專題L10含30。角的直角三角形的性質(zhì)（舉一反三講義）

【蘇科版2024]

題型歸納

【題型1利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求長度】..................................................1

【題型2利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求角度】..................................................2

【題型3利用含30。的直角三角形的性質(zhì)證明】....................................................3

【題型4利用含30。的直角三角形的性質(zhì)解決動點問題】...........................................4

【題型5利用含30。的直角三角形的性質(zhì)解決最值問題】...........................................5

【題型6利用含30。的直角三角形的性質(zhì)解決翻折問題】...........................................6

【題型7含30。的直角三角形的實際應(yīng)用】........................................................8

舉一反三

知識點含3（）。角的直角三角形的慢質(zhì)

1.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

2.拓展：（1）該性質(zhì)是含30。角的特殊直角三角形的性質(zhì)，?般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性

質(zhì)，更不能應(yīng)用.

（2）這個性質(zhì)主要應(yīng)用于計算或證明線段的倍分關(guān)系.

（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切.

（4）在有些題目中，若給出的角是15。時，往往運用一個處魚等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和將15。的角轉(zhuǎn)

化后，再利用這個性質(zhì)解決問題.

【題型1利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求長度】

【例1】（2425八年級下?河南鄭州?期中）如圖，等邊三角形RBC的邊長為9,D為AC邊上一動點,E為AB延

長線上一動點，OE交CR于點P,點P為OE中點.若。E14C,則CO長為（）

二

C

力B匕

A.2B.3C.4D.5

【變式II】（2425八年級下?廣東揭陽?期中）如圖，△/18C中，Z-C=90°,8。是乙/18C的角平分線，點。在718

的垂直平分線上，若40=6,則CD=

【變式12］（2223八年級上?廣西玉林?期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,=30。，AD工AB交BC于點

D,力。=2,則BC的長是（）

A.12B.10C.8D.6

【變式13］（2324八年級上.北京海淀?期中）已知等邊△48C中4DJLBC,AD=12,若點”在線段力。上運

動，：力”+?！比∽钚≈禃r，。”的值為.

【題型2利用含300的直角三角形的性質(zhì)求角度】

［M2］（2425八年級上?安徽合肥?期末）在Rt△力BC中，zC=90°,=30°,。是直線AB上的一點，且

滿足則ZC08的度數(shù)為

【變式21］如圖，在矩形A8CD中，*=將矩形A8G）繞著點W逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形49CD,若

AHN

點B'落在邊C。上，則404。'=.

【變式22］（2223八年級下?浙江寧波?開學(xué)考試）如圖，在△43C中，中線CM與高線CD三等分乙4CB,則

的度數(shù)為_________

【變式23］（2425八年級上?黑龍江?期中）已知等腰三角形ABC口，4。1BC于點D,且則等腰

4

三角形/8C的底角的度數(shù)為.

【題型3利用含30。的直角三角形的性質(zhì)證明】

【例3】（2425八年級下?江西上饒?期中）如圖，將△ABC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△DBE,OE的延長線與相

相交于點尸，連接力。、BF,且8F=A/.

⑴求證:AD||BC；

（2）求證：AD=2AE.

【變式31］（2425八年級下?廣東河源?期中）如圖,在△A8C中,CA=CB/A=30°,。是AC的中點,DE1AC

交AB于點E.求證：BE=2AE.

【變式32］（2425八年級下?廣東梅州?階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點D、E在邊BC、4c上，且BQ=CE,

連接/0、BE交F點尸.

（2）過點人作4G1BE,求線段4「與GF的數(shù)量關(guān)系.

【變式33］（2425八年級上?河南周「I?階段練習(xí)）如圖，在△力8c中，。是4C邊的中點，點七在8c的延長線

上，E0的延長線交48于點F,且EF148,若乙A與44CE互補，LE=30°.

⑴求證：是等邊三角形.

（2）請判斷線段40與CE的大小關(guān)系，并說明理由.

【題型4利用含30“的直角三角形的性質(zhì)解決動點問題】

【例4】（2425八年級上?山西大同?期末）如圖，在△ABC中，AB=6cm,8c=5cm,LB=60°,動點M、

N分別從點B、C同時出發(fā)，其中點M以2cm/s的速度沿84向點力勻速運動，點N以lcm/s的速度沿C8向點8勻

速運動，當(dāng)M、N其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts,當(dāng)A8MN為直角三角形

時，t的值為（）

A.IB.1或3C.1或2D.2或：

【變式41】（2223八年級上?湖北荊門?期末）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，尸是AC邊上一動點，

由A向C運動（與A、C不重合），。是CB延長線上一動點，與點尸同時以相同的速度由B向CB延長線方

向運動（Q不與B重合），連接PQ交48于。.當(dāng)NBQO=30。時，4P的長為.

【變式42］（2023九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖乙MAN=60°,若△A8c的頂點8在射線匕且力8=2,

動點C從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線4N運動，當(dāng)運動時間士的取值范圍是秒時，A48C是銳角

三角形.

【變式43］（2425八年級下?江西九江?期中）如圖，△A8C是邊長為6cm的等邊三角形，點巴Q分別從頂

點48同時出發(fā)，點P沿射線48運動，點:Q沿折線8。一。4運動：且它們的速度都為lcm/s.當(dāng)點Q到達(dá)點4

時，點P隨之停止運動.連接PQ，設(shè)點P的運動時間為t（s）.當(dāng)PQ與△A8C的一條邊垂直時，￡=s.

【題型5利用含30。的直角三角形的性質(zhì)解決最值問題】

【例5】（2425九年級上.安徽合肥.階段練習(xí)）如圖，在Rta/BC中，AACB=90°,AB=30%AB=16,

點。是4c邊上一個動點，連接4）,將△力8。繞著點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△?1",連接6,則在點。運

動過程中，線段C尸長度的最小值為（）

A.8B.4C.2D.1

【變式51］（2425八年級上?福建廈門?期末）如圖，RtZkABC中,LACB=90°,Z-B=30°,IC=2,￡＞為4c上

一動點，EF垂直平分4。分別交4C于七、交48于R則BF的最大值為（）

F

E

B.?

【變式52］（2425九年級上?廣東廣州?期中）如圖，邊長為4的等邊二角形A8C中，M是高CH所在直線上的

一個動點，連接M8.將線段8M繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接HM則在點M運動過程中，線段HN長

度的最小值是（）

【變式53］（2223八年級上?湖北荊門?單元測試）如圖，OE是等邊△408的中線，。8=8,C是直線0E上

一動點，以SC為邊作等邊三角形ACD,連接ED,下列說法正確的是（）

A.E。的最小值是2E。有最大值

C.EO的最小值是4D.EO沒有最小值也沒有最大值

【題型6利用含30。的直角三角形的性質(zhì)解決翻折問題】

【例6】（2324八年級上?四川廣元?期末）如圖,在△43C中,43=5,BC=9,48=60。，點D在邊8c上,

CD=4,連接4）.將△力沿直線AO翻折后，點C的對應(yīng)點為點E,作垂足為F,則/。=.

A

E

【變式61］如圖，RtAABC^p,=當(dāng)448C沿折痕82,翻折時，點C恰好落在.48的中點。上.若8E=6,

則4C的長是（）

2

A.6B.8C.9D.10

【變式62】（2223八年級上?湖北十堰?期中）如圖，將一塊長方形紙片4BCD沿BD翻折后，點C與E重合,

BE交AD于點H,若乙CBD=30°,EH=2,則BC的長度為.

【變式63］（2023?河南周口?三模）如圖，在A/BC中，Z,ABC=60°,=9,點。為邊上一動點，點E

在AC邊上，DEWBC,將A/WE沿DE翻折，點A的對應(yīng)點為凡連接B凡當(dāng)△8D打為直角三角形時，4。的

長為.

AA

/\

B

【題型7含30的直角三角形的實際應(yīng)用】

【例7】（2324八年級上.重慶城口.期末）小亮想測量屋前池塘的寬度，他結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，設(shè)計了如

圖I的測量方案：先在池塘外的空地上任取一點。，連接力。，CO,并分別延長至點以點。，使。3=。8,

OD=OC,連接BD.

（1）如圖1,求證：AC=BD；

⑵如圖2,但在實際測量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長CO至點。，使OC=OD,

過點。作AC的平行線0E,延長A。至點F,連接EF,測得NOEF=120。，LOFE=90%DE=5m,EF=9m,

請求出池塘寬度

【變式71】（2425八年級下?黑龍江