廣為AG的中點，

又因為O為AC的中點，所以O(shè)FIICG.

因為CGQ平面BDF,。/U平面BDF,

所以CG//平面BDF.

因為EGDCG二G,EGU平面CGE,CGU平面CGE,

所以平面CGEII平面BDF,

又因為CEU平面CGE,所以CE//平面8DF.

考向三面面平行的判定與性質(zhì)

例4如圖，在三棱柱A3C-A由iG中，E,F,G,”分別是A8,AC,A1B1,

4。的中點，求證:

(1)3,C,H,G四點共面；

(2)平面EFA\II平面BCHG.

證明(1)因為G”是的中位線，所以GHIIBC.

又因為BGIIBC,

所以GHHBC,所以8,C,H,G四點共面.

(2)因為巳尸分別為A5,AC的中點，所以EFIIBC.

因為E網(wǎng)平面BCHG,BCU平面BC〃G,

所以EQ/平面BCHG.

因為4G與所平行且相等，

所以四邊形AESG是平行四邊形，所以A///GS.

因為AiEQ平面BCHG,G3U平面3cHG.

所以4E//平面BCHG.

因為4EAE歹二E,所以平面瑁%//平面8CHG.

觸類旁通,證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則

這兩個平面平行.

⑶垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

⑸利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

?即時訓練4.（2020.山東滕州市第一中學新校模擬）如圖，四棱錐P-A3CO

中，％J_平面ABC。，AB1AC,ABIICD,AB=2CD,E,尸分別為PB,48的

中點.

（1）求證：平面處。//平面E/C;

⑵若弘=A8=AC=2,求點B到平面PC尸的距離.

解（1）證明：因為已尸分別為尸B,A8的中點，

所以EF"協(xié),因為￡囪平面以。，以U平面以Q,

所以E"http://平面必D.因為A3//CD,AB=2CD,

所以AP//C3,AF=CD,

所以四邊形ADCb為平行四邊形，所以CF"D.

因為C網(wǎng)平面以D,AOU平面心。，所以。///平面以D

因為EFGC/二凡EF,C"U平面ER7,

所以平面圖D//平面EFC.

（2）因為A3J_4C,AB=AC=2t/為A3的中點，

所以5短仃二5?廣AC二;X1X2=1,

因為限1平面A5CO,

112

所以VP_BCF=^S^CF-PA=^X1x2=3,

因為PF=CF=小,PC=2y/2,

所以Sg=PF2-（空＞

=1X2V2X^5^2=V6.

設(shè)點B到平面PC尸的距離為

I2

因為VB_PC產(chǎn)=Vp_8CF,所以=

所以B到平面PCF的距離h當

---------------------------［課時作業(yè)］-------------------------

一、單項選擇題

1.已知心夕表示兩個不同的平面，直線，〃是a內(nèi)一條直線，則“。//夕”

是“團//夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由aIImUa,可得〃?//夕；反過來，由mII°,mUa,不能推出a

II△綜上，%”是“mIIP”的充分不必要條件.

2.已知直線處人和平面見下列說法中正確的是（）

A.若。a,Z?u。，則a//b

B.若bUa,則aj_b

C.若。，力與。所成的角相等，則a〃b

D.若aIIa,blla,則a〃b

答案B

解析若aIIa,bUa,則人或。與b異面，故A錯誤；利用線面垂直的

性質(zhì)，可知若b"則故B正確；若出匕與a所成的角相等，則

。與人相交、平行或異面，故C錯誤；由a//a,blla,得明b之間的位置關(guān)系

可以是相交、平行或異面，故D錯誤.

3.在長方體48。。-4歷@。|中，E,歹分別是棱A4和的中點，過EF

的平面EFGH分別交BC和AD于點G,H,則GH與AB的位置關(guān)系是（）

A.平行B.用交

C.異面D.平行或異面

答案A

解析由長方體的性質(zhì)，知EF〃平面ABCD,

..EEU平面EFGH,平面EFGHC平面ABCD=GH,「.EFIIGH.又EFIIAB,

：.GHIIAB.故選A.

4.（2020?山東滕州市第一中學新校模擬）如圖所示，在四棱錐P-ABCQ中，M,

N分別為AC,尸。上的點，且MN//平面力。，貝」（）

A.MNIIPD

B.MNIIPA

C.MNHAD

D.以上均有可能

答案B

解析MN”平面PADf平面以CA平面PAD=PA,MNU平面PAC,：.

MNIIPA.故選B.

5.如圖，在多面體A8C—OE/G中，平面A8C//平面QE/G,EFIIDG,且

AB=DE,DG=2EF,則（）

u

A.8尸//平面ACGQ

B.CFII平面ABED

C.BCIIFG

D.平面ABEDII平面CGF

答案A

解析如圖所示，取。。的中點加，連接AM,FM,則由已知條件易證得四

邊形。EFM是平行四邊形，.?.￡)￡//且DE=FM.

..?平面48C//平面。E/G,平面A8CD平面A￡>E8=4B,平面OE/GG平面

ADEB=DE,：.ABIIDE,：.ABIIFM,又A3=OE,

...48二/歷，「.四邊形48R加是平彳亍四邊形，「.3b//4加，又8網(wǎng)平面4。60,

4MU平面ACGD,平面ACGD,故選A.

6.如圖，尸為平行四邊形ABCQ所在平面外一點，E為A。的中點，F(xiàn)為PC

上一點，當以//平面E8尸時，,二()

21

--

A.3B.4

C.TD.1

答案D

解析如圖，連接AC交BE于點G,連接/G,因為例//平面EBF,MC

PFAQ

平面％C,平面%"平面所以附"G,所以斤二友.又因為A。

AGAF1pF1

HBC,E為AZ）的中點，所以友二斐二2，所以正二］.

7.在三棱錐S-ABC中，△/16c是邊長為6的正三角形，SA=S〃=SC=15,

平面。石廠”分別與AB：BC,SC,SA交于點。，E,F,H.D,E分別是AN,BC

的中點，如果直線SB/；平面DEF”,那么四邊形。所”的面積為（）

A45B45^3

A.2D-2

C.45D.45小

答案A

解析如圖，取AC的中點G,連接SG,BG易知SGLAC,BG1AC,故

AC_L平面SGB,所以AC_LS6.因為SBII平面DEFH,SBU平面SAB,平面SABQ

平面。EfH="D,則SBIIHD.同理SBIIFE.又因為D,E分別為AB,BC的中點，

則從b也分別為AS,SC的中點，從而得〃尸觸觸。邑所以四邊形。

為平行四邊形.因為AC1.SB,SBIIHD,DEIIAC,所以。七1”。，所以四邊形

DEFH為矩形,其面積S=H""Q=（%C）（；S3）=竽.

8.如圖，在棱長為2的正方體中，4囪的中點是P,過點

4作與截面尸BG平行的截面，則該截面的面積為（）

A.2/

B.273

C.2%

D.4

答案c

解析如圖所示，易知截面是菱形.分別取棱DC,A3的中點E,F,連接

AiE,AiF,CF,CE,則菱形4ECB為符合題意的截面.連接ERAC,易知EF

=2啦，AC=2小，EFLAiC,所以截面的面積5二3七*4。=2#.

故選C.

二、多項選擇題

9.（2020?山東五蓮高三月考）如圖，正方體A6cO-A山的棱長為1,線

段86上有兩個動點E,F,且七尸二;，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.線段囪。|上存在點已F使彳導AEUBF

B.EFIIABCD

c.AAE/的面積與△BE/的面積相等

D.三棱錐A-8EF的體積為定值

答案BD

解析如圖所示，A8與3D為異面直線，故AE與B廠也為異面直線，A錯

誤；BTDMIBD,故"http://平面ABCQ,故B正確；由圖可知，點A和點8到M

的距離是不相等的，C錯誤；連接9力交AC于O,則AO為三棱錐A-的高，

SABEF=|X1X1=；,三棱錐A-3ER的體積為卜卜乎二東為定值,D正確.故

選BD.

10.（2020?保定一中模擬）在正方體ABCD-ABiC出中,M,N,。分別是棱

2

DiCi,AIDI,8c的中點，點P在上且3P=y21.則以下四個說法中正確的

是（）

A.MNII平面APCB.G。//平面APC

C.A,P,"三點共線D.平面MNQ//平面APC

答案BC

解析如圖，對于A,連接WMAC,貝IJMNI/AC,連接AM,CN,易得AM,

CN交于點P,即MNU平面APC,所以MN//平面APC是錯誤的；對于B,由A

項知"，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN//GQ,ANU平面APC,所以。邊//平

面APC是正確的；對于C,由A項知A,P,M三點共線是正確的；對于D,由

A項知MNU平面APC,又MNU平面MNQ,所以平面MNQ//平面APC是錯誤

的.

三、填空題

11.有以下三種說法，其中正確的是______.

①若直線。與平面a相交，則。內(nèi)不存在與。平行的直線；

②若直線人//平面直線。與直線人垂直，則直線。不可能與。平行；

③若直線。，〃滿足。//〃，則。平行于經(jīng)過力的任何平面.

答案①

解析若直線。與平面。相交，則a內(nèi)不存在與。平行的直線，是真命題，

故①正確；若直線b//平面a,直線。與直線〃垂直，則直線?？赡芘ca平行，

故②錯誤；若直線db滿足則直線4平行或包含于經(jīng)過〃的任何平面，

故③錯誤.

12.（2020?山東煙臺二中模擬）下列各圖中A,B為正方體的兩個頂點，M,N,

P分別為其所在棱的中點，能得出ABII平面MNP的圖形序號是_______（寫出所

有符合要求的圖形序號）.

答案①③

解析對于①，如圖1,作MCIINP,連接NC,PC,得平面MCPN,因為

ABIINC,NCU平面MCPN,A8Q平面MCPN,所以ABII平面MCPN,即ABII

平面MNP,故①正確；對于②，如圖2,連接AC,ADtCD,由已知可得平面

MNP//平面ACD因為A3和平面ACQ相交，所以A3不平行于平面MNP,故②

錯誤；對于③，如圖3,連接AC,BC,DE,由已知可得MN//DE,因為DEH

AC,由平行的傳遞性可得/WN//AC,又因為NPIIBC,MNCNP=N,ACQBC=

C,所以平面ABC//平面MNP,又因為A8U平面ABC,所以AB//平面MNP,

故③正確；對于④，如圖4,因為DBIIMN、MNU平面MNP,若A3//平面MNP,

又ABCDB=B,則平面4C8。//平面MNP,由圖可知平面AC8D不可能平行于

平面MNP,所以A6不平行于平面MNP,故④錯誤.綜上，①③符合題意.

13.如圖所示，正方體的棱長為a,A7,N分別是下底面的

棱43,BiG的中點，P是上底面的棱4。上的一點，AP=j,過尸，M,N的平

面交上底面于PQ,。在。上，則P。=1

公-2A/2

答案31

解析如圖所示，連接AC,易知MNII平面ABCD1.MNIIPQ.

又MNIIAC,：.PQIIAC.

a

-

?

鋁2

-

---3

.,.PQ==三義、Ra=

四、解答題

14.如圖，四邊形A8C。與AOE廠均為平行四邊形，M,N,G分別是A伉

AD,EF的中點.

求證：(1)BE//平面DMF;

(2)平面BDEII平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過。尸與GN的交點。，連接M。，因為

四邊形AOE尸為平行四邊形，所以。為AE的中點，又M為4。的中點，所以

MO為七的中位線，所以4E//MO,

又因為BE。平面DMF,MOU平面DMF,

所以BE/I平面DMF.

⑵因為N,G分別為平行四邊形AQE戶的對邊A。，的中點，所以DEII

GN,

又因