長春經(jīng)開區(qū)2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研九年級數(shù)學(xué)試卷本試卷包括四道大題，共24小題，共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1．計算所得的結(jié)果是（

）A．2 B．4 C．6 D．82．袋子中裝有4個黑球和2個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從袋子中摸出3個球，下列事件是必然事件的是（）A．至少有一個黑球 B．至少有一個白球 C．至少有兩個黑球 D．至少有兩個白球3．一元二次方程的解為（

）A． B．，C． D．，4．在比例尺為的地圖上，量得兩地的距離是，則兩地間的實際距離是（

）A． B． C． D．5．如圖，中，，，點D在延長線上，且，連接，則的值為（

）A． B． C．3 D．二、多項選擇題（每小題3分，共9分）6．下列式子中，不是最簡二次根式的有（

）A． B． C． D．7．我們規(guī)定：若一個三角形中的某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么我們把這個三角形叫作“三角形”．下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個“三角形”三邊長的一組有（

）A．1，2，3 B．1，1， C．1，2， D．1，2，8．如圖，在中，，，正方形的頂點、均在邊上，頂點、分別在邊、上，的面積為．則下列語句中，正確的有（

）A． B． C． D．三、填空題（每小題3分，共18分）9．請任意寫出一個能使有意義的m值：．10．從到的連續(xù)自然數(shù)中任取一個，是偶數(shù)的概率是．11．已知一元二次方程有一個根為2，則另一個根為．12．cos60°的值等于．13．如圖，在平行四邊形中，點E、F分別為邊和對角線上的點，．若，，則的長為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在第二象限內(nèi)．若與x軸負(fù)半軸的夾角的正切值為，則的值為．四、解答題（本大題10小題，共78分）15．已知甲袋有3張分別標(biāo)示1、2、3的號碼牌，乙袋有3張分別標(biāo)示6、7、8的號碼牌，榕榕分別從甲、乙兩袋中各抽出一張?zhí)柎a牌．每張?zhí)柎a牌被抽出的機(jī)會相等，請借助列表或樹狀圖，求她抽出兩張?zhí)柎a牌上數(shù)字乘積為3的倍數(shù)的概率．16．解一元二次方程：．17．判斷的值在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間，并簡要寫出推理過程．18．如圖，矩形中，點在邊上，連接，于點，，，．(1)求證：．(2)求的長．19．一家小超市1月份的利潤是50000元，3月份的利潤達(dá)到60500元，求這兩個月的利潤平均月增長的百分率．20．有長度分別為、、、的四條線段，不采用樹狀圖與列表的方法，求任取其中三條線段能構(gòu)成三角形的概率，并加以說明．21．如圖，小李在森林公園瞭望塔的點處，測算塔下方的一棵樹的高度．觀測到點處到地面的距離為米，樹頂處的俯角為，塔底到這棵樹的距離為米．求這棵樹的高度．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，）22．如圖，正方形的邊長為6，點在邊上，連接，，點為的中點，線段過點交、于點、，．求、的長．23．【問題探究】如圖①，中，點、分別為邊、的中點，若，，，求的長．【方法拓展】如圖②，中，點為邊上的一點，，若，，，求的長．24．我們規(guī)定：若一條線段的兩個端點都在一個三角形的邊上（不與端點重合），且這條線段截得的小三角形與原三角形相似，相似比為，則把這條線段叫做這個三角形的“半似位線”．(1)等邊三角形的“半似位線”的條數(shù)為_____條．(2)一個三角形的“半似位線”把三角形分成的兩部分圖形的面積之比是________．(3)若一個三角形的三邊長之比為，則這個三角形的“半似位線”的條數(shù)為_______條．(4)如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度，沿向終點運動；在點出發(fā)的同時，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿折線向終點運動．設(shè)運動時間為秒．①用含的代數(shù)式表示的長為_______．②當(dāng)為的“半似位線”時，直接寫出的值．參考答案1．D解：．故選：D．2．AA、是必然事件，故本選項符合題意；B、是隨機(jī)事件，故本選項不符合題意；C、是隨機(jī)事件，故本選項不符合題意；D、是隨機(jī)事件，故本選項不符合題意，故選∶A．3．B解：，∴，∴．故選：B．4．B解：設(shè)兩地間的實際距離是，∴，∴，∴，∴兩地間的實際距離為，故選：．5．A解：在中，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，則，∴，故選：A．6．BCD解：A.為最簡二次根式；B.被開方數(shù)含分母，故不是最簡二次根式；

C.可簡化為，故不是最簡二次根式；

D.分母中含有根號，故不是最簡二次根式；故選：BCD．7．BC解：A、，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；B、，該三角形為等腰直角三角形，三個角分別是的直角三角形，其中，，符合“三角形”的定義，符合題意；C、，該三角形為直角三角形，最小的角的正弦為，則最小的角為，則三個角分別是，其中，符合“三角形”的定義，符合題意．D、，是直角三角形，但是不滿足某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，不符合題意；故選：BC．8．ABD解：，，，正方形，，，，和是等腰直角三角形，，，故B選項符合題意；∵，，，，，故A選項符合題意；又，，，和是等腰直角三角形，，∴，，，，故C選項不符合題意；，則,，，即，解得，故D選項符合題意．9．（答案不唯一）解：要使有意義，需滿足，解得．因此，任意取的一個值即可，例如．故答案為：（答案不唯一）．10．解：從到的自然數(shù)中，偶數(shù)包括，，，，共個，總數(shù)為個，因此任取一個數(shù)是偶數(shù)的概率為．故答案為：．11．4解：設(shè)方程的另一個根為m，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，∴，∴方程的另一個根為4，故答案為；4．12．##0.5解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知，cos60°的值為，故答案為．13．解：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：．14．解：過點作軸，，，，；故答案為：．15．解：運用列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結(jié)果表示如下，共有9種等可能結(jié)果，其中乘積為3的倍數(shù)有5種：，∴抽出兩張?zhí)柎a牌上數(shù)字乘積為3的倍數(shù)的概率為．16．無實數(shù)根解：在一元二次方程中，，∴，∴方程無實數(shù)根．17．在24和25之間，見解析解：，，，，．18．(1)見解析(2)（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：根據(jù)題意，，∴，∴，∵，∴，即，解得，．19．解：設(shè)這兩個月的利潤平均月增長的百分率是x，根據(jù)題意得：，解得：（不合題意，舍去）．答：這兩個月的利潤平均月增長的百分率是．20．解：從長度分別為3，5，6，9的四條線段中任取三條，共有（3，5，6）、（3，5，9）、（3，6，9）、（5，6，9）四種等可能結(jié)果，其中能組成三角形的有（3，5，6）、（5，6，9）兩種等可能結(jié)果，所以能組成三角形的概率21．米如圖，作于，則四邊形為矩形，米，在中，，則，米，答：這棵樹的高度約為米．22．，解：在正方形中，，∴，∵，∴，∴（負(fù)值舍去），，∵點為的中點，∴，∵，∴，且，∴∵∴，∴，∴，，∴，則，如圖所示，連接，∴，∴，∴，∴，∵點為的中點，，∴是線段的垂直平分線，則，設(shè)，則，在中，，在中，，∵，∴，解得，，∴，在中，；∴．23．問題探究：；方法拓展：解：問題探究、分別為邊、的中點，方法拓展：如圖，過作，交延長線于，，，，，，，，，，，，，．24．(1)3條(2)(3)4條(4)①；②或4或或12（1）解：如圖，在等邊中，取各邊中點，連接，，．∵點分別是，的中點，∴，，∴，相似比為，∴是等邊三角形的“半似位線”．同理可得，是等邊三角形的“半似位線”．∴等邊三角形的“半似位線”的條數(shù)為3條．故答案為：3．（2）解：如圖，是的“半似位線”，∴，且相似比為，∴，∴，∴一個三角形的“半似位線”把三角形分成的兩部分圖形的面積之比是．故答案為：．（3）解：∵一個三角形的三邊長之比為，∴如圖，不妨設(shè)，，（）取各邊的中點，連接，，，∴，，∴，且相似比為，∴是的“半似位線”，同理可得，，是的“半似位線”．如圖，若是的“半似位線”，且，則∴，，此時，點G與點A重合，不符合“半似位線”的定義，即不是的“半似位線”．如圖，若是的“半似位線”，且，則∴，此時，點N不在邊上，不符合“半似位線”的定義，即不是的“半似位線”．如圖，若是的“半似位線”，且，則∴，，符合“半似位線”的定義，即是的“半似位線”．綜上所述，