第14講函數(shù)的應(yīng)用(一)

*內(nèi)容預(yù)覽

知識清單

知識點(diǎn)：常見的幾類函數(shù)模型...............................................................................1

題型歸納

題型01利用二次函數(shù)模型解決實際問題......................................................................2

題型02分段函數(shù)模型的應(yīng)用................................................................................6

題型03分式型函數(shù)模型的應(yīng)用..............................................................................9

題型04幕函數(shù)模型的應(yīng)用................................................................................12

強(qiáng)化訓(xùn)練..................................................................................................15

房知識清單

知識點(diǎn)：常見的幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型J（x）=ax+b（a,〃為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型凡￥)=紈2+隊+4〃，b,。為常數(shù)，〃聲0)

了心)，入七。1,

及(x),

分段函數(shù)模型段）=<

'辦(x),x￡D”

準(zhǔn)函數(shù)模型J（x）=a^+h（a,b,a為常數(shù),〃去。）

1.一次函數(shù)模型的特點(diǎn)和求解方法

(1)一次函數(shù)模型的突出特點(diǎn)是其圖象是一條直線.

(2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解.

2.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)

(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，

從而解決實際問題中的利泗最大、用料最省等最值問題.

(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符.

3.應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點(diǎn)

(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

(3)分段函數(shù)的值域或最值求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.

符題型講解

題型一：利用二次函數(shù)模型解決實際問題

【例1-1](25-26高一上?吉林白城?階段練習(xí))某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件.試銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)

銷售單價是25元時，每天的銷售展為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售數(shù)量就減少10件.

(1)寫出商場俏售這種文具，每天所得的銷售利潤卬(元)與俏售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大.

【例1-2](25-26高一上?安徽宿州?階段練習(xí))某市一污水處理廠的月處理成本八萬元)與月處理量八萬噸)之間的函數(shù)

關(guān)系可近似的表示為)，=熹/—依+50(60<X418())；當(dāng)月處理量為80萬噸時，月處理成本為42萬元，且該廠處理1萬

噸污水所收費(fèi)用為1萬元.

(1)求實數(shù)k的值；

(2)該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低？

(3)請寫出該廠每月獲利z(萬元)與月處理量x(萬噸)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每月獲利的最大值.

【例1-3](25-26高?上?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，某市市政部門要在矩形區(qū)域4BCO上規(guī)劃出一塊矩形地塊PQA7

建造兒童游樂中心.為了保護(hù)綠化，游樂場不能超越四個全等直角三角形的綠化區(qū)域邊界，其中E尸為△A"的邊界.

由實地測量知，A8=200m,AO=160m,AE=60m,A尸=40m.點(diǎn)/＞在線段E/上，設(shè)尸。的長度為巾1,矩形地塊「

的面積為Sn?.

(1)若P為線段EF的中點(diǎn)，求x及S的值：

(2)試用x的式子表示S,并求x的取值范圍;

(3)求矩形地塊尸QR7,面積S的最大值.

【變式1-1](25-26高一上?江蘇南京?階段練習(xí))當(dāng)前，機(jī)器人產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，正極大改變著人類生產(chǎn)和生活方式，為

經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展注入強(qiáng)勁動能.2022年，工業(yè)和信息化部等十七部門印發(fā)了《“機(jī)器人+”應(yīng)用行動實施方案》，《方案》

指出，到2025年，制造業(yè)機(jī)器人密度較2020年應(yīng)實現(xiàn)翻番，服務(wù)機(jī)器人、特種機(jī)器人行業(yè)應(yīng)用深度和廣度應(yīng)顯著提

升，機(jī)器人促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會高質(zhì)量發(fā)展的能力應(yīng)明顯增強(qiáng).某動力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計劃投入6300萬元購買一批

智能工業(yè)機(jī)器人，使用該批智能機(jī)器人后的前X(XGN')年，設(shè)備維護(hù)成本共(700/—300x)萬元，每年電池銷售收入為

6700萬元，設(shè)使用該批智能機(jī)器人后，前工年的總盈利額為y萬元.

（1）寫出）:關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并指出X的取值范圍；

（2）使用若干年后，對該批智能機(jī)器人的處理方案有兩種.

方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，將該批智能機(jī)器人以200（）萬價格處理；

方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，將該批智能機(jī)器人以4800萬元的價格處理.問哪種方案更合理？并說明理由.

【變式1?2】（25-26高一上?云南曲靖?階段練習(xí)）實行垃圾分類，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源.杲企業(yè)新建了一

座垃圾回收利用工廠，于2019年年初月98萬元購進(jìn)一臺垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用.該設(shè)備使用

后,每年的總收入為50萬元.若該設(shè)備使用x年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用x年來的總和為（2/+10.『）萬元（2019年為

第一年），設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為），萬元.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求該設(shè)備在第幾年的盈利總額為30萬元.

(2)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種:

①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；(年平均盈利額:盈利總額:使用年數(shù))

②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備.

試問用啾種方案處理較為合理？請說明你的理由.

【變式1-3](25-26高一上?四川廣安?階段練習(xí))某學(xué)校因為學(xué)生活動區(qū)域緊張，為了更好地為學(xué)生提供活動場地，決

定在?塊長AA/=3OO米，寬AN=2(X)米的矩形地塊AA仍V上施工，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形A8CD的學(xué)生活動中心，

要求頂點(diǎn)C在地塊的對角線MN上，B、。分別在邊AM、4N上，假設(shè)A8長度為工米.

(1)記矩形面積為)'，試用x表示)'；

(2)要使矩形活動區(qū)域A8CO的面積不小于14400平方米，48的長度應(yīng)在什么范圍？

(3)長度力4和寬度A。分別為多少米時矩形活動區(qū)域/14C。的面積最大？最大值是多少平方米?

題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用

【例2-1](25-26高一上?全國?單元測試)某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工

作1小時獲取30元.從該快餐店中任意抽取一名小時工，設(shè)其月工作時間為X小時，獲取的稅前月工資為丫元，則X與

y之間的關(guān)系式為()

A.r=30X-1000B.r=3X+1000

c.r=3ox+ioooD.y=3X-1000

【例2-2](25-26高一上?黑龍江大慶?階段練習(xí))依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)，個人取得的所得應(yīng)依照《中華人民

共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅(簡稱個稅).2019年1月1日起我國正式執(zhí)行新個稅法，個稅的部分稅

率級距進(jìn)一步優(yōu)化調(diào)整，擴(kuò)大3%、10%、20%三檔低稅率的級距，減稅向中低收入人群傾斜.部分稅率與速算扣除數(shù)見

下表：

級數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率(%)速算扣除數(shù)

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144(XX),3(XMXX)]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

例如阿寶的全年應(yīng)納稅所得額為100000元，則全年應(yīng)繳個稅為36(XX)x3%+64(X)()xl0%=7480元.還有一種速算個稅

的辦法：全年應(yīng)納稅所得額x對應(yīng)檔的稅率-對應(yīng)檔的速算扣除數(shù)，即阿寶全年應(yīng)繳個稅為l(XXXX)x10%-2520=7480

元.按照這一算法，當(dāng)大姜的全年應(yīng)納稅所得額為150000元時，全年應(yīng)繳個稅為.

【例2-3](25-26高一上?吉林長春,階段練習(xí))大學(xué)生小王響應(yīng)國家號召決定自主創(chuàng)業(yè)，計劃經(jīng)銷A8兩種商品，據(jù)市

場調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)投資額為/(摩。)萬元時，經(jīng)銷商品所獲得的收益分別為/(/)萬元與鼠。萬元，其中=/+

10/+1

,0</<5

r+1

,小王計劃投入10萬元全部用于經(jīng)俏這兩種商品.

--+6r-9,5<r<10

2

(1)假設(shè)小王只經(jīng)銷其中一種商品，求他能獲得的收益;

(2)如果小王經(jīng)銷這兩種商品，請幫他制訂一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出最大收益.

【變式2-1］（24-25高一上?吉林?階段練習(xí)）某種農(nóng)作物單株的產(chǎn)量Z（單位：kg）與肥料成本x（單位：元）滿足如

-(X2+40),0<X<3

下關(guān)系:單株產(chǎn)量=<，單株成熟除肥料成本x（單位：元）夕卜，還需其他成本3x（單位：元）.

144

18----,3<A<10

5x

已知這種農(nóng)作物的市場售價為5元/kg,且供不應(yīng)求，記該農(nóng)作物單株獲得的利潤為了（力（單位：元）.

⑴求的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)投入的單株肥料成本為多少元時，該農(nóng)作物單株獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【變式2-21（24-25高?上?山東聊城?期末）已知某車?yán)遄邮召徥袌鲈谶^去的30天內(nèi)對車?yán)遄拥娜帐召徚縋（x）（單位：

百斤）與第x天之間的函數(shù)關(guān)系為①P（.r）=Mr-8）2+〃；②P（x）=〃業(yè)-2《+〃；③。（切=〃+“2這三種函數(shù)模型中

的一個，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

X（天）6102228

P（x）（百斤）46505852

⑴請確定P（x）的解析式，并說明理由；

Q

⑵若第X天平均每斤車?yán)遄拥氖召弮r格為Q（x）（單位：元），且。（上）=20+2（14X430,且xeN），記過去30

天內(nèi)第X天該市場收購車?yán)遄拥馁Y金總額為了"）（單位：百元），求/（X）的最小值.

【變式2-3］（24-25高一上?江蘇?期末）某企業(yè)擁有一臺大功率的耗電設(shè)備，每天至少運(yùn)行1小時，但不超過20小時.假

設(shè)該設(shè)備每天運(yùn)行x小時，且每小時的平均耗電量C（x）千瓦與每天的運(yùn)行時間滿足如下函數(shù)關(guān)系：

吧_出+10,』/（）,

x+----26,10<x<20.

（1）當(dāng)l￡r《10時，若該設(shè)備每小時的平均耗電量不超過2千瓦，求工的取值范圍;

（2）求該設(shè)備一天的耗電總量的最小值及設(shè)備當(dāng)天的運(yùn)行時間.

題型三：分式型函數(shù)模型的應(yīng)用

【例3-1］（25-26高一上?河南?階段練習(xí)）宇樹科技企業(yè)最新研發(fā)了一款機(jī)器人，并投入生產(chǎn)應(yīng)用.經(jīng)調(diào)研，該企業(yè)生

產(chǎn)此設(shè)備獲得的月利潤〃（x）（單位：萬元）與投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)x（15GW36,單位：萬元）有關(guān)：〃但=-卡/+6工-40：

對于企業(yè)而言，研發(fā)利潤率y=2x100%,是優(yōu)化企業(yè)管理的重要依據(jù)之一，戶越大，研發(fā)利潤率越高，反之越小.

x

⑴求該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率）’的最人值以及相應(yīng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)人的值：

（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率不低于190%,求月研發(fā)經(jīng)費(fèi)x的取值范圍.

【例3-2］（25-26高一上?廣東中山?階段練習(xí)）如圖所示，學(xué)校要圍建一個面積為400m2的矩形場地，要求矩形場地的

一面利用舊墻（利用1日墻時需要維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為3m的進(jìn)出口，已

知舊墻的維修費(fèi)用為56元/m,新墻的造價為200元/m,設(shè)利用舊墻的長度為文（單位：m）,修建此矩形場地的總

費(fèi)用為）'（單位：元）.

舊墻

（1）求>關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式:

⑵當(dāng)工=20時,，求總費(fèi)用力

（3）試確定工的值，使修建此矩形場地的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.

【變式3-1】（25-26高一上?吉林?階段練習(xí)）為貫徹綠水青山就是金山銀山的發(fā)展理念，現(xiàn)規(guī)劃一塊沙漠中如圖所示的

矩形區(qū)域用于綠洲灌溉.要求綠洲部分為面積為2008/的矩形.考慮到灌溉設(shè)備的布局，綠洲部分的內(nèi)長邊處需額外留

出寬8m的設(shè)備通道，兩短邊處需額外留出寬10m的設(shè)備通道.設(shè)綠洲部分的寬與長之比為〃（?<1）.

設(shè)

0m

備

通綠洲部分

道

設(shè)備通道8m|

⑴求使得規(guī)劃區(qū)域面積最小的綠洲部分的〃值;

（2）若?共需要鋪設(shè)200m長的設(shè)備通道，求此時綠洲部分的長.（不考慮設(shè)備通道寬度）.

【變式3-2】（25-26高一上?黑龍江?階段練習(xí)）如圖，某農(nóng)場緊急圍建一個面積為lOOnf的矩形場地，要求矩形場地的

?面利用現(xiàn)有舊墻（利用舊墻需要先進(jìn)行維修），其余三面修建新墻，與舊墻平行的那面新墻上，需預(yù)留2m寬的入口

（入口不需建墻）.已知舊墻的維修費(fèi)用為28元/m,新墻的造價為1CQ元/m,舊墻的使用長度為笛n（x>2）,修建此

矩形場地的總費(fèi)用為V（單位；元）.

⑴寫出下關(guān)于x的表達(dá)式;

（2）當(dāng)x為何值時，修建此圍墻所需費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用.

【變式3-3］（25-26高?上?貴州貴陽?階段練習(xí)）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是

由兩個相同的矩形"CD和所G"構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域.計劃在正方形尸。上建一座花壇，造價為

4200元/m。在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/nf；再在四個空角（圖中四個三角

形）上鋪草坪，造價為80元/nf.設(shè)總迨價為S（單位:元），4。長為x,且OvxvlO上（單位：m）.

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式:

（2）AO長為5m時，求該休閑場所的總造價；

（3）當(dāng)A。長為多少米時，該休閑場所的總造價最小？最小值是多少？

題型四：募函數(shù)模型的應(yīng)用

【例4-1］（25-26高一上?全國?單元測試）遺忘曲線（又稱“艾賓浩斯遺忘曲線”）是由德國心理學(xué)家艾賓浩斯（H.Ebbinghaus）

研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律.陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率），與初

次記憶經(jīng)過的時間x（單位：時）的大致關(guān)系：＞'=1-0.6/°6,若陳同學(xué)需要在明天15：00考語文時擁有復(fù)習(xí)背誦記憶

/|\0.06zq\0.06

的42%,則他明天復(fù)習(xí)背誦的時間需大約在（)參考數(shù)據(jù)：I-)?0.95937.025,2006?1.0425.

A.14：3（）B.14：00C.13：3（）D.13：00

【例4-2】（多選）（24-25高一上?河北?階段練習(xí)）在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流

量八單位：cm3s）與管道的半徑，?（單位：cm）的四次方成正比，當(dāng)氣體在半徑為5cm的管道中時,流量為1250cm3/s,

則（）

A.當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為162cm'/s

B.當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為152cm3/s

C.要使得氣體流量不小于512cm〃s,管道的半徑的最小值為4cm

D.要使得氣體流,鼠不小于512cm"s，管道的半徑的最小值為3Vlm

【例4-3］（23-24高7：?福建廈門?階段練習(xí)）使太陽光射到硅材料上產(chǎn)生電流直接發(fā)電，以硅材料的應(yīng)用開發(fā)形成的

光電轉(zhuǎn)換產(chǎn)業(yè)鏈條稱之為“光伏產(chǎn)業(yè)”.某農(nóng)產(chǎn)品加工合作社每年消耗電費(fèi)24萬元.為了節(jié)約成本，決定修建一個可使用

16年的光伏電站，并入該合作社的電網(wǎng).修建光伏電站的費(fèi)用（單位：萬元）與光伏電站的太陽能面板的面積4（單位：

mD成正比，比例系數(shù)為0.12.為了保證正常用電，修建后采用光伏電能和常規(guī)電能互補(bǔ)的供電模式用電，設(shè)在此模式

下.當(dāng)光伏電站的太陽能面板的面積為x（單位：nf）時，該合作社每年消耗的電費(fèi)為士；（單位：萬元，k為常數(shù)）.

記該合作社修建光伏電站的費(fèi)用與16年所消耗的電費(fèi)之和為b（單位：萬元）.

（1）求常數(shù)攵的值，并用x表示尸；

（2）該合作社應(yīng)修建多大面積的太陽能面板，可使產(chǎn)最??？并求出最小值.

（3）要使/不超過140萬元，求x的取值范圍.

【變式4-1]（24-25高一上?湖北荊州?期中）為響應(yīng)國家退耕還林的號召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了20%,

如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為〃?，則2029年的耕地面積為（）

A.（l-0.2250）/nB.1-0.8記m

\/

C.0.8叫〃D.08益

【變式4-2】某公司一年需要一種計算機(jī)元件8000個，每個電子元件單價為。元，每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī)，

該元件每年分〃次進(jìn)貨，每次購買元件的數(shù)量均為《每次單價不變，購一次貨需手續(xù)費(fèi)500元.已購進(jìn)而未使用的元

件要付庫存費(fèi)，可以認(rèn)為平均庫存量為gx件，每個元件的庫存費(fèi)是一年2元.

（1）將公司每年總費(fèi)用尸表示成4的函數(shù)；

（2）請你幫公司核算一下，每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最小.

【變式4-3】某企業(yè)為努力實現(xiàn)“碳中和”忖標(biāo)，計劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放

量占上一年的碳排放量的比例均為,并預(yù)計8年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.

（I）求1的值；

（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的日，按照計劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的《？

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（23-24高一上?江西?階段練習(xí)）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中

的“燈樹干光照，花焰七枝開煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時爆裂，用其燦爛的一秒換來

人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度力（單位:米）與時間，（單位:秒）之間的關(guān)系式為力=-3.6/2+28.8/,

則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（）

A.第4秒B.第5秒C.第3.5秒D.第3秒

2.如圖，在V/WC中，于AD=9,DB=3,CD=6t矩形EFG〃的頂點(diǎn)上與A點(diǎn)重合，EF=8,EH=4,將

矩形瓦6〃沿A8平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時，停止平移，設(shè)點(diǎn)￡平移的距離為-矩形EPG”與VA8C重合部分的

面積為y，則），關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

A(E)。

04

杖

二、多選題

3.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有?座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2b〃.如圖所示表示

甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y（k〃）與時間x（小加）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）

A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60〃”〃

B.甲從家到公園的時間是30〃血

C.當(dāng)0芻W30時，），與x的關(guān)系式為.y='x

D.當(dāng)30當(dāng)W60時，y與x的關(guān)系式為1y=擊工-2

4.（23-24高一卜.?河南?期中）某種商品單價為50元時,每月可銷售比種商品300件，若將單價降低x（%￡N）元,則

月銷售量增加l（h?件，要使此種商品的月銷售額不低于15950元，貝ijx的取值可能為（）

A.9B.7C.13D.11

5.邊際函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個基本概念，在國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)/（x）的

邊際函數(shù)M/W定義為W"）=/（x+l）-/（工）.某公司每月最多生產(chǎn)75臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺卜wN）的收入函

數(shù)我（力=3000%-20?。▎挝唬涸涑杀竞瘮?shù)C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差，設(shè)利潤

函數(shù)為P（x）,則以下說法正確的是（）

A.尸（工）取得最大值時每月產(chǎn)量為63臺

B.邊際利潤函數(shù)的表達(dá)式為MP3=2480-40X（XWN.）

C.利潤函數(shù)p(x)與邊際利潤函數(shù)例外”不具有相同的最大值

D.邊際利潤函數(shù)MQ(x)說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前?臺利潤差額在減少

三、填空題

6.(25-26高一上?重慶潼南?開學(xué)考試)端午節(jié)前，小魯購進(jìn)了一批粽子進(jìn)行銷售，第一天銷售了256個，第二、三天

的銷售量持續(xù)走高，第三天的銷售量達(dá)到400個，則第二、三天銷售量的平均增長率為%.

7.眾所周知，大包裝商品的成本要比小包裝商品的成本低.某種品牌的餅干，其100克裝的售價為1.6元，其400克裝

的售價為4.8元，假定該商品的售價由三部分組成:生產(chǎn)成本、包裝成本、利潤.生產(chǎn)成本與餅干質(zhì)量成正比且系數(shù)為〃?，

包裝成本與餅干質(zhì)量的算術(shù)平方根成正比且系數(shù)為〃，利潤率為20%,則該種餅干900克裝的合理售價為元.

四、解答題

8.如圖所示，將一個矩形花壇A8CO技建成一個更大的矩形花壇4MpM要求M在射線AB上，N在射線AD上，且

對角線MN過C點(diǎn)?已知47_4米，AO=3米，設(shè)AN的長為了(4>3)米?

(1)要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)求當(dāng)4M,4V的長度分別是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值;

9.（23-24高一上.四川涼山.期末）某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入生產(chǎn)成

本C（x）（萬元）.若年產(chǎn)量x低于100千件，則生產(chǎn)成本C（x）=V-90x+12（X）；若年產(chǎn)量工不低于100千件時，則生

產(chǎn)成本。（工）=今+平-1390.每千件產(chǎn)品售價為10萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（“年利潤年總收入”-"生產(chǎn)

成本”-“固定成本”）

（1）寫出年利潤），（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式：

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得年利潤最大？最大利潤是多少？

10.“垃圾分一分，環(huán)境美十分某校為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號召，從百貨商場購進(jìn)了43兩種品牌的垃圾桶作

為可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴50元，用4000元購買4品牌垃圾桶的數(shù)量

是用3000元購買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍.

（1）求購買一個人品牌、一個8品牌的垃圾桶各需多少元？

（2）若該中學(xué)決定再次準(zhǔn)備用不超過6003元購進(jìn)A,8兩種品牌垃圾桶共50個，恰逢百貨商場對兩種品牌垃圾桶的售

價進(jìn)行調(diào)整：A品牌按第一次購買時售價的九折出售，8品牌比第一次購買時售價提高了20%,那么該學(xué)校此次最多可

購買多少個B品牌垃圾桶？

11.（24-25高一上?山東濟(jì)南?期末）已知某企業(yè)生產(chǎn)某種設(shè)備的最大產(chǎn)能為70臺，每臺設(shè)備的售價為8（）萬元.記該

X2+20X+400,0<J<40,

企業(yè)生產(chǎn)x（xeN）臺設(shè)備需要投入的總成本為S（x）（單位：萬元），且5（力=14400假設(shè)生

1300,<x470.

、x

產(chǎn)的設(shè)備全部都能售完.

（1）求利澗/（X）（單位：萬元）關(guān)于生產(chǎn)臺數(shù)%的函數(shù)解析式，并求該企業(yè)生產(chǎn)20臺設(shè)備時的利潤（利潤=銷售額-成

本）；

（2）當(dāng)生產(chǎn)多少臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元？

12.（24-25高一上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一顆梨樹的產(chǎn)量）'（單位：百千克）與肥料費(fèi)用ML⑼

2

（單位：百元）滿足如下關(guān)系：投入的肥料費(fèi)用不超過6百元時，），=4——-；投入的肥料費(fèi)用超過6百元且不超過

x+1

10百元時，）'=-1/+工+」.此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）3x百元.已知這種梨的市場售價為

1836

18百元/百千克，且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵梨樹獲得的利潤為“X）（單位：百元）.

⑴求利澗“X）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時，該梨樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

13.（24-25高一上?遼寧遼陽?期中）遼陽大果榛子外形美觀、果大皮薄，深受消費(fèi)者歡迎.某遼陽大果榛子網(wǎng)店為回饋

新老顧客，提供兩種購買大果榛子的優(yōu)惠方案：第一種方案，每斤的售價為24元，顧客買x（x>0）斤，每斤的售價

降低工元；第二種方案，顧客買工（x>0）斤，每斤的售價為（14+弓）元.已知每位顧客限購9斤大果榛子.設(shè)一名顧

客按照第?種方案購買大果榛子的付款額為/（力元，按照第二種方案購買大果榛子的付款額為g"）元.

⑴分別求函數(shù)“X）,g（x）的解析式;

（2）已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟(jì)實惠的方案購買大果榛子，甲、乙的付款總額為135元，且甲購買了5

斤大果榛子，試問乙購買了多少斤大果榛子？

14.（24-25高一上?安徽合肥?期中）中國芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現(xiàn)強(qiáng)勁實力和競爭力.中國自主創(chuàng)新，多

項技術(shù)取得突破，全球布局加速，現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入98萬元購進(jìn)一套生產(chǎn)設(shè)備.預(yù)計使用該

設(shè)備后，第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該設(shè)備使用

后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用i（xeN*）年后該設(shè)備的盈利額為y萬元.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利（盈利額為正值）；

（2）使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：

①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；

②當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備.

請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由.（注：年平均盈利額為。，◎二』）

x

15.（23-24高一上.江蘇無錫.階段練習(xí)）某公司投資5萬元，成功研制出一種市場需求量大的高科技替代產(chǎn)品，并投

入資金15萬元進(jìn)行批量生產(chǎn).已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為4元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為10元時，年銷

售量為2萬件；銷售單價每增加1元，年銷售量將減少萬件.設(shè)銷售單價為x元.第一年獲利），萬元.（年獲利二

年銷售額-生產(chǎn)成本-投資）

⑴試寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進(jìn)行銷出，第二年獲利不低于11.3萬元.請問第二年的銷售單價

應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？

16.（24-25高一上?廣東惠州?階段練習(xí)）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入160萬元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計使用該

設(shè)備后，前MxwN）年的支出成本為（I0/-2X）萬元，每年的銷售收入98萬元.使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有

兩種：

方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價格處理；

方案二：當(dāng)年平均盈利額（注：年平均盈利額=總￡\額。達(dá)到最大值時,該設(shè)備以30萬元的價格處理.

（1）設(shè)前x年的總盈利額為）’（不含設(shè)備處理收益），寫出方案--中y與x的函數(shù)關(guān)系式

（2）哪種方案較為合理？并說明理由.

第14講函數(shù)的應(yīng)用（一）

*內(nèi)容預(yù)覽

知識清單

知識點(diǎn)：常見的幾類函數(shù)模型...............................................................................1

題型歸納

題型01利用二次函數(shù)模型解決實際問題......................................................................2

題型02分段函數(shù)模型的應(yīng)用................................................................................9

題型03分式型函數(shù)模型的應(yīng)用.............................................................................15

題型04哥函數(shù)模型的應(yīng)用................................................................................20

強(qiáng)化訓(xùn)練..................................................................................................24

爭知識清單

知識點(diǎn)：常見的幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=a.x-\~b(a,〃為常數(shù)，aWO)

二次函數(shù)模型fix)=ar++c{a,b,c為常數(shù)，oWO)

7i(x),

k)=<及(x),

分段函數(shù)模型

4(x),X^Dn

寐函數(shù)模型貝幻b,a為常數(shù)，啟0）

1.一次函數(shù)模型的特點(diǎn)和求解方法

(1)一次函數(shù)模型的突出特點(diǎn)是其圖象是一條直線.

(2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解.

2.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)

(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，

從而解決實際問題中的利泗最大、用料最省等最值問題.

(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符.

3.應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點(diǎn)

(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

(3)分段函數(shù)的值域或最值求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.

符題型講解

題型一：利用二次函數(shù)模型解決實際問題

【例1-1](25-26高一上?吉林白城?階段練習(xí))某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件.試銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)

銷售單價是25元時，每天的銷售展為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售數(shù)量就減少10件.

(1)寫出商場俏售這種文具，每天所得的銷售利潤卬(元)與俏售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大.

【詳解】(1)由題意得，銷售量=250—10(x—25)=-IOx+5OO,

則vv=(x-20)(-1Ox+500)=-1Ox2+700x-1(XXX).

(2)卬=-10/+7()(比-10()0()=-10(..35)2+225().

???-10<0,???函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，卬有最大值，

又???對稱軸為直線x=35,???當(dāng)x=35時，叱皿=2250,

故當(dāng)單價為35元時，該文具每天的利澗最大.

【例1-2]（25-26高一上?安徽宿州?階段練習(xí)）某市一污水處理廠的月處理成本V（萬元）與月處理量.》（萬噸）之間的函數(shù)

關(guān)系可近似的表示為-履+5Q（60"W180）；當(dāng)月處理量為80萬噸時,月處理成本為42萬元，且該廠處理1萬

噸污水所收費(fèi)用為1萬元.

⑴求實數(shù)攵的值；

（2）該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低？

（3）請寫出該廠每月獲利z（萬元）與月處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每月獲利的最大值.

【詳解】（1）x=80時，），=42代入得，

—x802-80）l+50=42,

200

解得A=

（2）由（I）知y=—/X+50（60VxW180）,

每萬噸的處理成本為：

當(dāng)且僅當(dāng)工工=竺=：,即x=100時取等號，

200x2

所以該廠每月污水處理量為100萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低;

（3）該廠處理1萬噸污水所收費(fèi)用為1萬元，則收入為x萬元，

獲利z=x-y=———X2+—x-50=———（x-150）-+工^,

'2002201?）2

125

當(dāng)x=l50時，=—,

所以一擊鴻一。，獲利最大值為號萬元.

【例1-3](25?26高一上?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，某市市政部門要在矩形區(qū)域A8CO上規(guī)劃出一塊矩形地塊QQR7

建造兒童游樂中心.為了保護(hù)綠化，游樂場不能超越四個全等直角三角形的綠化區(qū)域邊界，其中Er為的邊界.

由實地測量知，A3=200m,AO=16()m,4E=60m,A/：=40m.點(diǎn)P在線段律上，設(shè)P0的長度為四，矩形地塊PQR7

的面積為5m+

(1)若。為線段EF的中點(diǎn)，求x及S的值；

(2)試用x的式子表示S,并求”的取值范圍:

(3)求矩形地塊PQRT面積S的最大值.

【詳解】(1)延長。尸交加'于G,

若〃為線段EF的中點(diǎn)，則G為線段好的中點(diǎn),

GP=-AE=30,AG=-AF=20,

22

由PQ=AB-2Gp得4=200-2x30=140,

XPT=A￡>-2AG=160-2x20=120,

所以S=QQ-PT=140x120=16800,

所以矩形PQRT的面積為l6800m2；

（2）因為點(diǎn)，在線段EF上，PQ的長度為mi,則80KX4200,

則GP=((A8_PQ)=100_5,

因為GP尸s.AM,所以魯=隼，得尸G=1GP=3gH,

1/*J3

貝ijPT=AD-24G=160-2^40-20^-A|(.r-320),

o7A40

所以矩形PQRT的面積S=PQ?PT=-y(x-320)=-92+等x,

JJJ

綜上S=一$2+等M80coo),

答：矩形地塊尸QRT的面積S=—：x2+空x,X€[80.200].

/c、，/c、，26402/“八\251200

(3)方法一：由(2)得S=-§x2+—^―x=——(x—160)+—-—,

5]0()()

因為80WXW200,所以當(dāng)工=16()時，S取最大值二一，

答：PQ=160m時，矩形地塊PQRT面積的最大值為必答n?；

79

方法二：由(1)得S=z320)=(x(3z20—x),

因為80WXK200,所以320—x>0,

小甘士丁*小舛2/g八\/2「X+(320-X)T51200

由基本不等式，得一x(320-x)K-----------4-----,

3',323

當(dāng)且僅當(dāng)x=320-x,即x=160時，等號成立，

答：PQ=160m時，矩形地塊PQRT面積的最大值為"n?.

【變式1-1］（25-26高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）當(dāng)前，機(jī)器人產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，正極大改變著人類生產(chǎn)和生活方式，為

經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展注入強(qiáng)勁動能.2022年，工業(yè)和信息化部等十七部門印發(fā)了《“機(jī)器人+”應(yīng)用行動實施方案》，《方案》

指出，到2025年，制造業(yè)機(jī)器人密度較2020年應(yīng)實現(xiàn)翻番，服務(wù)機(jī)器人、特種機(jī)滯人行業(yè)應(yīng)用深度和廣度應(yīng)顯著提

升，機(jī)器人促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會高質(zhì)量發(fā)展的能力應(yīng)明顯增強(qiáng).某動力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計劃投入6300萬元購買一批

智能工業(yè)機(jī)器人，使用該批智能機(jī)器人后的前x(xeN)年，設(shè)備維護(hù)成本共(700/一30(次)萬元，每年電池銷售收入為

6700萬元，設(shè)使用該批智能機(jī)器人后，前x年的總盈利額為>萬元.

(1)寫出下關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)使用若干年后，對該批智能機(jī)器人收處理方案有兩種.

方案-：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，將該批智能機(jī)器人以2000萬價格處理：

方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，將該批智能機(jī)器人以4800萬元的價格處理.問哪種方案更合理？并說明理血

【詳解】(1)由題意,=6700x-(700x2-300A)-6300=-700(x2-1Ox+9)(xeN,).

(2)方案一：總盈禾ij額y=-700(W-10x+9)=-700(工一5『+11200,

當(dāng)A5時，)嬴=1120(),

若此時處理掉智能機(jī)器人，總盈利為11200+20(X)=13200萬元；

方案二：年均盈利額?=-700(x+()+7000W-140oJx?q+7000=2800(萬元)，

當(dāng)且僅當(dāng)*=3時，年平均盈利額最大，若此時處理掉智能機(jī)器人，

總盈利為28(X)x3+48(X)=13200萬元.

兩方案總利潤都是13200萬元，

如果三年后用這些資金投資其他項目盈利，則方案二更合理，

若三年后用這些資金投資其他項目虧損，則方案一更合理，投資有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎！

【變式1-2](25-26高一上?云南曲靖?階段練習(xí))實行垃圾分類，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源.某企業(yè)新建了一

座垃圾回收利用工廠，于2019年年初月98萬元購進(jìn)一臺垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用.該設(shè)備使用

后,每年的總收入為50萬元.若該設(shè)備使用x年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用4年來的總和為(2Y+l(k)萬元(2019年為

第一年)，設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額(純利潤)為)，萬元.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求該設(shè)備在第幾年的盈利總額為30萬元.

(2)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：

①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；(年平均盈利額:盈利總額:使用年數(shù))

②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備.

試問用啾種方案處理較為合理？請說明你的理由.

【詳解】(1)3，=5()不一(2.一+|()*)-98=-2/+4().1-98(.丫￡1<),

解方程-2f+4Ox-98=3O，得尤=4或“16,

故在第4年或16年盈利總額為30萬元；

(2)@-=-2X+40--=40-|2A+—1^40-272x98=12,

XXVX)

98

當(dāng)且僅當(dāng)2x=7時，即x=7時等號成立.

到2025年，年平均盈利額達(dá)到最大值，該設(shè)備可獲利12x7+30=114萬元.

22

@y=-2x+4O.r-98=-2(x-10)+102,當(dāng)x=10時，ymax=102.

故到2028年，盈利額達(dá)到最大值,該設(shè)備可獲利102+12=114萬元.

因為兩種方案企業(yè)獲利總額相同，而方案①所用時間較短，故方案①比較合理.

【變式1-3](25-26高一上?四川廣安?階段練習(xí))某學(xué)校因為學(xué)生活動區(qū)域緊張，為了更好地為學(xué)生提供活動場地，決

定在一塊長AM=300米，寬AN=200米的矩形地塊AM/W上施工，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形八ACO的學(xué)生活動中心，

要求頂點(diǎn)C在地塊的對角線MN上，B、。分別在邊AM、AN上，假設(shè)AA長度為工米.

(1)記矩形面積為試用x表示力

(2)要使矩形活動區(qū)域A8CD的面積不小于14400平方米，AB的長度應(yīng)在什么范圍？

（3）長度44和寬度AO分別為多少米時矩形活動區(qū)域/18C。的面積最大？最大值是多少平方米?

【詳解】（1）

「四邊形AMPN.ABCD為矩形，C為矩形AMPN對角線上的點(diǎn),

.?.NMU/=/C8W=90°，^NMA=NCMB,ZANM=NBCM,

:.tBCMANM,

.AMAN

乂,AM=300,4V=200,A〃=x,

.300200

FOOT.記,

2,

/.5C=-（300-x）,

?.S=ABBC,

22

2

J=X.5C=x--（300-x）=--x+200x（0<x<300）.

2

（2）由（1）知，AB=x,矩形活動區(qū)域A3c。的面積與AB的關(guān)系為：>,=--x2+200x（0<x<300）,